إصلاح تمارين الهندسة

1. خاصية الزوايا المحيطية في المثلث متقايس الأضلاع:
بما أن \(ABC\) مثلث متقايس الأضلاع، فإن زواياه كلها تساوي \(60^\circ\).
الزاوية \(\widehat{BMA}\) والزاوية \(\widehat{BCA}\) تحصران نفس القوس \([AB]\).
إذن: \(\widehat{BMA} = \widehat{BCA} = 60^\circ\).

2. توظيف التوازي (AM) // (BD):
بما أن \((BD) // (AM)\) والمستقيم \((BM)\) قاطع لهما، فإن الزاويتين \(\widehat{BMA}\) و \(\widehat{MBD}\) متبادلتان داخلياً.
إذن: \(\widehat{MBD} = \widehat{BMA} = 60^\circ\).

3. الزوايا المحيطية والقوس المشترك:
الزاوية \(\widehat{BMD}\) والزاوية \(\widehat{BAD}\) تحصران نفس القوس \([BD]\).
من جهة أخرى، بما أن الحبلين \([AM]\) و \([BD]\) متوازيان في دائرة، فإن القوسين المحصورين بينهما متقايسان، أي أن القوس \([AB]\) يساوي القوس \([MD]\).
هذا يعني أن الزاوية المحيطية \(\widehat{BMD}\) تساوي الزاوية المحيطية التي تحصر قوساً مقايساً لـ \([AB]\).
إذن: \(\widehat{BMD} = 60^\circ\).

4. الاستنتاج النهائي:
في المثلث \(BMD\)، لدينا زاويتان \(\widehat{MBD}\) و \(\widehat{BMD}\) كل واحدة منهما تساوي \(60^\circ\).
بما أن مجموع زوايا المثلث هو \(180^\circ\)، فإن الزاوية الثالثة \(\widehat{BDM}\) تساوي أيضاً \(60^\circ\).
بما أن جميع زوايا المثلث \(BMD\) متقايسة وتساوي \(60^\circ\)، فإن المثلث \(BMD\) متقايس الأضلاع.