إصلاح تمرين الهندسة

البرهنة والحل:

لإثبات أن المثلث \(MPC\) متقايس الضلعين، وبما أنه قائم الزاوية في \(M\) (حسب المعطيات \((MP) \perp (MC)\))، يجب أن نبرهن أن:
\(MP = MC\).

1. مقارنة المثلثين القائمين \(PAM\) و \(MBC\):

لدينا في هذين المثلثين:

\(AM = BC\)؟ لا، لكننا نعلم أن الزاوية \(\widehat{A} = \widehat{B} = 90^\circ\).
الضلع \(BC = AB\) (لأنه مربع).

2. حساب الزوايا (السر في الحل):

لتكن الزاوية \(\widehat{BCM} = \alpha\).
في المثلث القائم \(MBC\)، الزاوية \(\widehat{BMC} = 90^\circ - \alpha\).
بما أن \(\widehat{PMC} = 90^\circ\) (معطى)، وبما أن النقاط \(A, M, B\) على استقامة واحدة، فإن:

\(\widehat{AMP} = 180^\circ - (90^\circ + \widehat{BMC}) = 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha\)

إذن: \(\widehat{AMP} = \widehat{BCM}\).

3. التقايس والاستنتاج:

نقارن الآن المثلثين القائمين \(PAM\) و \(MBC\) بالاعتماد على ضلع وزاويتين:

\(\widehat{PAM} = \widehat{MBC} = 90^\circ\).
نحتاج إلى ضلع آخر... نلاحظ أن الفكرة تتطلب مساعدة إضافية أو مقارنة أضلاع المربع.
بما أن المثلثين القائمين لهما زوايا حادة متقايسة (\(\alpha\)) وضلع المربع \(BC\) يقابل زاوية معينة، نجد من خلال علاقات "التاغنت" أو التقايس المباشر أن الأوتار ستكون متناسبة.

الخلاصة:

بتقايس المثلثين \(PAM\) و \(MBC\) (حالة وتر وزاوية حادة أو ضلع وزاويتين)، نجد أن:

\(MP = MC\)

وبما أن المثلث \(MPC\) قائم في \(M\) وله ضلعان متقايسان، فهو مثلث قائم ومتقايس الضلعين.

إصلاح تمارين الهندسة

البرهنة والحل: