إصلاح تمارين الهندسة

البرهنة:

لإثبات أن (OE) هو الموسط العمودي لـ [BD]، سنبين أن النقطتين O و E تبعدان نفس المسافة عن طرفي القطعة [BD].

1. بالنسبة للنقطة O:

بما أن O هي مركز الدائرة، و B و D نقطتان من هذه الدائرة، فإن شعاعيهما متساويان:

\(OB = OD\)

إذن، النقطة O تنتمي إلى الموسط العمودي للقطعة [BD].

2. بالنسبة للنقطة E:

نقارن المثلثين \(OEA\) و \(OEC\):

• \(OA = OC\) (أنصاف أقطار).
• \(OE\) ضلع مشترك.
• المسافة من المركز إلى الأوتار المتقايسة متساوية (المساقط العمودية لـ O على الأوتار متساوية).

من تقايس المثلثات، نستنتج أن \(EA = EC\).

وبما أن الأوتار متقايسة \(AB = CD\)، وبالطرح نجد:

\(EA - AB = EC - CD \Rightarrow EB = ED\)

إذن، النقطة E تنتمي أيضاً إلى الموسط العمودي للقطعة [BD].

الاستنتاج:

بما أن كل من O و E تبعدان نفس المسافة عن طرفي القطعة [BD]، فإن المستقيم (OE) هو الموسط العمودي للقطعة [BD].