\(ABC\) مثلث قائم الزاوية ومتقايس الضلعين قمته الرئيسية \(A\).
لتكن \(L\) و \(K\) نقطتان حيث \(CK = AL\).
ليكن \(I\) منتصف الوتر \([BC]\).
بين أن النقطة \(I\) تنتمي إلى الموسط العمودي للقطعة \([LK]\).
البرهنة والحل:
لإثبات أن \(I\) تنتمي إلى الموسط العمودي لـ \([LK]\)، يجب أن نبين أن \(IL = IK\).
1. خاصية المنتصف في المثلث القائم:
بما أن \(ABC\) مثلث قائم الزاوية في \(A\) و \(I\) هي منتصف الوتر \([BC]\)، فإن المستقيم \((AI)\) هو الموسط العمودي للقطعة \([BC]\) وهو أيضاً منصف الزاوية \(\widehat{BAC}\).
بالتالي: \(AI = IC = IB\) و \(\widehat{IAC} = \widehat{ICA} = 45^\circ\).
2. مقارنة المثلثين \(AIL\) و \(CIK\):
لدينا في المثلثين \(AIL\) و \(CIK\):
\(AL = CK\) (معطى).
\(AI = CI\) (حسب خاصية منتصف الوتر).
\(\widehat{IAL} = \widehat{ICK} = 45^\circ\).
إذن، المثلثان \(AIL\) و \(CIK\) متقايسان حسب الحالة الأولى لتقايس المثلثات (ضلعان وزاوية محصورة).
3. الاستنتاج:
بما أن المثلثين متقايسان، فإن جميع عناصرهما المتناظرة متقايسة، ومنه نجد: \(IL = IK\).
بما أن النقطة \(I\) تبعد نفس المسافة عن طرفي القطعة \([LK]\)، فإنها تنتمي حتماً إلى الموسط العمودي لـ \([LK]\).