إصلاح تمارين الهندسة

الخطوة 1: بيان تقايس المثلثات الأربعة

نقارن المثلثات القائمة: \(AEH\)، \(BFE\)، \(CGF\) و \(DHG\).

• لدينا: \(AE = BF = CG = DH\) (معطى).
• بما أن \(ABCD\) مربع، فإن أضلاعه متقايسة (\(AB=BC=CD=DA\)).
• بالطرح نجد: \(AH = BE = CF = DG\).
• الزوايا في رؤوس المربع كلها قائمة (\(90^\circ\)).

إذن المثلثات الأربعة متقايسة، ومنه نستنتج أن أوتارها متقايسة: \(EH = EF = FG = GH\).

بالتالي، الرباعي \(EFGH\) هو معين.

الخطوة 2: بيان وجود زاوية قائمة

لنأخذ الرأس \(E\). لدينا في المثلث \(AEH\): \(\widehat{AEH} + \widehat{AHE} = 90^\circ\).

وبما أن المثلثين \(AEH\) و \(BFE\) متقايسان، فإن \(\widehat{AHE} = \widehat{BEF}\).

إذن: \(\widehat{AEH} + \widehat{BEF} = 90^\circ\).

بما أن النقاط \(A\)، \(E\)، \(B\) على استقامة واحدة، فإن:

\(\widehat{HEF} = 180^\circ - (\widehat{AEH} + \widehat{BEF}) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\).

الخطوة 3: الاستنتاج النهائي

بما أن الرباعي \(EFGH\) معين وله زاوية قائمة، فهو مربع.