سلسلة تمارين عدد 1 - تقايس المثلثات

دفواراتي
متوازي الأضلاع والنقط المتناظرة
تمرين 5

ABCD متوازي الأضلاع مركزه I حيث AB = 8cm و AD = 5cm و ∠DÂB = 60°.

  1. عين على [AB] النقطة M حيث AM = 3cm ثم عين على [CD] النقطة N حيث CN = 3cm.

  2. أ) أثبت تقايس المثلثين AMI و CNI.

    ب) استنتج بقية العناصر النظيرة.

    ج) بيّن أن I منتصف [MN].

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

خصائص متوازي الأضلاع الأساسية:

  • الأضلاع المتقابلة متوازية ومتساوية
  • القطران يتقاطعان في المنتصف (المركز I)
  • الزوايا المتقابلة متساوية

للزوايا المتبادلة:

  • إذا كان AB // CD فإن الزوايا المتبادلة داخلياً متساوية
  • انتبه للزوايا ∠MÂI و ∠NĈI

نصيحة: ابحث عن 3 عناصر متقايسة في المثلثين AMI و CNI

📝 الطريقة خطوة بخطوة

لإثبات تقايس AMI و CNI، نحتاج 3 عناصر:

العنصر الأول - الزوايا:

بما أن ABCD متوازي أضلاع → AB // CD

إذن ∠MÂI = ∠NĈI (زاويتان متبادلتان داخلياً)

العنصر الثاني - الأضلاع من المركز:

I مركز متوازي الأضلاع → I منتصف القطرين

إذن AI = CI

العنصر الثالث - الأضلاع المعطاة:

AM = CN = 3cm (معطى)

النتيجة: الحالة الثانية لتقايس المثلثات (ضلع-زاوية-ضلع)

✅ الحل الكامل

2) أ- في المثلثين AMI و CNI لنا:

  • (ABCD متوازي أضلاع) NC // AM و بالتالي ∠NĈI = ∠MÂI (زاويتان متبادلتان داخلياً)
  • ABCD متوازي أضلاع مركزه I إذن I منتصف [AC] ومنه AI = CI.
  • AM = CN = 3cm (معطى)

إذن المثلثين AMI و CNI متقايسان حسب الحالة الثانية لتقايس المثلثات.

ب- من التقايس نستنتج أن: MI = NI و ∠IM̂A = ∠IN̂C و ∠AM̂I = ∠CN̂I.

ج- بما أن MI = NI فإن I هي منتصف القطعة [MN].

المربع والموسط العمودي
تمرين 6

ليكن EFGH مربع مركزه T و R نقطة من [EF] و S نقطة من [FG] حيث FR=FS.

  1. أ) أثبت تقايس المثلثين FRT و FST.

    ب) استنتج بقية العناصر النظيرة.

  2. أ) بيّن أن (TF) الموسط العمودي لـ [RS].

    ب) استنتج طبيعة الرباعي RSGE.

  3. المستقيم (ST) يقطع (EH) في P. بيّن أن TP=TR=TS.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

خصائص المربع الأساسية:

  • جميع الأضلاع متساوية وجميع الزوايا قائمة (90°)
  • القطران متساويان ومتعامدان ومتناصفان
  • القطر يقسم زوايا المربع إلى نصفين (45° + 45°)

للموسط العمودي:

  • إذا كانت نقطتان متساويتا البعد عن طرفي قطعة فهما على موسطها العمودي
  • F و T كلاهما متساويا البعد عن R و S

نصيحة: استخدم أن FT قطر المربع وأن ∠RFT = ∠SFT = 45°

📝 الطريقة خطوة بخطوة

السؤال 1أ - تقايس FRT و FST:

في المربع EFGH، القطر [FH] يمر بالمركز T

إذن ∠RFT = ∠SFT = 45° (القطر منصف للزاوية)

العناصر الثلاثة: [FT] مشترك، FR = FS (معطى), ∠RFT = ∠SFT

السؤال 2أ - إثبات الموسط العمودي:

من التقايس: TR = TS

أيضاً: FR = FS (معطى)

إذن F و T نقطتان متساويتا البعد عن R و S

السؤال 3 - استخدام التماثل:

تطبيق نفس منطق التقايس مع النقطة P

✅ الحل الكامل

1) أ- EFGH مربع إذن [FH] هو منصف الزاوية ∠EFG ومنه ∠RFT = ∠SFT = 45°. في المثلثين FRT و FST لنا:

  • [FT] ضلع مشترك
  • FR = FS (معطى)
  • ∠RFT = ∠SFT = 45°

إذن المثلثان FST و FRT متقايسان حسب الحالة الثانية لتقايس المثلثات.

ب- من التقايس نستنتج أن: RT = ST, ∠FR̂T = ∠FŜT, ∠RT̂F = ∠ST̂F.

2) أ- لدينا FR=FS و TR=ST. إذن F و T نقطتان تنتميان للموسط العمودي لـ [RS]. ومنه (TF) هو الموسط العمودي لـ [RS].

ب- بما أن (TF) هو قطر المربع، فإنه عمودي على القطر الآخر (EG). ولأن (TF) عمودي على (RS)، فإن (RS) // (EG). إذن RSGE هو شبه منحرف.

3) بما أن RT=TS (من 1.ب) و TP=TS (من تقايس المثلثين PHT و FST المشابه لإثبات 1.أ)، فإن TP=TR=TS.

المستطيل والمثلث المتقايس الضلعين
تمرين 7

لدينا TBCS مستطيل و A منتصف [TS].

  1. بين تقايس المثلثين ABT و ASC ثم استنتج بقية العناصر المتقايسة.
  2. أ) ابن [Ax) منصف الزاوية ∠CÂB. ب) بيّن أن (Ax) ⊥ (ST).
  3. المستقيم المار من B والموازي لـ (AC) يقطع (ST) في E والمستقيم المار من C والموازي لـ (AB) يقطع (ST) في F. أثبت تقايس المثلثين ABE و ACF.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

خصائص المستطيل:

  • الأضلاع المتقابلة متوازية ومتساوية
  • جميع الزوايا قائمة (90°)
  • القطران متساويان ومتناصفان

خصائص المثلث المتقايس الضلعين:

  • إذا كان AB = AC فإن المثلث ABC متقايس الضلعين في A
  • منصف الزاوية الرئيسية هو أيضاً موسط عمودي للقاعدة
  • التماثل حول منصف الزاوية

نصيحة: ابدأ بإثبات أن AB = AC لتستنتج طبيعة المثلث ABC

📝 الطريقة خطوة بخطوة

السؤال 1 - تقايس ABT و ASC:

استخدم خصائص المستطيل والنقطة المنتصف:

  • AT = AS (A منتصف [TS])
  • BT = CS (أضلاع متقابلة في المستطيل)
  • ∠ATB = ∠ASC = 90° (زوايا المستطيل)

السؤال 2 - منصف الزاوية والعمودية:

من تقايس المثلثين → AB = AC

إذن ABC متقايس الضلعين → منصف الزاوية عمودي على القاعدة

وبما أن (TS) // (BC) → العمودية محفوظة

السؤال 3 - استخدام التوازي:

الخطوط المتوازية تخلق زوايا متبادلة متساوية

✅ الحل الكامل

1) في المثلثين ABT و ASC لنا:

  • AT = AS (لأن A منتصف [ST])
  • BT = CS (لأن TBCS مستطيل)
  • ∠AT̂B = ∠AŜC = 90° (TBCS مستطيل)

إذن ABT و ASC متقايسان حسب الحالة الثانية لتقايس المثلثات. نستنتج أن AB=AC و ∠BÂT=∠CÂS و ∠AB̂T=∠AĈS.

2) بما أن AB=AC، فإن المثلث ABC متقايس الضلعين في A. وعليه فإن منصف زاويته الرئيسية [Ax) هو أيضا الموسط العمودي للقاعدة [BC]، إذن (Ax) ⊥ (BC). وبما أن (TS) // (BC) (لأن TBCS مستطيل)، فإن (Ax) ⊥ (ST).

3) في المثلثين ABE و ACF لنا:

  • AB = AC (تم إثباته)
  • ∠EBA = ∠FCA (زاويتان متبادلتان داخلياً)
  • ∠BAE = ∠CAF (زاويتان متبادلتان داخلياً)

إذن ABE و ACF متقايسان حسب الحالة الأولى لتقايس المثلثات (زاوية-ضلع-زاوية).