سلسلة تمارين في تقايس المثلثات

دفواراتي
مثلث قائم ومستقيمات متعامدة
1

أرسم مثلثا \(ABC\) قائم الزاوية في \(A\) حيث \(AB=6\text{cm}\) و \(AC=5\text{cm}\). عيّن النقطة \(I\) منتصف \([AB]\). المستقيم العمودي على \((AB)\) والمار من \(B\) يقطع \((CI)\) في \(D\).

  1. قارن المثلثين \(AIC\) و \(BID\). استنتج أن \(I\) منتصف \([CD]\).
  2. قارن المثلثين \(BIC\) و \(AID\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

للسؤال 1: لمقارنة المثلثين، ابحث عن زوايا وأضلاع متقايسة. ما هي الزوايا التي تتكون عند تقاطع مستقيمين؟ ما هي الزوايا القائمة في الشكل؟ استخدم حالة تقايس "زاوية-ضلع-زاوية".

للسؤال 2: استخدم نتائج السؤال الأول. لديك الآن أضلاع متقايسة إضافية. هل يمكنك استخدام حالة تقايس "ضلع-زاوية-ضلع"؟

📝 الطريقة

1) مقارنة المثلثين \(AIC\) و \(BID\):
نطبق حالة "زاوية-ضلع-زاوية" (ASA):

  • الزاوية: \(\widehat{IAC} = 90^\circ\) (لأن المثلث \(ABC\) قائم في \(A\)). ولدينا المستقيم المار من \(B\) عمودي على \((AB)\)، إذن \(\widehat{IBD} = 90^\circ\). بالتالي \(\widehat{IAC} = \widehat{IBD}\).
  • الضلع: \(IA = IB\) (لأن \(I\) منتصف \([AB]\)).
  • الزاوية: \(\widehat{AIC}\) و \(\widehat{BID}\) متقابلتان بالرأس، إذن هما متقايستان.
إذن المثلثان \(AIC\) و \(BID\) متقايسان.
الاستنتاج: بما أن المثلثين متقايسان، فإن أضلاعهما المتناظرة متقايسة، ومنه \(IC = ID\). وبما أن النقط \(C, I, D\) على استقامة واحدة، فإن \(I\) هي منتصف \([CD]\).

2) مقارنة المثلثين \(BIC\) و \(AID\):
نطبق حالة "ضلع-زاوية-ضلع" (SAS):

  • الضلع: \(IB = IA\) (لأن \(I\) منتصف \([AB]\)).
  • الزاوية المحصورة: \(\widehat{BIC}\) و \(\widehat{AID}\) متقابلتان بالرأس، إذن هما متقايستان.
  • الضلع: \(IC = ID\) (نتيجة من السؤال 1).
إذن المثلثان \(BIC\) و \(AID\) متقايسان.

✅ الحل الكامل

1) مقارنة المثلثين \(AIC\) و \(BID\) والاستنتاج:

نقارن المثلثين \(AIC\) و \(BID\) باستخدام حالة "زاوية-ضلع-زاوية" (ASA):

  • \(\widehat{CAI} = 90^\circ\) (لأن \(ABC\) مثلث قائم في A). المستقيم المار من \(B\) عمودي على \((AB)\) يعني أن \(\widehat{DBI} = 90^\circ\). إذن \(\widehat{CAI} = \widehat{DBI}\).
  • \(AI = BI\) (لأن \(I\) منتصف \([AB]\)).
  • \(\widehat{AIC} = \widehat{BID}\) (لأنهما زاويتان متقابلتان بالرأس).

إذن المثلثان \(AIC\) و \(BID\) متقايسان.
الاستنتاج: من التقايس، نستنتج أن الأضلاع المتناظرة متقايسة، أي \(IC = ID\). بما أن النقط \(C, I, D\) تنتمي لنفس المستقيم \((CI)\)، فإن \(I\) هي منتصف القطعة \([CD]\).

2) مقارنة المثلثين \(BIC\) و \(AID\):

نقارن المثلثين \(BIC\) و \(AID\) باستخدام حالة "ضلع-زاوية-ضلع" (SAS):

  • \(IB = IA\) (لأن \(I\) منتصف \([AB]\)).
  • \(\widehat{BIC} = \widehat{AID}\) (لأنهما زاويتان متقابلتان بالرأس).
  • \(IC = ID\) (نتيجة من السؤال الأول).

إذن المثلثان \(BIC\) و \(AID\) متقايسان.

دائرة ومنصف زاوية
2

لتكن دائرة \((\mathcal{C})\) مركزها \(O\) وشعاعها \(4\text{cm}\). ولتكن \(A\) و \(B\) نقطتان من الدائرة \((\mathcal{C})\). منصف الزاوية \(\widehat{AOB}\) يقطع \((\mathcal{C})\) في \(M\).

  1. قارن المثلثين \(OAM\) و \(OBM\).
  2. استنتج أن \(MA=MB\) وأن \([MO)\) هو منصف الزاوية \(\widehat{AMB}\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

للسؤال 1: لمقارنة المثلثين \(OAM\) و \(OBM\)، لاحظ أن \(A, B, M\) هي نقاط من الدائرة. ما هي العلاقة بين القطع المستقيمة التي تربط مركز الدائرة بنقاطها؟ استخدم حالة تقايس "ضلع-زاوية-ضلع".

للسؤال 2: الاستنتاجات تأتي مباشرة من تقايس المثلثين. إذا كان المثلثان متقايسين، فماذا عن أضلاعهما وزواياهما المتناظرة؟

📝 الطريقة

1) مقارنة المثلثين \(OAM\) و \(OBM\):
نطبق حالة "ضلع-زاوية-ضلع" (SAS):

  • الضلع: \(OA = OB\) (لأنهما شعاعان في نفس الدائرة \((\mathcal{C})\)).
  • الزاوية المحصورة: \(\widehat{AOM} = \widehat{BOM}\) (لأن \([OM)\) منصف الزاوية \(\widehat{AOB}\)).
  • الضلع: \([OM]\) هو ضلع مشترك للمثلثين.
إذن المثلثان \(OAM\) و \(OBM\) متقايسان.

2) الاستنتاجات:
بما أن المثلثين \(OAM\) و \(OBM\) متقايسان، فإن عناصرهما المتناظرة متقايسة.

  • الضلع \([MA]\) نظير الضلع \([MB]\)، إذن \(MA = MB\).
  • الزاوية \(\widehat{AMO}\) تناظر الزاوية \(\widehat{BMO}\)، إذن \(\widehat{AMO} = \widehat{BMO}\).
بما أن \(\widehat{AMO} = \widehat{BMO}\)، فإن نصف المستقيم \([MO)\) يقسم الزاوية \(\widehat{AMB}\) إلى زاويتين متقايستين، إذن \([MO)\) هو منصف الزاوية \(\widehat{AMB}\).

✅ الحل الكامل

1) مقارنة المثلثين \(OAM\) و \(OBM\):

نقارن المثلثين \(OAM\) و \(OBM\) باستخدام حالة "ضلع-زاوية-ضلع" (SAS):

  • \(OA = OB\) (لأنهما شعاعان في الدائرة \((\mathcal{C})\)).
  • \(\widehat{AOM} = \widehat{BOM}\) (لأن \([OM)\) هو منصف الزاوية \(\widehat{AOB}\)).
  • \([OM]\) هو ضلع مشترك.

إذن، المثلثان \(OAM\) و \(OBM\) متقايسان.

2) استنتاج أن \(MA=MB\) وأن \([MO)\) هو منصف الزاوية \(\widehat{AMB}\):

بما أن المثلثين \(OAM\) و \(OBM\) متقايسان، فإن عناصرهما المتناظرة متقايسة مثنى مثنى:

  • الضلعان المتناظران \([MA]\) و \([MB]\) متقايسان. إذن، \(MA = MB\).
  • الزاويتان المتناظرتان \(\widehat{AMO}\) و \(\widehat{BMO}\) متقايستان. إذن، \([MO)\) هو منصف الزاوية \(\widehat{AMB}\).
مثلث متقايس الضلعين والتوازي
3

\(ABC\) مثلث متقايس الضلعين في \(A\). \(M\) نقطة من \([AB]\) و \(N\) نقطة من \([AC]\). المستقيم المار من \(M\) والموازي لـ \((BC)\) يقطع \([AC]\) في \(N\).

  1. بيّن أن المثلث \(AMN\) متقايس الضلعين.
  2. المستقيم المار من \(B\) والموازي لـ \((AC)\) يقطع \((MN)\) في \(E\). والمستقيم المار من \(C\) والموازي لـ \((AB)\) يقطع \((MN)\) في \(F\). لتكن \(O\) نقطة تقاطع \((BE)\) و \((CF)\).
    1. بيّن أن المثلثين \(BME\) و \(CNF\) متقايسان.
    2. استنتج أن المثلث \(OEF\) متقايس الضلعين.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

للسؤال 1: استخدم خاصية التوازي \((MN) // (BC)\) مع القاطعين \((AB)\) و \((AC)\) لإيجاد زوايا متناظرة متقايسة. تذكر أن المثلث \(ABC\) متقايس الضلعين.

للسؤال 2أ: لمقارنة المثلثين \(BME\) و \(CNF\)، ابحث عن زوايا وأضلاع متقايسة. استخدم التوازي المعطى والزوايا المتقابلة بالرأس. لإثبات أن \(BM=CN\)، عبر عن كل منهما بدلالة أضلاع المثلثين \(ABC\) و \(AMN\).

للسؤال 2ب: من تقايس السؤال 2أ، استنتج تقايس زاويتين في المثلث \(OEF\).

📝 الطريقة

1) إثبات أن المثلث \(AMN\) متقايس الضلعين:
لدينا \((MN) // (BC)\).
- مع القاطع \((AB)\)، الزاويتان \(\widehat{AMN}\) و \(\widehat{ABC}\) متناظرتان، إذن \(\widehat{AMN} = \widehat{ABC}\).
- مع القاطع \((AC)\)، الزاويتان \(\widehat{ANM}\) و \(\widehat{ACB}\) متناظرتان، إذن \(\widehat{ANM} = \widehat{ACB}\).
بما أن المثلث \(ABC\) متقايس الضلعين في \(A\)، فإن \(\widehat{ABC} = \widehat{ACB}\).
من كل هذا نستنتج أن \(\widehat{AMN} = \widehat{ANM}\). إذن المثلث \(AMN\) متقايس الضلعين في \(A\).

2أ) تقايس المثلثين \(BME\) و \(CNF\):
نطبق حالة "زاوية-ضلع-زاوية" (ASA):

  • الزاوية: \(\widehat{BME} = \widehat{AMN}\) (متقابلتان بالرأس). \(\widehat{CNF} = \widehat{ANM}\) (متقابلتان بالرأس). بما أن \(\widehat{AMN} = \widehat{ANM}\) (من السؤال 1)، فإن \(\widehat{BME} = \widehat{CNF}\).
  • الضلع: لدينا \(AM=AN\) و \(AB=AC\). إذن \(BM = AB - AM = AC - AN = CN\).
  • الزاوية: لدينا \((BE) // (AC)\) والقاطع \((BC)\)، إذن \(\widehat{EBC} = \widehat{ACB}\). ولدينا \((CF) // (AB)\) والقاطع \((BC)\)، إذن \(\widehat{FCB} = \widehat{ABC}\). بما أن \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)، فإن \(\widehat{EBC} = \widehat{FCB}\). هذا لا يساعد مباشرة.
    نستخدم التوازي مع القاطع \((EF)\). \((BE) // (AF)\)، إذن \(\widehat{MEB} = \widehat{NFC}\)؟ ليس بالضرورة.
    نعود للزوايا: \(\widehat{MBE}\)؟ الرباعي \(ACBE\) متوازي أضلاع؟ لا.
    نبحث عن زاوية أخرى: \(\widehat{EBM}\) و \(\widehat{FCN}\)؟ \((BE)//(AC)\) و \((CF)//(AB)\) الرباعي \(ABOC\) ليس متوازي أضلاع.
    الطريقة الصحيحة: \(\widehat{EBM}\) هي امتداد. بما أن \((BE)\)//\((AC)\), فإن \(\widehat{EBC} = \widehat{BCA}\) (متبادلتان داخليًا). وبما أن \((CF)\)//\((AB)\), فإن \(\widehat{FCB} = \widehat{CBA}\) (متبادلتان داخليًا). بما أن \(\widehat{CBA}=\widehat{BCA}\), فإن \(\widehat{EBC} = \widehat{FCB}\). إذن المثلث \(OBC\) متقايس الضلعين.

2ب) استنتاج أن \(OEF\) متقايس الضلعين:
من تقايس المثلثين \(BME\) و \(CNF\)، نستنتج أن \(\widehat{BEM} = \widehat{CFN}\).
الزاويتان \(\widehat{OEF}\) و \(\widehat{OFE}\) هما نفس الزاويتين \(\widehat{BEM}\) و \(\widehat{CFN}\).
إذن \(\widehat{OEF} = \widehat{OFE}\). وبالتالي المثلث \(OEF\) متقايس الضلعين في \(O\).

✅ الحل الكامل

1) بيّن أن المثلث \(AMN\) متقايس الضلعين:

بما أن \((MN) // (BC)\):

  • الزاويتان \(\widehat{AMN}\) و \(\widehat{ABC}\) متناظرتان بالنسبة للقاطع \((AB)\)، إذن \(\widehat{AMN} = \widehat{ABC}\).
  • الزاويتان \(\widehat{ANM}\) و \(\widehat{ACB}\) متناظرتان بالنسبة للقاطع \((AC)\)، إذن \(\widehat{ANM} = \widehat{ACB}\).

ولأن المثلث \(ABC\) متقايس الضلعين في \(A\)، فإن \(\widehat{ABC} = \widehat{ACB}\).
من هذه العلاقات الثلاث، نستنتج أن \(\widehat{AMN} = \widehat{ANM}\).
إذن، المثلث \(AMN\) متقايس الضلعين في \(A\).

2أ) بيّن أن المثلثين \(BME\) و \(CNF\) متقايسان:

نقارن المثلثين \(BME\) و \(CNF\) باستخدام حالة "زاوية-ضلع-زاوية" (ASA):

  • الزاوية: لدينا \(\widehat{BME} = \widehat{AMN}\) (متقابلتان بالرأس) و \(\widehat{CNF} = \widehat{ANM}\) (متقابلتان بالرأس). وبما أن \(\widehat{AMN} = \widehat{ANM}\) من السؤال 1، فإن \(\widehat{BME} = \widehat{CNF}\).
  • الضلع: من السؤال 1، \(AM = AN\). ولدينا \(AB = AC\). إذن \(BM = AB - AM = AC - AN = CN\).
  • الزاوية: لدينا \((BE) // (AC)\) والقاطع \((EF)\)، إذن \(\widehat{MEB} = \widehat{FNC}\) (متناظرتان). لا، هذا خاطئ.
    الطريقة الصحيحة: لدينا \((BE) // (AC)\) والقاطع \((BC)\)، إذن \(\widehat{EBC} = \widehat{ACB}\) (متبادلتان داخليًا). ولدينا \(ABC\) متقايس الضلعين، إذن \(\widehat{ABC} = \widehat{ACB}\). إذن \(\widehat{ABC} = \widehat{EBC}\). هذا يعني أن النقاط \(A, B, E\) على استقامة واحدة، وهو غير صحيح.
    البرهان الصحيح للزاوية الثانية: لدينا \((BE)//(AN)\) والقاطع \((AB)\) يحدد زاويتين متبادلتين داخليا \(\widehat{ABE} = \widehat{BAC}\). وبنفس الطريقة \((CF)//(AM)\) والقاطع \((AC)\) يحدد زاويتين متبادلتين داخليا \(\widehat{ACF} = \widehat{BAC}\). إذن \(\widehat{ABE} = \widehat{ACF}\).

إذن، المثلثان \(BME\) و \(CNF\) متقايسان.

2ب) استنتج أن المثلث \(OEF\) متقايس الضلعين:

من تقايس المثلثين \(BME\) و \(CNF\)، نستنتج أن زواياهما المتناظرة متقايسة.
الزاوية \(\widehat{BEM}\) في المثلث الأول تناظر الزاوية \(\widehat{CFN}\) في المثلث الثاني. إذن \(\widehat{BEM} = \widehat{CFN}\).
في المثلث \(OEF\)، الزاويتان عند القاعدة هما \(\widehat{OEF}\) (نفسها \(\widehat{BEM}\)) و \(\widehat{OFE}\) (نفسها \(\widehat{CFN}\)).
بما أن \(\widehat{OEF} = \widehat{OFE}\)، فإن المثلث \(OEF\) متقايس الضلعين في \(O\).