تمارين إضافية في تقايس المثلثات

الجزء الثاني من سلسلة التمارين

📐 تمرين 4

المعطيات: ABC مثلث. I منتصف [AC]. D نظيرة B بالنسبة إلى I.

المطلوب:
1) أ- بين تقايس المثلثين IAD و IBC. ب- استنتج أن (AD) يوازي (BC).
2) منصف الزاوية DÂI يقطع [DI] في E، ومنصف الزاوية ÎCB يقطع [IB] في F.
أ- بين تقايس المثلثين ADE و CBF. ب- استنتج أن I منتصف [EF].

الحل المفصل:

1) أ- إثبات تقايس المثلثين IAD و IBC:

بما أن D نظيرة B بالنسبة إلى I، فإن I هي منتصف القطعة [BD]. نقارن المثلثين IAD و IBC:

  • IA = IC (لأن I منتصف [AC] حسب المعطيات).
  • ID = IB (لأن I منتصف [BD] حسب المعطيات).
  • الزاوية AÎD = الزاوية CÎB (زاويتان متقابلتان بالرأس).

إذن، المثلثان IAD و IBC متقايسان حسب حالة التقايس (ضلع-زاوية-ضلع). (ملاحظة: هذا يثبت أن الرباعي ABCD متوازي أضلاع).

ب- استنتاج أن (AD) // (BC):

من تقايس المثلثين IAD و IBC، نستنتج أن الزوايا المتناظرة متقايسة. أي أن الزاوية IÂD = الزاوية ÎCB. هاتان الزاويتان متبادلتان داخلياً بالنسبة للمستقيمين (AD) و (BC) والقاطع (AC). إذن، المستقيم (AD) يوازي (BC).

2) أ- إثبات تقايس المثلثين ADE و CBF:

نقارن المثلثين ADE و CBF:

  • AD = CB (ضلعان متناظران في المثلثين المتقايسين IAD و IBC).
  • الزاوية DÂE = الزاوية BĈF: لدينا الزاوية DÂI = الزاوية BĈI من التقايس الأول. وبما أن (AE) منصف DÂI و (CF) منصف BĈI، فإن نصفيهما متقايسان.
  • الزاوية ADE = الزاوية CBF (زاويتان متناظرتان في المثلثين المتقايسين IAD و IBC).

إذن، المثلثان ADE و CBF متقايسان حسب حالة التقايس (زاوية-ضلع-زاوية).

ب- استنتاج أن I منتصف [EF]:

من تقايس المثلثين ADE و CBF نستنتج أن DE = BF. ونعلم من المعطيات أن ID = IB. بطرح المتساويات:
ID - DE = IB - BF
ينتج أن IE = IF.
بما أن النقاط E و I و F تنتمي إلى نفس المستقيم (DB)، فإن I هي منتصف القطعة [EF].

📐 تمرين 5

المعطيات: ABCD متوازي أضلاع بحيث ADC زاوية حادة. E و F هما المسقطان العموديان للنقطتين A و B على المستقيم (DC) على التوالي.

المطلوب:
1) بين أن المثلثين ADE و BCF متقايسان.
2) استنتج أن DC = AB. (ملاحظة: المطلوب في الصورة هو DC=EF، ولكن الصحيح هو AB=EF وهو ما يؤدي إلى DC=EF)

الحل المفصل:

1) إثبات تقايس المثلثين ADE و BCF:

نقارن المثلثين القائمين ADE (قائم في E) و BCF (قائم في F):

  • AD = BC (لأن ABCD متوازي أضلاع، كل ضلعين متقابلين متقايسان).
  • الزاوية ADE = الزاوية BCF

إذن، المثلثان ADE و BCF متقايسان حسب حالة تقايس المثلثات القائمة (تقايس الوتر وزاوية حادة).

2) استنتاج أن DC = EF:

لإثبات أن DC = EF، نثبت أولاً أن AB = EF.

  • لدينا (AB) يوازي (DC) (من تعريف متوازي الأضلاع)، والمستقيم (EF) محمول على (DC)، إذن (AB) يوازي (EF).
  • لدينا (AE) عمودي على (DC) و (BF) عمودي على (DC)، إذن (AE) يوازي (BF).
  • من هاتين النقطتين، نستنتج أن الرباعي ABFE هو متوازي أضلاع.
  • بما أن ABFE متوازي أضلاع وفيه زاوية قائمة (مثل AÊF = 90°)، فإنه مستطيل.
  • في المستطيل، كل ضلعين متقابلين متقايسان، إذن AB = EF.
  • وبما أن ABCD متوازي أضلاع، فإن AB = DC.
  • من آخر علاقتين، نستنتج أن DC = EF.

📐 تمرين 6

المعطيات: ABCD متوازي أضلاع. [Dx) هو نصف المستقيم المقابل لـ [DC]. [Dy) منصف الزاوية ADx. [Ct) منصف الزاوية BCD. E المسقط العمودي لـ A على (Dy) و F المسقط العمودي لـ B على (Ct).

المطلوب:
1) بين أن الزاوية ADy = الزاوية BCt.
2) بين أن AE = BF.

الحل المفصل:

1) إثبات أن الزاوية ADy = الزاوية BCt:

  • لدينا الزاوية ADx + الزاوية ADC = 180° (زاويتان متكاملتان لأنهما تكونان زاوية مستقيمة).
  • ولدينا في متوازي الأضلاع ABCD، الزاوية BCD + الزاوية ADC = 180° (زاويتان متتاليتان متكاملتان).
  • من العلاقتين السابقتين، نستنتج أن الزاوية ADx = الزاوية BCD.
  • بما أن [Dy) منصف للزاوية ADx، فإن الزاوية ADy = ½ * الزاوية ADx.
  • وبما أن [Ct) منصف للزاوية BCD، فإن الزاوية BCt = ½ * الزاوية BCD.
  • إذن، نستنتج أن الزاوية ADy = الزاوية BCt.

2) إثبات أن AE = BF:

نقارن المثلثين القائمين AED (قائم في E) و BFC (قائم في F):

  • AD = BC (ضلعان متقابلان في متوازي الأضلاع ABCD).
  • الزاوية ADE = الزاوية BCF (وهي نفسها الزاوية ADy = الزاوية BCt التي أثبتناها في السؤال 1).

لدينا مثلثان قائمان، وتر كل منهما وزاوية حادة فيه متقايسان مع نظائرهما في المثلث الآخر. إذن، المثلثان AED و BFC متقايسان.

من هذا التقايس، نستنتج أن الأضلاع المتناظرة متقايسة، ومنه AE = BF.