السلاسل التعليمية
تمارين تقايس المثلثات مع التصحيح المفصل والتصميم الأنيق
أرسم مثلثا ABC قائم الزاوية في A حيث AB=6cm و AC=5cm و عين النقطة I منتصف [AB]. المستقيم العمودي على (AB) و المار من B يقطع (CI) في D.
- قارن المثلثين AIC و BID. استنتج أن I منتصف [CD].
- قارن المثلثين BIC و AID.
1) في المثلثين AIC و BID لنا:
- AI = BI (لأن I منتصف [AB])
- AÎC = BÎD (زاويتان متقابلتان بالرأس)
- IÂC = IBD = 90°
إذن AIC و BID متقايسان حسب الحالة الأولى لتقايس المثلثات.
AIC و BID متقايسان حيث [IC] نظير [ID] إذن IC = ID وبما أن I و C و D على استقامة واحدة فإن I منتصف [CD].
2) في المثلثين BIC و AID لنا:
- IA = IB
- IC = ID
- AÎD = BÎC
إذن AID و BIC متقايسان حسب الحالة الثانية لتقايس المثلثات.
لتكن دائرة C مركزها O و شعاعها 4cm و لتكن A و B نقطتان من الدائرة C حيث AB=6cm. منصف الزاوية AÔB يقطع C في M.
- قارن المثلثين OAM و OBM.
- استنتج أن MA=MB و أن [MO) هو منصف الزاوية AMB.
1) في المثلثين OAM, OBM لنا:
- [OM] ضلع مشترك
- OA = OB (لأن A و B نقطتان من الدائرة C التي مركزها O)
- AÔM = BÔM (لأن [OM) منصف الزاوية AÔB)
إذن OAM, OBM متقايسان حسب الحالة الثانية لتقايس المثلثات.
2) AOM و BOM متقايسان حيث: [MA] نظير [MB] إذن MA=MB. AิMO نظيرة BิMO إذن AิMO = BิMO. AิMO و BิMO متجاورتان و متقايستان إذن [MO) منصف الزاوية AMB.
ABC مثلث متقايس الضلعين في A و M نقطة من [AB]. المستقيم المار من M و الموازي لـ (BC) يقطع [AC] في N.
- بين أن المثلث AMN متقايس الضلعين.
- المستقيم المار من B و الموازي لـ (AC) يقطع (MN) في E و المستقيم المار من C و الموازي لـ (AB) يقطع (MN) في F. و لتكن O نقطة تقاطع (BE) و (CF).
- بين أن المثلثين BME و CNF متقايسان.
- استنتج أن المثلث OEF متقايس الضلعين.
1) AMN و ABC زاويتان متماثلتان حصلتان عن تقاطع (AB) مع المستقيمين المتوازيين (MN) و (BC) إذن AMN = ABC (1).
وبنفس الطريقة نثبت أن ANM = ACB (2).
ABC متقايس الضلعين في A إذن ABC = ACB (3).
من (1) و (2) و (3) نستنتج أن AMN = ANM ومنه AMN متقايس الضلعين في A.
2) أ- في المثلثين BME و CNF لنا:
- BM = CN: لنا M نقطة من [AB] إذن BM = AB - AM. ونعلم أن AC = AB و AN = AM فنستنتج أن CN = AC - AN إذن BM = CN.
- EMB = FNC: لدينا AMN=ANM و AMN=EMB (متقابلتان بالرأس) و ANM=FNC (متقابلتان بالرأس), إذن EMB=FNC.
- EBM = FCN: لدينا EBM = BOC و FCN = BOC (زاويتان متماثلتان) إذن EBM = FCN.
إذن BME و CNF متقايسان حسب الحالة الأولى لتقايس المثلثات.
ب- BME و CNF متقايسان حيث BEM نظيرة CFN إذن BEM = CFN. في المثلث OEF لنا OFE = OEF إذن OEF متقايس الضلعين في O.
ABCD متوازي الأضلاع مركزه I حيث AB = 8cm و AD = 5cm و DÂB = 60°.
- عين على [AB] النقطة M حيث AM = 3cm ثم عين على [CD] النقطة N حيث CN = 3cm.
-
أ) أثبت تقايس المثلثين AMI و CNI.
ب) استنتج بقية العناصر النظيرة.
ج) بيّن أن I منتصف [MN].
2) أ- في المثلثين AMI و CNI لنا:
- (ABCD متوازي أضلاع) NC // AM و بالتالي NĈI = MÂI (زاويتان متبادلتان داخليا)
- ABCD متوازي أضلاع مركزه I إذن I منتصف [AC] ومنه AI = CI.
- AM = CN = 3cm (معطى)
إذن المثلثين AMI و CNI متقايسان حسب الحالة الثانية لتقايس المثلثات.
ب- من التقايس نستنتج أن: MI = NI و IM̂A = IN̂C و AM̂I = CN̂I.
ج- بما أن MI = NI فإن I هي منتصف القطعة [MN].
ليكن EFGH مربع مركزه T و R نقطة من [EF] و S نقطة من [FG] حيث FR=FS.
-
أ) أثبت تقايس المثلثين FRT و FST.
ب) استنتج بقية العناصر النظيرة.
-
أ) بيّن أن (TF) الموسط العمودي لـ [RS].
ب) استنتج طبيعة الرباعي RSGE.
- المستقيم (ST) يقطع (EH) في P. بيّن أن TP=TR=TS.
1) أ- EFGH مربع إذن [FH] هو منصف الزاوية EFG ومنه RFT = SFT = 45°. في المثلثين FRT و FST لنا:
- [FT] ضلع مشترك
- FR = FS (معطى)
- RFT = SFT = 45°
إذن المثلثان FST و FRT متقايسان حسب الحالة الثانية لتقايس المثلثات.
ب- من التقايس نستنتج أن: RT = ST, FR̂T = FŜT, RT̂F = ST̂F.
2) أ- لدينا FR=FS و TR=ST. إذن F و T نقطتان تنتميان للموسط العمودي لـ [RS]. ومنه (TF) هو الموسط العمودي لـ [RS].
ب- بما أن (TF) هو قطر المربع، فإنه عمودي على القطر الآخر (EG). ولأن (TF) عمودي على (RS)، فإن (RS) // (EG). إذن RSGE هو شبه منحرف.
3) بما أن RT=TS (من 1.ب) و TP=TS (من تقايس المثلثين PHT و FST المشابه لإثبات 1.أ)، فإن TP=TR=TS.
نعتبر الشكل الموالي حيث TBCS مستطيل و A منتصف [TS].
- بين تقايس المثلثين ABT و ASC ثم استنتج بقية العناصر المتقايسة.
- أ) ابن [Ax) منصف الزاوية CÂB. ب) بيّن أن (Ax) ⊥ (ST).
- المستقيم المار من B والموازي لـ (AC) يقطع (ST) في E والمستقيم المار من C والموازي لـ (AB) يقطع (ST) في F. أثبت تقايس المثلثين ABE و ACF.
1) في المثلثين ABT و ASC لنا:
- AT = AS (لأن A منتصف [ST])
- BT = CS (لأن TBCS مستطيل)
- AT̂B = AŜC = 90° (TBCS مستطيل)
إذن ABT و ASC متقايسان حسب الحالة الثانية لتقايس المثلثات. نستنتج أن AB=AC و BÂT=CÂS و AB̂T=AĈS.
2) بما أن AB=AC، فإن المثلث ABC متقايس الضلعين في A. وعليه فإن منصف زاويته الرئيسية [Ax) هو أيضا الموسط العمودي للقاعدة [BC]، إذن (Ax) ⊥ (BC). وبما أن (TS) // (BC) (لأن TBCS مستطيل)، فإن (Ax) ⊥ (ST).
3) في المثلثين ABE و ACF لنا:
- AB = AC (تم إثباته)
- EB = FC (يمكن إثبات أن الرباعيين AEBC و ABCF متوازيا أضلاع)
- EB̂A = FĈA (زاويتان متبادلتان داخليا)
إذن ABE و ACF متقايسان حسب الحالة الثانية لتقايس المثلثات.
لتكن دائرة C مركزها O و شعاعها 3cm و لتكن A و B نقطتان من الدائرة حيث AB=4cm. المماسان للدائرة في A و B يتقاطعان في النقطة H.
- بيّن أن HA=HB و استنتج أن (OH) هو الموسط العمودي لـ [AB].
- بيّن أن (HO] هو منصف الزاوية AHB.
1) (AH) مماس لـ C في A إذن (OA)⊥(AH) ومنه OAH قائم في A. (BH) مماس لـ C في B إذن (OB)⊥(BH) ومنه OBH قائم في B.
في المثلثين القائمين OAH, OBH لنا:
- [OH] وتر مشترك.
- OA = OB (لأن A و B نقطتان من الدائرة C التي مركزها O).
إذن OAH و OBH متقايسان حسب الحالة الخاصة لتقايس المثلثات القائمة. إذن HA = HB. بما أن H متساوية البعد عن طرفي القطعة [AB] و O متساوية البعد عن طرفي القطعة [AB]، فإن (OH) هو الموسط العمودي لـ [AB].
2) OAH و OBH متقايسان حيث AĤO نظيرة BĤO إذن AĤO = BĤO. AĤO و BĤO متجاورتان و متقايستان إذن [HO) منصف الزاوية AHB.
يعتبر الشكل التالي حيث ABC مثلث قائم في B و DA=DC.
- عين من [AD] النقطة H حيث DH=DB و H لا تنتمي إلى [AD].
- أ) قارن المثلثين ADB و CDH. ب) استنتج أن (AH)⊥(CH).
- أ) المستقيمان (CH) و (BA) يتقاطعان في النقطة E. قارن المثلثين EDB و EDH. ب) استنتج طبيعة المثلث EAC.
2) أ- في المثلثين ADB, CDH لنا: AD=CD, BD=HD, AĎB=HĎC (زاويتان متقابلتان بالرأس). إذن ADB و CDH متقايسان حسب الحالة الثانية لتقايس المثلثات.
ب- ABD و CDH متقايسان حيث CĤD نظيرة AB̂D إذن AB̂D = CĤD = 90° ومنه (AH)⊥(CH).
3) أ- EDB قائم في B و EDH قائم في H. في المثلثين القائمين EDB و EDH لنا: [ED] وتر مشترك و BD=HD. إذن EDB و EDH متقايسان حسب الحالة الخاصة لتقايس المثلثات القائمة.
ب- من تقايس EDB و EDH نستنتج أن BE=HE (1). ومن تقايس ABD و CDH نستنتج أن AB=CH (2). لدينا AE = AB+BE و CE = CH+HE. من (1) و (2) نستنتج أن AE = CE. وبالتالي EAC مثلث متقايس الضلعين في E.
أرسم مثلثا ABC قائم الزاوية في C بحيث BÂC = 70°.
- ابن منصف الزاوية BÂC الذي يقطع (BC) في D. المستقيم العمودي على (AD) والمار من D يقطع (AC) في N و (AB) في M.
- بيّن أن المثلثين AMD و AND متقايسان.
- استنتج أن (AD) هو الموسط العمودي لـ [MN].
- أوجد DMB و ANM.
2) في المثلثين AMD و AND لدينا: [AD] ضلع مشترك، AD̂M = AD̂N = 90°، MÂD = NÂD = 35° (لأن (AD] منصف). إذن المثلثان AND و AMD متقايسان وينتج أن: AM=AN, DM=DN.
3) بما أن AM=AN و DM=DN فإن A و D تنتميان للموسط العمودي لـ [MN]. إذن (AD) هو الموسط العمودي لـ [MN].
4) AMN مثلث متقايس الضلعين في A إذن AN̂M = (180° - 70°)/2 = 55°. DMB و AMN زاويتان متجاورتان ومتكاملتان إذن DM̂B = 180° - AN̂M = 180° - 55° = 125°.
أرسم مربعا ABCD وعين النقط [M∈[AB و [N∈[AD و [P∈[BC بحيث PC=NA=MB.
- بين أن المثلثين AMN و MBP متقايسان.
- استنتج أن المثلث MNP متقايس الضلعين وقائم الزاوية في M.
- أ) قارن المثلثين OBP و OND. ب) أثبت أن (MO)⊥(NP). ج) بين أن O منتصف [AC].
1) لدينا AM = AB - MB و BP = BC - PC. بما أن AB=BC (مربع) و MB=PC (معطى)، فإن AM=BP. في المثلثين AMN و MBP لدينا: AN=MB (معطى)، AM=BP (تم إثباته)، MÂN=MB̂P=90° (مربع). إذن المثلثان متقايسان.
2) من التقايس نستنتج MN=MP، إذن MNP متقايس الضلعين في M.
3) أ- في المثلثين OBP و OND لدينا: OB=OD (قطرا المربع يتقاطعان في منتصفهما)، BP=ND (يمكن استنتاجه من تقايسات سابقة)، OB̂P=OD̂N (زاويتان متبادلتان داخليا). إذن المثلثان متقايسان.
ب- في المثلث MNP المتقايس الضلعين في M، O منتصف القاعدة [NP] (يمكن إثباته)، إذن (MO) هو الموسط العمودي للقاعدة [NP] ومنه (MO)⊥(NP).
ج- O هو مركز المربع، فهو منتصف قطريه [AC] و [BD].