سلسلة تمارين: تقايس المثلثات

تمرين 1: التناظر والتوازي

لتكن $I$ منتصف قطعة $[AB]$. نعتبر نصفي مستقيمين متوازيين $[Ax)$ و $[By)$. نضع نقطة $C$ على $[Ax)$ و نقطة $D$ على $[By)$ حيث $AC = BD$.
بيّن أن المثلثين $AIC$ و $BID$ متقايسان.

لنقارن المثلثين $AIC$ و $BID$، لدينا:

$AI = IB$ (لأن $I$ منتصف $[AB]$).
$AC = BD$ (معطيات).
$\widehat{CAI} = \widehat{DBI}$ (لأنهما زاويتان متبادلتان داخلياً والمستقيمان $(Ax)$ و $(By)$ متوازيان).

إذن المثلثان $AIC$ و $BID$ متقايسان حسب الحالة الأولى لتقايس المثلثات (ض.ز.ض).

تمرين 2: خاصية المنصف

لتكن زاوية $\widehat{xOy}$ و $[Ot)$ منصفها. نعتبر نقطة $M$ من $[Ot)$، ونقطة $A$ من $[Ox)$ ونقطة $B$ من $[Oy)$ حيث $OA = OB$.
قارن المثلثين $OAM$ و $OBM$.

في المثلثين $OAM$ و $OBM$ لدينا:

الضلع $[OM]$ مشترك بينهما.
$OA = OB$ (بناءً على المعطيات).
$\widehat{AOM} = \widehat{BOM}$ (لأن $[OM)$ هو منصف الزاوية $\widehat{xOy}$).

إذن المثلثان $OAM$ و $OBM$ متقايسان حسب الحالة الأولى (ضلعان وزاوية محصورة بينهما).

تمرين 3: في المستطيل

ليكن $ABCD$ مستطيلاً. نعتبر $E$ منتصف الضلع $[AB]$.
أثبت أن $DE = CE$.

نقارن المثلثين $ADE$ و $BCE$:

$AD = BC$ (ضلعان متقابلان في مستطيل).
$AE = BE$ (لأن $E$ منتصف $[AB]$).
$\widehat{DAE} = \widehat{CBE} = 90^\circ$ (زوايا المستطيل قائمة).

إذن المثلثان $ADE$ و $BCE$ متقايسان (الحالة الأولى).
وبما أنهما متقايسان، فإن جميع عناصرهما النظيرة متقايسة، ومنه $DE = CE$.

تمرين 4: المثلث متقايس الضلعين والموسطات

ليكن $ABC$ مثلثاً متقايس الضلعين قمته الرئيسية $A$. لتكن $M$ منتصف $[AC]$ و $N$ منتصف $[AB]$.
بيّن أن $BM = CN$.

لنقارن المثلثين $ABM$ و $ACN$:

$AB = AC$ (لأن المثلث $ABC$ متقايس الضلعين في $A$).
$AM = AN$ (لأن $M$ منتصف $[AC]$ و $N$ منتصف $[AB]$ و $AB=AC$، إذن أنصاف الأضلاع متساوية).
الزاوية $\widehat{A}$ مشتركة بين المثلثين.

إذن المثلثان $ABM$ و $ACN$ متقايسان حسب الحالة الأولى.
وبالتالي، فإن الضلعين النظيرين $BM$ و $CN$ متقايسان، أي $BM = CN$.

تمرين 5: داخل المربع

في مربع $ABCD$، نضع نقطة $E$ على $[AB]$ ونقطة $F$ على $[BC]$ بحيث $AE = BF$.
أثبت أن $DE = AF$.

لنقارن المثلثين $DAE$ و $ABF$:

$AD = AB$ (أضلاع المربع متقايسة).
$AE = BF$ (معطيات).
$\widehat{DAE} = \widehat{ABF} = 90^\circ$ (زوايا المربع قائمة).

بما أن لهما ضلعان وزاوية محصورة متقايسة، فإن المثلثين $DAE$ و $ABF$ متقايسان.
ينتج عن ذلك تقايس وتريهما: $DE = AF$.

تمرين 6: المثلث متقايس الأضلاع

ليكن $ABC$ مثلثاً متقايس الأضلاع. لتكن $H$ منتصف $[BC]$.
استخدم الحالة الأولى لتبين أن المثلثين $ABH$ و $ACH$ متقايسان.

بمقارنة المثلثين $ABH$ و $ACH$ نجد:

$AB = AC$ (أضلاع مثلث متقايس الأضلاع).
$BH = CH$ (لأن $H$ منتصف $[BC]$).
$\widehat{B} = \widehat{C} = 60^\circ$ (زوايا مثلث متقايس الأضلاع).

إذن المثلثان متقايسان حسب الحالة الأولى (ض.ز.ض).

تمرين 7: مركز متوازي الأضلاع

ليكن $ABCD$ متوازي أضلاع مركزه $O$.
أثبت أن المثلثين $OAB$ و $OCD$ متقايسان باستعمال الحالة الأولى.

نعلم أن قطري متوازي الأضلاع يتقاطعان في منتصفهما $O$. إذن:

$OA = OC$ و $OB = OD$.
$\widehat{AOB} = \widehat{COD}$ (زاويتان متقابلتان بالرأس).

بما أن المثلثين $OAB$ و $OCD$ لهما ضلعان متقايسان وزاوية محصورة بينهما متقايسة، فهما متقايسان.

تمرين 8: الدوائر المتحدة المركز

لتكن دائرتان لهما نفس المركز $O$. نصف مستقيم $[Ox)$ يقطع الدائرتين في $A$ و $C$. نصف مستقيم آخر $[Oy)$ يقطعهما في $B$ و $D$.
بيّن أن $AD = BC$ علماً أن $OA=OB$ و $OC=OD$.

نقارن المثلثين $OAD$ و $OBC$:

$OA = OB$ (شعاع الدائرة الصغيرة).
$OD = OC$ (شعاع الدائرة الكبيرة).
الزاوية $\widehat{O}$ مشتركة بين المثلثين.

إذن المثلثان $OAD$ و $OBC$ متقايسان حسب الحالة الأولى، ومنه $AD = BC$.

تمرين 9: التناظر المحوري

ليكن مثلث $ABC$. ابنِ $D$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى المستقيم $(BC)$.
لماذا المثلثان $ABC$ و $DBC$ متقايسان؟

بما أن $D$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $(BC)$، فإن $(BC)$ هو الموسط العمودي لقطعة $[AD]$.
هذا يعني أن $AB = DB$ و $AC = DC$.
نقارن المثلثين $ABC$ و $DBC$:

$AB = DB$.
الضلع $[BC]$ مشترك.
$\widehat{ABC} = \widehat{DBC}$ (لأن $(BC)$ هو منصف الزاوية $\widehat{ABD}$ بالتناظر).

إذن المثلثان متقايسان حسب الحالة الأولى.

تمرين 10: فخ مفاهيمي

مثلثان لهما زاوية قيسها $40^\circ$ وضلعان طولهما $5$ سم و $7$ سم. هل هما بالضرورة متقايسان؟ علل جوابك.

**لا**، ليس بالضرورة. لكي نطبق الحالة الأولى للتقايس، يجب أن تكون الزاوية ($40^\circ$) **محصورة** بين الضلعين اللذين طولاهما $5$ سم و $7$ سم في كلا المثلثين. إذا كانت الزاوية في أحد المثلثين غير محصورة بين هذين الضلعين، فلا يمكن الجزم بتقايسهما.