1. في شكل "الفراشة" المتكون من مستقيمين متوازيين \( (AB) // (CD) \) يقطعهما \( (AD) \) و \( (BC) \) في \( O \). إذا كان \( O \) منتصف \( [AD] \)، المثلثان \( OAB \) و \( ODC \) متقايسان لأن:
الإصلاح: التوازي يعطي زوايا متبادلة داخلياً متقايسة، ومنتصف القطعة يعطي الضلع، والتقابل بالرأس يكمل شروط الحالة 1.
2. إذا كان \( ABC \) مثلثاً و \( I \) منتصف \( [BC] \). المستقيم المار من \( B \) والموازي لـ \( (AC) \) يقطع المستقيم المار من \( I \) في \( E \). لمقارنة \( AIC \) و \( EIB \) نستخدم:
الإصلاح: التوازي مع وجود منتصف ضلع هي وضعية نموذجية لتطبيق الحالة الأولى (ASA).
3. في مثلث \( ABC \)، إذا كان منصف الزاوية \( \widehat{A} \) هو نفسه الارتفاع الصادر من \( A \)، ماذا نستنتج عن المثلث؟
الإصلاح: المثلثان يتقايسان بضلع مشترك (الارتفاع) وزاويتين (90° ونصف زاوية الرأس)، مما يؤدي لتقايس \( AB \) و \( AC \).
4. لتكن \( (D) \) و \( (D') \) مستقيمين متوازيين. \( A, B \) نقطتان من \( (D) \). الموسط العمودي لـ \( [AB] \) يقطع \( (D') \) في \( M \). المثلثان \( MAB \) يكون:
5. النتيجة "الخفية" لتقايس مثلثين حسب الحالة الأولى (ASA) هي:
الإصلاح: بمجرد ثبوت التقايس، تصبح كل الأجزاء الستة للمثلث متطابقة مع نظائرها.
6. في شبه منحرف متقايس الساقين \( ABCD \)، المثلثان الناتجان عن القطرين والقاعدة الكبرى يتقايسان بـ:
الإصلاح: القاعدة الكبرى ضلع مشترك، وزوايا القاعدة في شبه المنحرف المتقايس الساقين متقايسة.
7. إذا كان المثلث \( ABC \) له زاويتان \( 50^\circ \) و \( 60^\circ \) وضلع بينهما \( 5cm \). ومثلث \( DEF \) له زاويتان \( 50^\circ \) و \( 70^\circ \) وضلع \( 5cm \). هل يتقايسان؟
الإصلاح: مجموع زوايا المثلث 180°. إذا علمنا زاويتين، فالثالثة محددة. بالتالي المثلثان يملكان نفس الزوايا والضلع.
8. في متوازي الأضلاع \( ABCD \)، القطر \( [BD] \) يقسمه لمثلثين متقايسان. ما هي "العناصر المتناظرة" التي تثبت ذلك؟
الإصلاح: القطر يعمل كقاطع لمستقيمين متوازيين، مما يوفر أزواجاً من الزوايا المتقايسة بالتبادل.
9. "الموسط" في مثلث متقايس الضلعين هو أيضاً "منصف". هذا يثبت التقايس حسب الحالة:
الإصلاح: الضلع المشترك هو الموسط، والزاويتان هما زاوية القاعدة ونصف زاوية الرأس (أو القائمة).
10. أي من هذه الشروط "لا" يحقق الحالة الأولى ASA؟
الإصلاح: الضلعان وزاوية غير محصورة (SSA) هي حالة خادعة لا تضمن التقايس دائماً.