تمارين في التناظر المركزي

المدرسة الإعدادية النموذجية بضفاف البحيرة 8 أساسي فوزي الغربي
متوازي أضلاع في معين متعامد
تمرين 4

فيما يلي معين متعامد $(O, I, J)$.

  1. عين النقاط: $A(3, 1)$ و $B(2, -3)$ و $C(-3, -1)$.
  2. أ - بين أن A و C متناظرتان بالنسبة لـ O.
    ب - ابن D نظيرة B بالنسبة لـ O.
    ج - حدد إحداثياتها.
  3. بين أن $AB = CD$.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

نقطتان $M(x, y)$ و $M'(x', y')$ تكونان متناظرتين بالنسبة للمبدأ O إذا كانت إحداثياتهما متقابلة ($x'=-x$ و $y'=-y$). التناظر المركزي يحافظ على البعد.

📝 الطريقة

  1. 2-أ) قارن إحداثيات A بإحداثيات C. هل هما متقابلتان؟ (لاحظ أن هناك خطأ مطبعي في إحداثيات C في السؤال الأصلي، يجب أن تكون $C(-3, -1)$ لتكون متناظرة مع $A(3, 1)$).
  2. 2-ج) إذا كانت D نظيرة B بالنسبة لـ O، فإن إحداثيات D هي مقابل إحداثيات B.
  3. 3) احسب البعد AB ثم البعد CD باستخدام صيغة البعد $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$. أو استخدم خاصية الحفاظ على المسافات بالتناظر المركزي.

✅ الحل الكامل

2-أ) لدينا $A(3, 1)$ و $C(-3, -1)$. بما أن $x_C = -x_A$ و $y_C = -y_A$, فإن A و C متناظرتان بالنسبة للمبدأ O.

2-ج) D هي نظيرة $B(2, -3)$ بالنسبة لـ O. إذن إحداثيات D هي $(-2, 3)$.

3) بما أن A و C متناظرتان بالنسبة لـ O، و B و D متناظرتان بالنسبة لـ O، فإن القطعة [CD] هي صورة القطعة [AB] بالتناظر المركزي O. التناظر المركزي يحافظ على الأطوال، إذن $AB = CD$.

خصائص التناظر في معين متعامد ومتجانس
تمرين 5

ليكن $(O, I, J)$ معينا في المستوي حيث $(OI) \perp (OJ)$ و $OI=OJ$.

  1. أرسم النقاط $A(3, 2)$ و $B(-3, 2)$ و $C(-3, -4)$.
    • بين أن A و C ليستا متناظرتين بالنسبة لـ O.
  2. ابن النقطة D مناظرة B بالنسبة لـ O. حدد إحداثيات D.
    • بين أن $(AD) // (BC)$.
  3. عين النقطة E مناظرة D بالنسبة لـ $(OI)$.
    • حدد إحداثيات E.
    • بين أن $(BE) // (OI)$.
    • استنتج أن المثلث BED قائم في E.
  4. لتكن النقطة F المسقط العمودي لـ B على $(OI)$. حدد إحداثيات F.
    • المستقيم $(OI)$ يقطع $(AD)$ في النقطة H.
    • بين أن AEHF مستطيل.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم خصائص الإحداثيات لكل نوع من التناظر (المركزي والمحوري). لإثبات التوازي، قارن ميول المستقيمات. لإثبات أن شكلاً رباعياً هو مستطيل، أثبت أن له ثلاث زوايا قائمة.

📝 الطريقة

  1. 1) قارن إحداثيات A و C. هل هي متقابلة؟
  2. 2) إحداثيات D هي مقابل إحداثيات B. لإثبات توازي مستقيمين، أثبت أن لهما نفس الميل $m = (y_2-y_1)/(x_2-x_1)$.
  3. 3) التناظر بالنسبة للمحور (OI) (محور السينات) يغير إشارة الترتيب: $M(x,y) \rightarrow M'(x,-y)$.
  4. 4) المسقط العمودي لنقطة على محور السينات له نفس الفاصلة وترتيبه صفر.

✅ الحل الكامل

1) $A(3, 2)$, $C(-3, -4)$. بما أن $y_C \neq -y_A$, فإنهما غير متناظرتين بالنسبة لـ O.

2) D نظيرة $B(-3, 2)$ بالنسبة لـ O, إذن $D(3, -2)$. ميل (AD) هو $m_{AD} = \frac{-2-2}{3-3}$, وهو غير معرف (مستقيم عمودي). ميل (BC) هو $m_{BC} = \frac{-4-2}{-3-(-3)}$, وهو غير معرف. إذن $(AD) // (BC)$.

3) E نظيرة $D(3, -2)$ بالنسبة لـ (OI), إذن $E(3, 2)$, وهي نفس النقطة A. إذن E هي A. $(BE)$ هو $(BA)$, وهو مستقيم أفقي ميله صفر، إذن يوازي $(OI)$. المثلث BED هو نفسه المثلث BAD. بما أن $m_{AD}$ غير معرف و $m_{BA}=0$, فإن $(AD) \perp (BA)$. المثلث قائم في A (أي E).

4) F المسقط العمودي لـ $B(-3, 2)$ على (OI) هي $F(-3, 0)$. الرباعي AEHF هو A(3,2), E(3,2), H(3,y), F(-3,0). هناك خطأ في نص التمرين. بافتراض أن H هي تقاطع (AD) مع (OI) فإن $H(3,0)$. الرباعي AEHF هو A(3,2), E(3,2), H(3,0), F(-3,0). هذا ليس مستطيلاً. بتصحيح السؤال: الرباعي ABFH له زوايا قائمة في A, F, H. إذن هو مستطيل.

التناظر المركزي والزوايا
تمرين 6

ليكن $(O, I, J)$ معينا متعامدا. عين النقاط $A(3, 0)$ و $B(0, 4)$ و $C(-3, -4)$.

  1. أ - أرسم المستقيم $\Delta$ المار من A والموازي لـ $(OJ)$ وعين عليه النقطة E التي ترتيبها 4.
    ب - ما هي إحداثيات E؟
  2. أ - بين أن $(BE) // (OI)$.
    ب - بين أن النقطتين E و C متناظرتان بالنسبة إلى O.
  3. لتكن النقطة F مناظرة A بالنسبة إلى O.
    • ما هي مناظرة الزاوية $\angle ECA$ بالنسبة إلى O؟
    • قارن إذن بين $\angle ECA$ و $\angle FÂC$ معللا جوابك.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

المستقيم الموازي لمحور التراتيب (OJ) هو مستقيم عمودي له نفس الفاصلة. التناظر المركزي يحافظ على أقيسة الزوايا.

📝 الطريقة

  1. 1) $\Delta$ يمر من A ومواز لـ (OJ), إذن معادلته $x=3$. نقطة عليه ترتيبها 4 هي $E(3, 4)$.
  2. 2-أ) B و E لهما نفس الترتيب (4), إذن المستقيم (BE) أفقي ويوازي محور الفواصل (OI).
  3. 2-ب) قارن إحداثيات E بإحداثيات C. هل هي متقابلة؟
  4. 3) صورة الزاوية $\angle ECA$ بالتناظر O هي الزاوية التي رؤوسها صور E, C, A. التناظر المركزي يحافظ على أقيسة الزوايا.

✅ الحل الكامل

1) المستقيم $\Delta$ له المعادلة $x=3$. النقطة E عليه وترتيبها 4 لها إحداثيات $E(3, 4)$.

2-أ) $B(0, 4)$ و $E(3, 4)$. بما أن لهما نفس الترتيب، فالمستقيم (BE) أفقي ومواز لـ (OI).

2-ب) لدينا $E(3, 4)$ و $C(-3, -4)$. بما أن $x_C = -x_E$ و $y_C = -y_E$, فإن E و C متناظرتان بالنسبة للمبدأ O.

3) F نظيرة A بالنسبة لـ O, إذن $F(-3, 0)$.
أ- مناظرة الزاوية $\angle ECA$ بالنسبة لـ O هي $\angle ACF$ (صورة E هي C, صورة C هي E, صورة A هي F).
ب- التناظر المركزي يحافظ على أقيسة الزوايا. إذن $\angle ECA = \angle CEF$. (خطأ في السؤال الأصلي). الصحيح هو $\angle ECA = \angle CAF$.