تمارين في المعلم المتعامد

المدرسة الإعدادية النموذجية بضفاف البحيرة فوزي الغربي
معين متعامد ومثلث متقايس الضلعين
تمرين 26

ليكن (O, I, J) معينا متعامدا في المستوي.

  1. عين النقطتين A(2,3) و B(2,-3). بين أن المثلث OAB متقايس الضلعين.
  2. تعتبر النقطة C مناظرة النقطة A بالنسبة للنقطة O. حدد إحداثياتها.
  3. بين أن المثلث ABC قائم.
  4. حدد إحداثيات النقطة D بحيث يكون الرباعي ABCD مستطيلا.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

1. للمثلث OAB: لاحظ أن A(2,3) و B(2,-3) لهما نفس الفاصلة (2). ما نوع التناظر بينهما بالنسبة لأحد محوري المعين؟ وكيف يحافظ هذا التناظر على المسافات؟

2. للمثلث ABC: بعد إيجاد إحداثيات C، حاول حساب أطوال الأضلاع باستخدام قاعدة البعد بين نقطتين، أو استخدم مبرهنة فيثاغورس العكسية.

3. للنقطة D: في المستطيل، القطران لهما نفس المنتصف ونفس الطول.

📝 الطريقة

  1. للمثلث OAB: أثبت أن B هي مناظرة A بالنسبة للمحور (OI). استنتج أن التناظر المحوري يحافظ على البعد من أي نقطة على المحور (مثل O)، أي OA = OB.
  2. للنقطة C: طبّق قاعدة التناظر المركزي بالنسبة للمبدأ O على إحداثيات A: $(x, y) \rightarrow (-x, -y)$.
  3. للمثلث ABC: احسب مربعات الأطوال: $AB^2$, $BC^2$, $AC^2$. تحقق مما إذا كان $AC^2 = AB^2 + BC^2$.
  4. للنقطة D: لكي يكون ABCD مستطيلاً، يجب أن يكون متوازي أضلاع (له نفس منتصف القطرين) وأحد زواياه قائمة. يكفي أن يكون منتصف [AC] هو نفسه منتصف [BD].

✅ الحل الكامل

1) تبيين أن المثلث OAB متقايس الضلعين:
النقطتان A(2,3) و B(2,-3) لهما نفس الفاصلة (2) وفاصلتان متقابلتان (3 و -3). إذن، B هي مناظرة A بالنسبة للمحور (OI).
التناظر المحوري يحافظ على البعد. بما أن النقطة O تنتمي لمحور التناظر (OI)، فإن بعدها عن A يساوي بعدها عن B. إذن $OA = OB$.
وبالتالي، المثلث OAB متقايس الضلعين في O.

2) إحداثيات النقطة C:
C هي مناظرة A بالنسبة للمبدأ O. قاعدة التناظر المركزي بالنسبة للمبدأ هي $(x, y) \rightarrow (-x, -y)$.
بما أن A(2,3)، فإن إحداثيات C هي C(-2, -3).

3) تبيين أن المثلث ABC قائم:
لدينا A(2,3), B(2,-3), C(-2,-3). لنحسب مربع أطوال الأضلاع:
$AB^2 = (2-2)^2 + (-3-3)^2 = 0^2 + (-6)^2 = 36$
$BC^2 = (-2-2)^2 + (-3-(-3))^2 = (-4)^2 + 0^2 = 16$
$AC^2 = (-2-2)^2 + (-3-3)^2 = (-4)^2 + (-6)^2 = 16 + 36 = 52$
نلاحظ أن $AC^2 = 52$ و $AB^2 + BC^2 = 36 + 16 = 52$.
بما أن $AC^2 = AB^2 + BC^2$، فإنه حسب مبرهنة فيثاغورس العكسية، المثلث ABC قائم في B.

4) إحداثيات النقطة D:
لكي يكون ABCD مستطيلاً، يجب أن يكون متوازي أضلاع. أي أن قطراه [AC] و [BD] لهما نفس المنتصف. منتصف [AC] هو $(\frac{2+(-2)}{2}, \frac{3+(-3)}{2}) = (0, 0)$، وهو النقطة O.
إذن، يجب أن يكون O منتصف [BD]. هذا يعني أن D هي مناظرة B بالنسبة لـ O.
بتطبيق قاعدة التناظر المركزي على B(2,-3)، نحصل على D(-2, 3).
إحداثيات D هي D(-2, 3).

مناظرات النقاط في المعين المتعامد
تمرين 27

في معين متعامد (O, I, J)، نعتبر النقاط التالية:

إحداثيات النقاط:

  • E(1, -1)
  • F(-4, 3)
  • G(-5, -3)

حدد إحداثيات مناظرات النقاط E و F و G بالنسبة إلى المحور (OI)، ثم بالنسبة إلى المحور (OJ)، ثم بالنسبة إلى المبدأ O. أكمل الجدول التالي:

النقطة E(1, -1) F(-4, 3) G(-5, -3)
مناظرة النقطة بالنسبة إلى (OI) _______ _______ _______
مناظرة النقطة بالنسبة إلى (OJ) _______ _______ _______
مناظرة النقطة بالنسبة إلى O _______ _______ _______
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تذكر قواعد التناظر في المعين المتعامد:

  • التناظر بالنسبة إلى محور الفاصلات (OI): ماذا يحدث للفاصلة (x) وماذا يحدث للترتيب (y)؟
  • التناظر بالنسبة إلى محور التراتيب (OJ): ماذا يحدث للفاصلة (x) وماذا يحدث للترتيب (y)؟
  • التناظر بالنسبة إلى المبدأ (O): ماذا يحدث لكلا الإحداثيين؟

📝 الطريقة

استخدم القواعد الجبرية التالية لكل نقطة $(x, y)$:

  1. التناظر المحوري بالنسبة إلى (OI): صورة $(x,y)$ هي $(x, -y)$. (نغير إشارة الترتيب فقط)
  2. التناظر المحوري بالنسبة إلى (OJ): صورة $(x,y)$ هي $(-x, y)$. (نغير إشارة الفاصلة فقط)
  3. التناظر المركزي بالنسبة إلى O: صورة $(x,y)$ هي $(-x, -y)$. (نغير كلا الإشارتين)

طبّق هذه القواعد على إحداثيات كل نقطة من النقاط E، F، و G لملء الجدول.

✅ الحل الكامل

النقطة الأصلية E(1, -1) F(-4, 3) G(-5, -3)
مناظرة بالنسبة إلى (OI) (1, 1) (-4, -3) (-5, 3)
مناظرة بالنسبة إلى (OJ) (-1, -1) (4, 3) (5, -3)
مناظرة بالنسبة إلى O (-1, 1) (4, -3) (5, 3)

شرح التطبيق:

  • للنقطة E(1, -1):
    • بالنسبة إلى (OI): (1, -(-1)) = (1, 1)
    • بالنسبة إلى (OJ): (-1, -1) = (-1, -1)
    • بالنسبة إلى O: (-1, -(-1)) = (-1, 1)
  • للنقطة F(-4, 3):
    • بالنسبة إلى (OI): (-4, -3) = (-4, -3)
    • بالنسبة إلى (OJ): (-(-4), 3) = (4, 3)
    • بالنسبة إلى O: (-(-4), -3) = (4, -3)
  • للنقطة G(-5, -3):
    • بالنسبة إلى (OI): (-5, -(-3)) = (-5, 3)
    • بالنسبة إلى (OJ): (-(-5), -3) = (5, -3)
    • بالنسبة إلى O: (-(-5), -(-3)) = (5, 3)