في معلم متعامد ومتجانس $(O, \vec{i}, \vec{j})$، لدينا النقاط:
أثبت أن النقطتين $A$ و $D$ متناظرتان بالنسبة للمحور $(OI)$ (محور الفواصل).
ما هي إحداثيات مناظرة نقطة $(x, y)$ بالنسبة للمحور $(OI)$؟ قارن إحداثيات $A$ و $D$.
1. اذكر أن مناظرة النقطة $(x, y)$ بالنسبة لـ $(OI)$ هي $(x, -y)$.
2. طبق هذه القاعدة على النقطة $A(3, 2)$.
3. قارن النتيجة مع إحداثيات $D$.
بالنسبة للتناظر المحوري بالنسبة لـ $(OI)$، مناظرة النقطة $(x, y)$ هي $(x, -y)$.
مناظرة النقطة $A(3, 2)$ بالنسبة لـ $(OI)$ هي $(3, -2)$.
وهذه هي بالضبط إحداثيات النقطة $D(3, -2)$.
إذن $A$ و $D$ متناظرتان بالنسبة للمحور $(OI)$.
في نفس المعلم، لدينا النقطة $E(-2, 7)$.
أوجد إحداثيات النقطة $E'$ مناظرة $E$ بالنسبة للمحور $(OI)$. ثم تحقق من صحة إجابتك بحساب منتصف $[EE']$.
استخدم نفس قانون التناظر. ما هو منتصف قطعة تربط نقطة بمناظرتها محورياً؟
1. طبق قانون التناظر المحوري: $(x, y) \rightarrow (x, -y)$.
2. احسب إحداثيات $E'$.
3. احسب منتصف $[EE']$ وتأكد أنه على المحور $(OI)$.
مناظرة $E(-2, 7)$ بالنسبة لـ $(OI)$ هي $E'(-2, -7)$.
للتحقق: منتصف $[EE']$ له الإحداثيات:
$x = \frac{-2 + (-2)}{2} = -2$
$y = \frac{7 + (-7)}{2} = 0$
المنتصف هو $(-2, 0)$ وهو ينتمي للمحور $(OI)$ (حيث $y = 0$).
هذا يؤكد صحة النتيجة.
لدينا النقاط في المعلم:
حدد أي زوج من هذه النقاط متناظر بالنسبة للمحور $(OJ)$ (محور التراتيب).
مناظرة النقطة $(x, y)$ بالنسبة لـ $(OJ)$ هي $(-x, y)$. ابحث عن نقطتين لهما نفس التراتيب وفواصل متقابلة.
1. طبق قانون التناظر: $(x, y) \rightarrow (-x, y)$.
2. لكل نقطة، احسب مناظرتها.
3. ابحث في القائمة عن النقطة التي تطابق هذه المناظرة.
قانون التناظر بالنسبة لـ $(OJ)$: $(x, y) \rightarrow (-x, y)$
• مناظرة $P(4, 1)$ هي $(-4, 1) = Q$
• مناظرة $Q(-4, 1)$ هي $(4, 1) = P$
• مناظرة $R(6, -3)$ هي $(-6, -3) = S$
• مناظرة $S(-6, -3)$ هي $(6, -3) = R$
إذن: النقطتان $P$ و $Q$ متناظرتان، والنقطتان $R$ و $S$ متناظرتان بالنسبة لـ $(OJ)$.
لدينا النقطة $M(5, -2)$.
أوجد إحداثيات النقطة $M'$ مناظرة $M$ بالنسبة للمحور $(OJ)$. ثم احسب البعد $MM'$ وبيّن أن المحور $(OJ)$ هو المنصف العمودي للقطعة $[MM']$.
احسب إحداثيات $M'$ أولاً. ثم استخدم قانون البعد وتحقق من أن منتصف $[MM']$ ينتمي لـ $(OJ)$.
1. طبق قانون التناظر لإيجاد $M'$.
2. احسب $MM'$ باستخدام قانون البعد.
3. احسب منتصف $[MM']$ وتأكد أنه على $(OJ)$.
4. تحقق من أن $[MM']$ عمودي على $(OJ)$.
مناظرة $M(5, -2)$ بالنسبة لـ $(OJ)$ هي $M'(-5, -2)$.
البعد: $MM' = \sqrt{(-5-5)^2 + (-2-(-2))^2} = \sqrt{100 + 0} = 10$
منتصف $[MM']$: $I\left(\frac{5+(-5)}{2}, \frac{-2+(-2)}{2}\right) = I(0, -2)$
النقطة $I(0, -2)$ تنتمي للمحور $(OJ)$ (فاصلتها تساوي 0).
المستقيم $(MM')$ أفقي (له معادلة $y = -2$) وهو عمودي على $(OJ)$ الذي هو عمودي.
إذن $(OJ)$ هو المنصف العمودي للقطعة $[MM']$.
لدينا النقاط:
أثبت أن النقطتين $U$ و $V$ متناظرتان بالنسبة للنقطة $O$، وكذلك النقطتين $W$ و $Z$.
مناظرة النقطة $(x, y)$ بالنسبة لـ $O$ هي $(-x, -y)$. أو يمكنك التحقق من أن $O$ منتصف القطعة.
1. طبق قانون التناظر المركزي: $(x, y) \rightarrow (-x, -y)$.
2. أو احسب منتصف كل قطعة وتحقق أنه $O(0, 0)$.
3. طبق على كلا الزوجين.
للزوج الأول:
مناظرة $U(3, 4)$ بالنسبة لـ $O$ هي $(-3, -4) = V$
أو: منتصف $[UV] = \left(\frac{3+(-3)}{2}, \frac{4+(-4)}{2}\right) = (0, 0) = O$
للزوج الثاني:
مناظرة $W(1, -2)$ بالنسبة لـ $O$ هي $(-1, 2) = Z$
أو: منتصف $[WZ] = \left(\frac{1+(-1)}{2}, \frac{-2+2}{2}\right) = (0, 0) = O$
إذن كلا الزوجين متناظر بالنسبة للنقطة $O$.
لدينا النقطة $T(-4, 3)$.
أوجد إحداثيات النقطة $T'$ مناظرة $T$ بالنسبة للنقطة $O$. ثم احسب المسافتين $OT$ و $OT'$ وقارن بينهما.
طبق قانون التناظر المركزي. ما هي خاصية التناظر المركزي بالنسبة للمسافات من مركز التناظر؟
1. احسب إحداثيات $T'$ باستخدام $(x, y) \rightarrow (-x, -y)$.
2. احسب البعد $OT$ باستخدام قانون البعد.
3. احسب البعد $OT'$ بنفس الطريقة.
4. قارن بين المسافتين.
مناظرة $T(-4, 3)$ بالنسبة لـ $O$ هي $T'(4, -3)$.
البعد $OT = \sqrt{(-4-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$
البعد $OT' = \sqrt{(4-0)^2 + (-3-0)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$
نلاحظ أن $OT = OT' = 5$.
هذا يؤكد خاصية التناظر المركزي: النقطة ومناظرتها متساويتان في البُعد عن مركز التناظر.
لدينا النقطتان $A(2, 5)$ و $A'(2, -5)$ المتناظرتان بالنسبة للمحور $(OI)$.
أثبت أن المستقيم $(AA')$ عمودي على المحور $(OI)$، ومن ثم استنتج أن $(AA')$ موازي للمحور $(OJ)$.
ما هو اتجاه المستقيم الواصل بين نقطة ومناظرتها محورياً؟ وما علاقة ذلك بالمحور؟
1. تحقق أولاً أن $A$ و $A'$ متناظرتان بالنسبة لـ $(OI)$.
2. لاحظ أن $A$ و $A'$ لهما نفس الفاصلة.
3. استنتج أن $(AA')$ عمودي - موازي لـ $(OJ)$.
4. استخدم خاصية التناظر المحوري.
أولاً، نتحقق من التناظر: مناظرة $A(2, 5)$ بالنسبة لـ $(OI)$ هي $(2, -5) = A'$ ✓
نلاحظ أن النقطتين $A(2, 5)$ و $A'(2, -5)$ لهما نفس الفاصلة $x = 2$.
إذن المستقيم $(AA')$ له معادلة $x = 2$، وهو مستقيم عمودي.
المحور $(OI)$ له معادلة $y = 0$ (مستقيم أفقي).
المحور $(OJ)$ له معادلة $x = 0$ (مستقيم عمودي).
بما أن $(AA')$ مستقيم عمودي مثل $(OJ)$، فإن $(AA') \parallel (OJ)$.
وبما أن $(AA')$ عمودي و $(OI)$ أفقي، فإن $(AA') \perp (OI)$.
لدينا النقطتان $B(-3, 4)$ و $B'(3, 4)$ المتناظرتان بالنسبة للمحور $(OJ)$.
أثبت أن المستقيم $(BB')$ موازي للمحور $(OI)$. ما هي المعادلة الديكارتية لهذا المستقيم؟
لاحظ التراتيب للنقطتين. ما نوع المستقيم الذي يمر بنقطتين لهما نفس الترتيب؟
1. تحقق من التناظر بالنسبة لـ $(OJ)$.
2. لاحظ أن النقطتين لهما نفس الترتيب.
3. استنتج نوع المستقيم $(BB')$.
4. اكتب معادلته.
نتحقق من التناظر: مناظرة $B(-3, 4)$ بالنسبة لـ $(OJ)$ هي $(3, 4) = B'$ ✓
النقطتان $B(-3, 4)$ و $B'(3, 4)$ لهما نفس الترتيب $y = 4$.
إذن المستقيم $(BB')$ أفقي ومعادلته هي $y = 4$.
المحور $(OI)$ له معادلة $y = 0$ وهو أيضاً مستقيم أفقي.
بما أن كلا المستقيمين أفقيان، فإن $(BB') \parallel (OI)$.
المعادلة الديكارتية للمستقيم $(BB')$ هي: $y = 4$
لدينا النقاط:
أثبت أن $KLMN$ متوازي أضلاع باستخدام خاصية التناظر المركزي بالنسبة للنقطة $O$.
ابحث عن نقطتين متناظرتين بالنسبة لـ $O$. إذا كان لرباعي أضلاع مركز تناظر، فهو متوازي أضلاع.
1. تحقق أن $K$ و $M$ متناظرتان بالنسبة لـ $O$.
2. تحقق أن $L$ و $N$ متناظرتان بالنسبة لـ $O$.
3. استنتج أن $O$ مركز تناظر الرباعي $KLMN$.
4. استخدم الخاصية: رباعي أضلاع له مركز تناظر هو متوازي أضلاع.
التحقق من التناظر:
• مناظرة $K(4, 3)$ بالنسبة لـ $O$ هي $(-4, -3) = M$ ✓
• مناظرة $L(-1, 2)$ بالنسبة لـ $O$ هي $(1, -2) = N$ ✓
أو بالطريقة الثانية:
• منتصف $[KM] = \left(\frac{4+(-4)}{2}, \frac{3+(-3)}{2}\right) = (0, 0) = O$ ✓
• منتصف $[LN] = \left(\frac{-1+1}{2}, \frac{2+(-2)}{2}\right) = (0, 0) = O$ ✓
الاستنتاج:
بما أن قطري الرباعي $KLMN$ يتقاطعان في منتصفيهما (النقطة $O$)، فإن $KLMN$ متوازي أضلاع.
أو: بما أن $O$ مركز تناظر للرباعي $KLMN$، فإن $KLMN$ متوازي أضلاع.
لدينا النقاط $P(2, 1)$ و $Q(-3, 4)$ و $R(-1, -2)$.
أوجد إحداثيات النقطة $S$ بحيث يكون $PQRS$ متوازي أضلاع، علماً بأن مركز هذا المتوازي هو النقطة $O$.
إذا كان $O$ مركز المتوازي، فإن النقاط المتقابلة متناظرة بالنسبة لـ $O$. أي نقطة تقابل $Q$ في المتوازي $PQRS$؟
1. في متوازي الأضلاع $PQRS$، النقطتان المتقابلتان هما $P$ و $R$، و $Q$ و $S$.
2. بما أن $O$ مركز المتوازي، فإن $P$ و $R$ متناظرتان بالنسبة لـ $O$.
3. وكذلك $Q$ و $S$ متناظرتان بالنسبة لـ $O$.
4. استخدم التناظر لإيجاد $S$.
في متوازي الأضلاع $PQRS$، النقاط المتقابلة هي $P$ و $R$، و $Q$ و $S$.
أولاً، نتحقق أن $P$ و $R$ متناظرتان بالنسبة لـ $O$:
منتصف $[PR] = \left(\frac{2+(-2)}{2}, \frac{1+(-1)}{2}\right) = \left(\frac{0}{2}, \frac{0}{2}\right) = (0, 0) = O$ ✓
ممتاز! إذن $P$ و $R$ متناظرتان فعلاً بالنسبة لـ $O$.
بما أن $O$ مركز المتوازي، فإن $Q$ و $S$ متناظرتان أيضاً بالنسبة لـ $O$.
مناظرة $Q(-3, 4)$ بالنسبة لـ $O$ هي $S(3, -4)$.
التحقق: منتصف $[QS] = \left(\frac{-3+3}{2}, \frac{4+(-4)}{2}\right) = (0, 0) = O$ ✓
إذن $S(3, -4)$.