التناظر المركزي — 8 أساسي

اختر الإجابة الصحيحة من بين الأجوبة المقترحة في الجدول التالي:

اختر الإجابة الصحيحة من بين الأجوبة المقترحة في الجدول التالي:

أربط بسهم كل معطى بالعبارة المناسبة له:

فيما يلي معيّن متعامد $(O,I,J)$

1. عيّن النقاط: $A(3,1)$ و $B(2,-3)$ و $C(-3,-1)$
2. 1. بيّن أن $A$ و $C$ متناظرتان بالنسبة إلى $O$
   2. ابنِ $D$ نظيرة $B$ بالنسبة إلى $O$
   3. حدّد إحداثياتها
3. بيّن أن $AB = CD$

ليكن $(O,I,J)$ معيّنًا في المستوى حيث $(OI) \perp (OJ)$ و $OI = OJ$

1. 1. ارسم النقاط $A(3,4)$ و $B(-3,2)$ و $C(-3,-4)$
   2. بيّن أن $A$ و $C$ متناظرتان بالنسبة إلى $O$.
2. 1. ابنِ النقطة $D$ مناظرة $B$ بالنسبة إلى $O$. حدّد إحداثيات $D$.
   2. بيّن أن $(AD) \parallel (BC)$
3. عيّن النقطة $E$ مناظرة $D$ بالنسبة إلى $(OI)$
   1. حدّد إحداثيات $E$
   2. بيّن أن $(BE) \parallel (OI)$
   3. استنتج أن $BED$ مثلث قائم في $E$
4. 1. لتكن النقطة $F$ المسقط العمودي لـ $B$ على $(OI)$. حدّد إحداثيات $F$.
   2. المستقيم $(OI)$ يقطع $(AD)$ في النقطة $H$. بيّن أن $AEHF$ مستطيل.

ليكن $(O,I,J)$ معيّنًا متعامدًا. عيّن النقاط $A(3,0)$ و $B(0,4)$ و $C(-3,-4)$.

1. 1. ارسم المستقيم $\Delta$ المار من $A$ والموازي لـ $(OJ)$، وعيّن عليه النقطة $E$ التي ترتيبها $4$.
   2. ما هي إحداثيات $E$ ؟
2. 1. بيّن أن $(BE) \parallel (OI)$.
   2. بيّن أن النقطتين $E$ و $C$ متناظرتان بالنسبة إلى $O$
3. لتكن النقطة $F$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $O$
   1. ما هي مناظرة الزاوية $\widehat{ECA}$ بالنسبة إلى $O$ ؟
   2. قارن إذن بين $\widehat{ECA}$ و $\widehat{FEC}$ معلّلًا جوابك.
4. ارسم دائرة $(C_1)$ مركزها $A$ وشعاعها $R = 1.5\text{cm}$، ودائرة $(C_2)$ مركزها $F$ وشعاعها $R = 1.5\text{cm}$، ثم بيّن أن $(C_1)$ و $(C_2)$ متناظرتان بالنسبة إلى $O$.

ليكن $(O,I,J)$ معيّنًا متعامدًا في المستوى حيث $OI = OJ = 1\text{cm}$.

1. عيّن النقطتين $A(3,1)$ و $B(-3,-1)$.
2. بيّن أن $O$ منتصف $[AB]$.
3. ما هي مناظرة قطعة المستقيم $[AB]$ بالنسبة إلى $O$ ؟ علّل جوابك
4. ارسم الدائرة $(C)$ التي مركزها $A$ وشعاعها $2\text{cm}$، ثم ابنِ الدائرة $(C')$ مناظرة $(C)$ بالنسبة إلى $O$، حدّد معلّلًا جوابك مركزها وشعاعها
5. الدائرة $(C)$ تقطع $[AB]$ في نقطة $E$، والدائرة $(C')$ تقطع $[AB]$ في نقطة $F$. بيّن أن $E$ و $F$ متناظرتان بالنسبة إلى $O$

ليكن $(O,I,J)$ معيّنًا متعامدًا في المستوى حيث $OI = OJ = 1\text{cm}$

1. 1. عيّن النقطتين $A(4,3)$ و $B(-2,2)$
   2. ابنِ النقطتين $A'$ و $B'$ مناظرتَي $A$ و $B$ بالنسبة إلى $O$، ثم حدّد إحداثيات كلٍّ منهما.
2. 1. عيّن النقطة $C$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $(OI)$.
   2. حدّد إحداثيات النقطة $C$
   3. استنتج أن المثلث $OAC$ متقايس الضلعين.
3. 1. عيّن $D(-4,3)$.
   2. بيّن أن: $\widehat{A'AC} = \widehat{AA'D}$

1. في معيّن متعامد $(O,I,J)$ عيّن النقاط $H(-4,1)$؛ $G(-4,-1)$؛ $F(4,-1)$؛ $E(4,1)$
2. بيّن أن المثلث $EFG$ قائم الزاوية في $F$
3. بيّن أن $(OI)$ هو منصّف الزاوية $\widehat{OEF}$
4. بيّن أن $FH = EG$
5. بيّن أن المثلثين $EGF$ و $FHG$ لهما نفس المساحة

1. 1. ارسم معيّنًا للمستوى $(O,I,J)$ محوراه متعامدان و $OI = OJ$. ثم عيّن النقاط التالية: $A(-1,2)$ و $D(2,2)$ و $C(1,-2)$.
   2. بيّن أن النقطة $A$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $O$.
2. 1. ابنِ $B$ مناظرة $D$ بالنسبة إلى $O$.
   2. ما هو مناظر كلٍّ من المستقيمين $(AB)$ و $(AD)$ بالنسبة إلى $O$ ؟ علّل جوابك.
   3. استنتج طبيعة الرباعي $ABCD$.
3. عيّن النقطة $E(-2,2)$. بيّن أن المستقيمين $(ED)$ و $(OJ)$ متوازيان.
4. بيّن أن $\widehat{ABD} = \widehat{CDB}$.
5. ما هي طبيعة المثلث $BDE$ ؟ علّل جوابك.

ليكن $(O,I,J)$ معيّنًا للمستوى

1. عيّن النقاط $E(4,1)$ و $F(-4,1)$ و $G(-4,-1)$ و $H(4,-1)$
2. بيّن أن $E$ و $F$ متناظرتان بالنسبة إلى $(OI)$ و $E$ و $G$ متناظرتان بالنسبة إلى $O$.
3. ما هي طبيعة الرباعي $EFGH$ ؟

ليكن $(O,I,J)$ معيّنًا للمستوى حيث $(OJ) \perp (OI)$ و $OI = OJ$.

1. عيّن النقطتين $A(2,3)$ و $B(-2,-3)$.
2. بيّن أن النقاط $O$ و $A$ و $B$ على استقامة واحدة.

ليكن $(O,I,J)$ معيّنًا للمستوى متعامدًا حيث $OI = OJ$.

1. 1. عيّن النقطتين $A(4,3)$ و $B(4,-3)$.
   2. بيّن أن $(OJ)$ الموسّط العمودي لـ $[AB]$.
   3. استنتج أن $(OI) \parallel (AB)$.
2. لتكن $C$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $O$. حدّد إحداثيات النقطة $C$.
3. بيّن أن $B$ و $C$ متناظرتان بالنسبة إلى $(OI)$ واستنتج أن $ABC$ مثلث قائم الزاوية.
4. لتكن $D$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $(OI)$. حدّد إحداثيات النقطة $D$.

$(O,I,J)$ معيّن للمستوى بحيث $(OI) \perp (OJ)$

1. عيّن النقاط $A\left(3, \dfrac{5}{2}\right)$، $B\left(-3, \dfrac{5}{2}\right)$، $C\left(-1, \dfrac{5}{2}\right)$، و $D$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $(OJ)$
2. بيّن أن $(AB) \parallel (OI)$
3. بيّن أن $(CD) \perp (OI)$
4. احسب $BC$ و $CD$ بقراءة الرسم
5. بيّن أن $IC = ID$ ثم تحقّق أن $I$ هي منتصف $[CD]$
6. المستقيم المار من $C$ والموازي لـ $(BD)$ يقطع $(IB)$ في $E$. بيّن أن $(ED) \parallel (IO)$
7. المستقيم $(IF)$ يقطع $(ED)$ في $G$. بيّن أن $D$ هي منتصف $[EG]$
8. بيّن أن $IB = IG$
9. استنتج إحداثيات $G$ في المعيّن $(O,I,J)$
10. بدون تعليل الإجابة:
    1. حدّد إحداثيات $G$ في المعيّن $(D,I,E)$
    2. حدّد إحداثيات $B$ في المعيّن $(F,I,C)$
    3. حدّد إحداثيات $B$ في المعيّن $(F,C,I)$
    4. حدّد إحداثيات $F$ في المعيّن $(I,O,C)$

نعتبر معيّنًا $(O,I,J)$

1. عيّن النقاط $A(4,4)$؛ $B(-2,4)$
2. المستقيم المار من $A$ والموازي لـ $(OI)$ يقطع المستقيم المار من $B$ والموازي لـ $(OJ)$ في النقطة $C$. تحقّق أن إحداثيات النقطة $C$ هي $(4,4)$
3. المستقيم المار من $A$ والموازي لـ $(OJ)$ يقطع المستقيم المار من $B$ والموازي لـ $(OI)$ في النقطة $D$. تحقّق أن إحداثيات النقطة $D$ هي $(-2,4)$
4. بيّن أن $IA = ID$ وأن $IA = IC$
5. بيّن أن المثلث $ABC$ قائم الزاوية في $C$
6. استنتج أن $I$ هي منتصف $[AB]$
7. بيّن أن $ACBD$ مستطيل
8. ابنِ النقطة $E$ مناظرة $O$ بالنسبة إلى $I$. بيّن أن $OC = DE$

نعتبر معيّنًا متعامدًا $(O,I,J)$

1. ارسم النقاط التالية: $A(4,4)$؛ $B(4,6)$؛ $C(-4,4)$
2. $(AC)$ و $(OJ)$ يتقاطعان في النقطة $E$، و $(AB)$ و $(OI)$ يتقاطعان في $F$
   1. ما هي إحداثيات كلٍّ من $E$ و $F$
   2. احسب $AF$ و $AC$ و $AB$
   3. احسب مساحة المثلث $EFB$
3. عيّن النقطة $D$ مناظرة $F$ بالنسبة إلى $(OJ)$ ثم حدّد إحداثياتها
4. المستقيم $(EF)$ يقطع $(CD)$ في النقطة $G$. بيّن أن $CG = 4$
5. المستقيم $(EB)$ يقطع $(CD)$ في $H$. بيّن أن المثلثين $EGH$ و $FGH$ لهما نفس المساحة

$MNP$ مثلث و $Q$ نقطة من $[NP]$ و $I$ منتصف $[MP]$ و $E$ مناظرة $Q$ بالنسبة إلى $I$

1. بيّن أن $NMEP$ شبه منحرف
2. ابنِ النقطة $I'$ منتصف $[MN]$ و $F$ مناظرة $Q$ بالنسبة إلى $I'$. بيّن أن $M$ و $E$ و $F$ على استقامة واحدة.

$ABCD$ شبه منحرف قائم في $A$ قاعدتاه $[AB]$ و $[CD]$

1. عيّن $O$ منتصف $[AB]$ و $D'$ مناظرة $D$ بالنسبة إلى $O$
2. بيّن أن $(BD')$ عمودي على $(CD)$
3. المستقيمان $(BD')$ و $(CD)$ يتقاطعان في $E$. بيّن أن $ABED$ مستطيل

$ABCD$ متوازي أضلاع مركزه $O$

1. بيّن أن $A$ و $C$ من جهة، و $B$ و $D$ من جهة أخرى، متناظرتان بالنسبة إلى $O$
2. ارسم $I$ منتصف $[BC]$ و $E$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $I$
3. بيّن أن $(AB) \parallel (EC)$
4. استنتج أن $E$ و $D$ و $C$ على استقامة واحدة
5. بيّن أن $CE = AB$
6. استنتج أن $C$ منتصف $[ED]$
7. ارسم $J$ مناظرة $O$ بالنسبة إلى $I$. بيّن أن $E$ و $B$ و $J$ على استقامة واحدة

ارسم شبه منحرف $ABCD$ قاعدتاه $[AB]$ و $[CD]$ قائم في $A$ و $D$ بحيث $AB = 3$، $AD = 2$ و $CD = 4\text{cm}$، و $I$ منتصف $[CD]$

1. ابنِ $E$ و $F$ مناظرتَي $A$ و $D$ على التوالي بالنسبة إلى $I$
2. بيّن أن $(AB) \parallel (CE)$
3. استنتج أن $C$ و $D$ و $E$ على استقامة واحدة
4. احسب $DE$
5. بيّن أن $A$ و $B$ و $F$ على استقامة واحدة
6. احسب $AF$
7. بيّن أن $ADEF$ مستطيل

ارسم مثلثًا $ABC$ متقايس الضلعين، قمته الرئيسية $A$، و $\widehat{ABC} = 40°$

1. ابنِ النقطة $I$ منتصف $[BC]$ ثم ابنِ النقطة $E$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $I$
2. ما هي صورة الزاوية $\widehat{ABC}$ بالنسبة إلى $I$
3. استنتج أن $[CB]$ هو منصّف الزاوية $\widehat{ACE}$. أوجد $\widehat{ACE}$

$ABC$ مثلث بحيث $\widehat{ABC} = 50°$؛ $\widehat{BAC} = 70°$؛ $AB = 5\text{cm}$

1. ارسم $I$ بحيث تكون $A$ و $B$ متناظرتان بالنسبة إلى $I$، و $D$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $I$
2. بيّن أن $(AD) \parallel (BC)$ واستنتج أن $ADBC$ متوازي أضلاع
3. ما هو مناظر كلٍّ من $\widehat{BAC}$؛ $\widehat{ACB}$؛ $\widehat{ABC}$ بالنسبة إلى $I$
4. استنتج أن $\widehat{DAC} = \widehat{DBC}$ وأن $\widehat{ACB} + \widehat{DAC} = 180°$

$ABC$ مثلث متقايس الضلعين، قمته الرئيسية $A$، و $\Delta$ الموسّط العمودي لـ $[BC]$

1. بيّن أن $A$ نقطة من $\Delta$
2. ابنِ $M$ منتصف $[AB]$ و $M'$ مناظرتها بالنسبة إلى $\Delta$. بيّن أن $A$ و $C$ متناظرتان بالنسبة إلى $M'$
3. ابنِ $B'$ مناظرة $B$ بالنسبة إلى $M'$ ثم بيّن أن $(BC) \parallel (AB')$
4. بيّن أن $(AB')$ و $(BC)$ متناظران بالنسبة إلى $M'$
5. المستقيم $(CM')$ يقطع $(AB')$ في $C'$. بيّن أن $M'$ هي منتصف $[CC']$
6. بيّن أن $\widehat{BAC'} = \widehat{ABC}$ وأن $\widehat{BAC'} = \widehat{CAB'}$
7. ارسم الدائرة $(C_1)$ التي مركزها $B$ وشعاعها $CB$، ثم الدائرة $(C_2)$ التي مركزها $C'$ وشعاعها $BC$. بيّن أن الدائرتين $(C_1)$ و $(C_2)$ متناظرتان بالنسبة إلى $A$

ارسم دائرة $(C)$ مركزها $O$ وشعاعها $2$ ثم عيّن عليها النقطة $I$ بحيث $OI = 1.5\text{cm}$

1. ابنِ الدائرة $(C')$ التي مركزها $O'$ مناظرة $(C)$ بالنسبة إلى $I$
2. ما هي الوضعية النسبية للدائرتين
3. لتكن $A$ و $B$ نقطتَي تقاطع الدائرتين. بيّن أن $A$ و $B$ متناظرتان بالنسبة إلى $I$
4. بيّن أن $(O'B) \parallel (OA)$
5. المستقيم $(AO')$ يقطع $(C')$ في نقطة ثانية $M$. ابنِ $M'$ مناظرة $M$ بالنسبة إلى $I$ ثم بيّن أن $B$ و $M'$ متقابلتان قطريًا

$(C)$ و $(C')$ دائرتان خارجيتان مركزاهما على التوالي $A$ و $B$ ولهما نفس الشعاع $2\text{cm}$

1. ابنِ $I$ بحيث تكون الدائرة $(C)$ مناظرة الدائرة $(C')$ بالنسبة إلى $I$
2. $[AB]$ يقطع $(C)$ في $E$ و $(C')$ في $F$. بيّن أن $E$ و $F$ متناظرتان بالنسبة إلى $I$
3. الموسّط العمودي $\Delta$ لـ $[AE]$ يقطع $[AE]$ في $O$. الموسّط العمودي $\Delta'$ لـ $[BF]$ يقطع $[BF]$ في $O'$
   1. بيّن أن $O$ و $O'$ متناظرتان بالنسبة إلى $I$
   2. بيّن أن $\Delta \parallel \Delta'$
   3. استنتج أن $\Delta$ و $\Delta'$ متناظران بالنسبة إلى $I$

1. ارسم مستقيمًا $\Delta$ وعيّن عليه نقطة $B$ لا تنتمي إلى $\Delta$، ثم ابنِ النقطة $C$ مناظرة $B$ بالنسبة إلى $\Delta$
2. عيّن نقطة $A$ من $\Delta$ لا تنتمي إلى $(BC)$. ما هو نوع المثلث $ABC$ ؟
3. عيّن النقطة $I$ منتصف $[AB]$ ثم ابنِ $I'$ مناظرة $I$ بالنسبة إلى $\Delta$. بيّن أن $I'$ هي منتصف $[AC]$
4. المستقيم $(I'C)$ يقطع $\Delta$ في $K$. بيّن أن $I$ و $B$ و $K$ على استقامة واحدة
5. بيّن أن $C'$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $I'$
6. أثبت أن $AC' = BC$
7. بيّن أن $\widehat{IC'A} = \widehat{ICB}$

1. ارسم مثلثًا $ABC$ بحيث $BC = 6\text{cm}$، $AC = 5\text{cm}$، $AB = 3\text{cm}$
2. ارسم $\Delta$ الموسّط العمودي لـ $[BC]$ حيث يقطع $[BC]$ في $I$ و $[AC]$ في $J$
3. ابنِ $E$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $\Delta$ ثم بيّن أن $EC = 3\text{cm}$
4. بيّن أن $\widehat{BAI} = \widehat{IEC}$ وأن $(AE) \parallel (BC)$
5. بيّن أن $E$ و $I$ و $B$ على استقامة واحدة
6. ابنِ $F$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $I$ ثم بيّن أن $(CF) \parallel (AB)$ وأن $CF = AB$
7. بيّن أن $\widehat{IFC} = \widehat{IEC}$ ثم استنتج نوع المثلث $ECF$
8. لتكن $P$ نقطة من $(CF)$، $(PI)$ يقطع $(AB)$ في $Q$. بيّن أن $I$ منتصف $[PQ]$
9. بيّن أن $(BF) \parallel (CQ)$

نعتبر مثلثًا $ABC$ قائمًا في $A$ بحيث $AB > AC$ و $\Delta$ الموسّط العمودي لـ $[AB]$، $\Delta$ يقطع $[AB]$ في $I$

1. ابنِ النقطة $D$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $I$
2. أوجد مناظر كلٍّ من $(AC)$ و $(BC)$ و $(IC)$ بالنسبة إلى $I$
3. استنتج طبيعة الرباعي $ABCD$
4. أوجد مناظرة الزاوية $\widehat{ACI}$ بالنسبة إلى $I$ ثم بيّن أن $\widehat{DBI} = 90°$
5. لتكن $E$ منتصف $[AC]$ و $F$ منتصف $[BD]$. بيّن أن $I$ و $E$ و $F$ على استقامة واحدة
6. $\Delta$ يقطع $(BC)$ في $O$ ويقطع $[AD]$ في $O'$. بيّن أن $I$ منتصف $[OO']$
7. لتكن $(C_1)$ الدائرة التي مركزها $B$ وتمرّ من $F$، حدّد مناظرة الدائرة $(C_1)$ بالنسبة إلى $I$

نعتبر مثلثًا $ABC$ قائمًا في $A$ بحيث $AB > AC$ و $I$ منتصف $[AB]$ و $\Delta$ الموسّط العمودي لـ $[AB]$

1. ابنِ $D$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $I$ و $E$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $\Delta$
2. حدّد مناظر المجموعات التالية بالنسبة إلى $I$: $[AC]$، $[BC]$، $[CD]$، $(IC)$
3. حدّد مناظر المجموعات التالية بالنسبة إلى $\Delta$: $[AC]$، $[BC]$، $[CD]$، $(IC)$
4. بيّن أن $AC = BE$ وأن $BD = AC$
5. بيّن أن $(BE) \parallel (AC)$ وأن $(BD) \parallel (AC)$
6. استنتج أن $B$ هي منتصف $[ED]$
7. بيّن أن $\widehat{ACI} = \widehat{BDI}$ ثم أن $\widehat{BEI} = \widehat{BDI}$

$ABC$ مثلث و $M$ منتصف $[BC]$ و $I$ منتصف $[AM]$

1. ارسم $E$ و $F$ مناظرتَي $B$ و $C$ على التوالي بالنسبة إلى $I$. بيّن أن $E$ و $F$ متناظرتان بالنسبة إلى $A$
2. بيّن أن $AB = ME$
3. بيّن أن $(AC) \parallel (MF)$
4. بيّن أن $\widehat{IBC} = \widehat{IEA}$

ليكن $ABC$ مثلثًا حيث $AB = 6\text{cm}$، $BC = 5\text{cm}$، $AC = 4\text{cm}$

1. ارسم $D$ و $E$ مناظرتَي $A$ و $C$ على التوالي بالنسبة إلى $B$. بيّن أن $DE = 4\text{cm}$
2. بيّن أن $(AE) \parallel (CD)$
3. لتكن $M$ نقطة من $(AE)$. ارسم المستقيم $(MB)$ حيث يقطع $(CD)$ في $N$. بيّن أن $B$ هي منتصف $[MN]$
4. ارسم الارتفاع $[AH]$ للمثلث $ABC$ والارتفاع $[DK]$ للمثلث $BED$.
   1. بيّن أن $(AH) \parallel (DK)$
   2. بيّن أن $(AH)$ و $(DK)$ متناظران بالنسبة إلى $B$
   3. استنتج مناظرة $H$ بالنسبة إلى $B$

1. ارسم مثلثًا $ABC$ حيث $BC = 5\text{cm}$ و $\widehat{ABC} = 50°$ و $I$ منتصف $[AB]$
   1. ابنِ $D$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $I$
   2. بيّن أن $AD = 5\text{cm}$ وأن $(BC) \parallel (AD)$
   3. بيّن أن $\widehat{BAD} = 50°$
2. ابنِ $E$ و $F$ مناظرتَي $B$ و $C$ بالنسبة إلى $A$
3. بيّن أن $EF = AD$ وأن $(EF) \parallel (AD)$
4. بيّن أن $\widehat{DAB} = \widehat{FEA}$
5. لتكن الدائرة $(C_1)$ التي مركزها $C$ وشعاعها $2\text{cm}$، و $(C_2)$ الدائرة التي مركزها $D$ وشعاعها $2\text{cm}$. $[BC]$ يقطع الدائرة $(C_1)$ في $P$ و $[AD]$ يقطع $(C_2)$ في $Q$. $\Delta$ هو المماس للدائرة $(C_1)$ في $P$ و $\Delta'$ المماس للدائرة $(C_2)$ في $Q$. بيّن أن $\Delta$ و $\Delta'$ متناظران بالنسبة إلى $I$

$ABC$ مثلث متقايس الضلعين، قمته الرئيسية $A$، بحيث $\widehat{BAC} = 70°$ و $I$ منتصف $[AC]$ و $J$ منتصف $[BC]$

1. احسب $\widehat{ABI}$ معلّلًا جوابك
2. المستقيم المار من $C$ والموازي لـ $(AB)$ يقطع $(BI)$ في $D$
   1. بيّن أن $I$ هي منتصف $[BD]$
   2. احسب قياس الزاوية $\widehat{CED}$
3. 1. ابنِ النقطة $G$ مركز ثقل المثلث $ACD$
   2. $(CG)$ يقطع $(AD)$ في $E$. بيّن أن $E$ و $I$ و $J$ على استقامة واحدة
   3. احسب قياس الزاوية $\widehat{DEC}$
   4. بيّن أن $EJ = AC$

$[AB]$ قطعة مستقيم و $M$ منتصفها، و $[Ax)$ نصف مستقيم بحيث $\widehat{BAx} = 30°$

1. عيّن النقطة $E$ من نصف المستقيم $[Ax)$ حيث $AE = 6\text{cm}$ وابنِ النقطة $F$ مناظرة $E$ بالنسبة إلى $M$
   1. بيّن أن $(AF) \parallel (BE)$ وأن $BF = 6\text{cm}$
2. عيّن النقطة $I$ منتصف $[AE]$ وابنِ النقطة $J$ مناظرتها بالنسبة إلى $M$
   1. أثبت أن $B$ و $F$ متناظرتان بالنسبة إلى $J$
3. لتكن $H$ المسقط العمودي لـ $A$ على $(EF)$ و $K$ المسقط العمودي لـ $B$ على $(EF)$
   1. بيّن أن المستقيمين $(AH)$ و $(BK)$ متناظران بالنسبة إلى النقطة $M$
   2. استنتج أن $M$ منتصف $[HK]$

$AEO$ مثلث، والنقطتان $F$ و $E$ متناظرتان بالنسبة إلى $A$، و $EF = 8\text{cm}$

1. ابنِ النقطتين $B$ و $C$ على التوالي مناظرتَي النقطتين $A$ و $E$ بالنسبة إلى $O$
   1. بيّن أن $(AC) \parallel (AE)$ واحسب $BC$
2. المستقيم $(OF)$ يقطع المستقيم $(BC)$ في النقطة $G$
   1. بيّن أن $O$ منتصف $[FG]$
   2. بيّن أن $(FC) \parallel (EG)$
3. 1. بيّن أن النقطتين $C$ و $G$ متناظرتان بالنسبة إلى $B$
   2. استنتج أن المستقيمين $(EG)$ و $(CF)$ متناظران بالنسبة إلى $B$

ليكن $ABCD$ مربعًا مركزه $O$ طول ضلعه $5$، ولتكن $E$ نقطة من $[AB]$ بحيث $AE = 2$

1. $(OE)$ يقطع $(CD)$ في نقطة $F$
   1. بيّن أن $O$ هي منتصف $[EF]$
   2. احسب $CF$
   3. بيّن أن $(BF) \parallel (DE)$
2. عيّن النقطة $I$ منتصف $[BC]$ و $J$ منتصف $[AD]$. بيّن أن $O$ و $I$ و $J$ على استقامة واحدة
3. بيّن أن $AIC$ متوازي الأضلاع (كذا في الأصل — العبارة تبدو ناقصة في الصفحة المصوَّرة، يُرجّح أنها تخصّ الرباعي $AICJ$ أو ما شابه)

ارسم مثلثًا $ABC$ قائمًا (في $A$) ثم ابنِ $\Delta$ الموسّط العمودي لـ $[AB]$ الذي يقطعه في $I$، وعيّن النقطة $J$ من $[AC]$ بحيث $AJ = 3\text{cm}$

1. 1. ابنِ النقطة $D$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $I$
   2. بيّن أن $(BD) \parallel \Delta$
2. 1. ابنِ النقطة $K$ مناظرة $J$ بالنسبة إلى $I$
   2. بيّن أن $K \in (BD)$
   3. احسب $KD$
3. حدّد طبيعة الرباعي $ACBD$ معلّلًا جوابك
4. لتكن $M$ نقطة تقاطع $(AD)$ و $\Delta$، و $P$ نقطة تقاطع $\Delta$ و $(BC)$. بيّن أن $(MJ) \parallel (PK)$

$ABC$ مثلث، $\Delta$ الموسّط العمودي لـ $[BC]$

1. ابنِ النقطة $A'$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $\Delta$ (تناظر محوري)
2. قارن بين $\widehat{BAC}$ ونظيرتها بعد التناظر
3. $(AC)$ يقطع $\Delta$ في $I$. بيّن أن النقاط $A'$، $I$، $B$ على استقامة واحدة
4. $(AB)$ و $(A'C)$ يتقاطعان في $J$. بيّن أن المثلث $JBC$ متقايس الضلعين
5. الموازي لـ $[BC]$ المار من $I$ يقطع $(AB)$ في $E$ و $(A'C)$ في $F$. بيّن أن $E$ و $F$ متناظرتان بالنسبة إلى $\Delta$

$ABCD$ متوازي أضلاع مركزه $O$ بحيث $AB=5\text{cm}$ و $AD=3\text{cm}$

1. النقطة $I$ من $(AB)$ بحيث $AI=7\text{cm}$، و $J$ مناظرتها بالنسبة إلى $O$. عيّن $J$
2. 1. بيّن أن $DJ=2\text{cm}$
   2. بيّن أن $C$، $D$، $J$ على استقامة واحدة
3. مستقيم $\Delta$ يمر من $O$ ويقطع $(AB)$ في $E$ و $(CD)$ في $F$
   1. حدّد مناظر كلٍّ من $(AB)$ و $\Delta$ بالنسبة إلى $O$، معلّلًا
   2. بيّن أن $E$ و $F$ متناظرتان بالنسبة إلى $O$

ليكن $ABC$ مثلثًا قائم الزاوية في $A$ حيث $AB=6\text{cm}$ و $AC=4\text{cm}$ و $I$ منتصف $[AB]$

1. 1. ابنِ المستقيم $\Delta$ المار من $B$ والعمودي على $(AB)$
   2. بيّن أن المستقيمين $\Delta$ و $(AC)$ متناظران بالنسبة إلى $I$
2. المستقيم $(CI)$ يقطع $\Delta$ في $E$
   1. بيّن أن $I$ منتصف $[CE]$
   2. بيّن أن $\widehat{ACE}=\widehat{CEB}$
3. 1. ابنِ $F$ مناظرة $E$ بالنسبة إلى $B$
   2. بيّن أن $BF=AC$
4. لتكن $H$ مناظرة $F$ بالنسبة إلى $I$. بيّن أن $A$ منتصف $[CH]$

يمثّل الشكل مثلثًا عامًّا $ABC$، و $I$ و $J$ منتصفا ضلعيه $[AB]$ و $[BC]$

1. ابنِ على الشكل النقطة $D$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $J$، والنقطة $E$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $I$
2. حدّد مناظر المستقيم $(AC)$ بالنسبة إلى كلٍّ من $I$ و $J$ على التوالي، وعلّل جوابك
3. بيّن أن النقاط $B$، $D$، $E$ على استقامة واحدة

يمثّل الشكل مستطيلاً $ABCD$ حيث $M$ منتصف ضلعه $[AB]$

1. بيّن أن المستقيمين $(AD)$ و $(BC)$ متناظران بالنسبة إلى $M$
2. لتكن $E$ نقطة تقاطع $(CM)$ و $(AD)$. بيّن أن $E$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $M$
3. 1. بيّن أن $A$ منتصف $[DE]$
   2. استنتج أن $E$ هي أيضًا مناظرة $D$ بالنسبة إلى المحور $(AB)$

ليكن $ABCD$ مربعًا و $O$ منتصف قطريه. لتكن $E$ نقطة من $[AB)$

1. أكمل: مناظرة $A$ بالنسبة إلى $O$ هي ..... ؛ مناظرة $[BO)$ بالنسبة إلى $O$ هي ..... ؛ مناظرة الخط المنكسر $E\text{-}A\text{-}O$ بالنسبة إلى $O$ هو .....
2. $(OE)$ يقطع $(CD)$ في $F$
   1. بيّن أن $O$ منتصف $[EF]$
   2. عيّن $I$ منتصف $[BC]$ و $J$ منتصف $[AD]$. بيّن أن $I$، $O$، $J$ على استقامة واحدة
   3. بيّن أن $AICJ$ متوازي أضلاع

دائرة $(C)$ مركزها $O$ وقطرها $[AB]$ بحيث $AB=8\text{cm}$. ارسم المماسّين $\Delta$ و $\Delta'$ للدائرة في $A$ و $B$ على التوالي

1. حدّد مناظرة $A$ بالنسبة إلى $O$ معلّلًا
2. بيّن أن $\Delta$ و $\Delta'$ متوازيان
3. استنتج أن $\Delta'$ مناظرة $\Delta$ بالنسبة إلى $O$
4. مستقيم يمر من $O$ ويقطع $\Delta$ في $P$ و $\Delta'$ في $Q$
   1. بيّن أن $P$ و $Q$ متناظرتان بالنسبة إلى $O$
5. بيّن أن $(BP)\parallel(AQ)$ وأن $BP=AQ$
6. بيّن أن $\widehat{OPA}=\widehat{OQB}$

فيما يلي مستقيمان $\Delta$ و $D$ متعامدان، و $O$ نقطة لا تنتمي إلى $\Delta$ ولا إلى $D$، و $B$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $O$ (حيث $A$ نقطة معطاة على الشكل)

1. ارسم، مستعملًا المسطرة فقط، المستقيم $\Delta'$ مناظر $\Delta$ بالنسبة إلى $O$، معلّلًا طريقتك

شبه منحرف $ABCD$ قاعدتاه $[AB]$ و $[CD]$ بحيث $AB=3\text{cm}$ و $CD=6\text{cm}$، و $I$ منتصف $[AD]$

1. حدّد مناظر المستقيم $(AB)$ بالنسبة إلى $I$ معلّلًا. ابنِ النقطة $C'$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $I$
2. احسب $\widehat{C'AD}$ معلّلًا
3. لتكن $K$ المسقط العمودي لـ $B$ على $(CD)$، و $L$ مناظرتها بالنسبة إلى $I$. بيّن أن $L$ منتصف $[AC']$
4. لتكن $T$ من $[AB]$ بحيث $AT=2\text{cm}$. المستقيم $(IT)$ يقطع $(CD)$ في $U$. بيّن أن $U$ و $T$ متناظرتان بالنسبة إلى $I$، ثم استنتج نوع الرباعي $ATDU$

$ABC$ مثلث قائم الزاوية في $A$ بحيث $AB=3\text{cm}$ و $AC=4\text{cm}$، و $I$ منتصف $[AC]$

1. ابنِ النقطتين $E$ و $F$ مناظرتَي $A$ و $B$ على التوالي بالنسبة إلى $C$
2. بيّن أن $(EB) \parallel (AF)$
3. احسب مساحة المثلث $CEF$ معلّلًا
4. لتكن $J$ منتصف $[CE]$. بيّن أن $C$ منتصف $[IJ]$
5. ما هي طبيعة الرباعي $IBJF$ معلّلًا؟
6. لتكن $M$ من $[AB]$ بحيث $AM=1$. المستقيم $(CM)$ يقطع $(EF)$ في $N$. بيّن أن $E$، $N$، $F$ على استقامة واحدة ثم أثبت أن $N$ مناظرة $M$ بالنسبة إلى $C$