سلسلة تمارين حول التناظر المركزي

الأستاذ: دفواراتي
I J K O
مثلث متقايس الضلعين
تمرين 1

\(IJK\) مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية \(I\) و \(O\) نقطة من المستوي.

  1. ابنِ النقط \(A\) و \(B\) و \(C\) مناظرات النقط \(I\) و \(J\) و \(K\) على التوالي بالنسبة إلى \(O\).
  2. بيّن أن المثلث \(ABC\) متقايس الضلعين.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

المفتاح يكمن في خصائص التناظر المركزي. تذكر أن هذا التحويل الهندسي يحافظ على البعد. كيف يمكنك استخدام هذه الخاصية لربط أطوال أضلاع المثلث \(IJK\) بأضلاع المثلث \(ABC\)؟

📝 الطريقة

  1. ابدأ من المعطى الأساسي: المثلث \(IJK\) متقايس الضلعين في \(I\)، مما يعني أن \(IJ = IK\).
  2. استخدم تعريف التناظر المركزي لتحديد العلاقة بين الأطوال: بما أن \(A, B, C\) هي مناظرات \(I, J, K\)، فإن البعد \(AB\) تساوي البعد \(IJ\) و البعد \(AC\) تساوي البعد \(IK\).
  3. اربط بين هاتين النقطتين للوصول إلى الاستنتاج المطلوب حول المثلث \(ABC\).

✅ الحل الكامل

لدينا المثلث \(IJK\) متقايس الضلعين في \(I\)، إذن: \(\color{blue}IJ = IK\) (1).

بما أن \(A, B, C\) هي على التوالي مناظرات \(I, J, K\) بالنسبة إلى \(O\)، فإن التناظر المركزي يحافظ على الأطوال. بالتالي:

\(AB = IJ\) و \(AC = IK\) (2)

من (1) و (2)، نستنتج أن \(\color{red}AB = AC\).

إذن، المثلث \(ABC\) متقايس الضلعين في \(A\).

استقامة النقاط
تمرين 2

نعتبر مثلثا \(EFG\) و \(M\) نقطة من \([FG]\).

  1. ابنِ النقط \(M', F', G'\) مناظرات النقط \(M, F, G\) على التوالي بالنسبة إلى \(E\).
  2. بيّن أن النقط \(M', F', G'\) على استقامة واحدة.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

فكر في خاصية أخرى مهمة للتناظر المركزي بالإضافة إلى الحفاظ على المسافات. كيف يؤثر التناظر المركزي على استقامة النقاط؟

📝 الطريقة

  1. ابدأ بالقول أن النقاط \(F, G, M\) على استقامة واحدة لأن \(M \in [FG]\).
  2. اذكر الخاصية الأساسية: التناظر المركزي يحافظ على استقامة النقاط.
  3. استنتج أن مناظرات هذه النقاط (\(F', G', M'\)) ستكون بدورها على استقامة واحدة.

✅ الحل الكامل

لدينا \(M \in [FG]\)، هذا يعني أن النقاط \(F, G, M\) على استقامة واحدة.

ونعلم أن التناظر المركزي يحافظ على استقامة النقاط.

بما أن \(F', G', M'\) هي مناظرات \(F, G, M\) على التوالي بالنسبة للنقطة \(E\)، فإنها ستكون أيضًا على استقامة واحدة.

مناظرة المستقيم \((FG)\) هي المستقيم \((F'G')\)

وبما أن \(M \in (FG)\) فإن مناظرتها \(M'\) تنتمي إلى مناظر المستقيم \((FG)\) وهو المستقيم \((F'G')\).

إذن، النقاط \(M', F', G'\) على استقامة واحدة.