$\mathcal{C}$ دائرة مركزها $O$ و $[BC]$ قطر لها. لتكن $A$ نقطة من $\mathcal{C}$ مخالفة لـ $B$ و لـ $C$. المستقيم المار من $C$ و الموازي لـ $(AB)$ يقطع $\mathcal{C}$ في نقطة ثانية $A'$.
1) استخدم التناظر المركزي ذو المركز $O$. النقطة $A$ هي تقاطع المستقيم $(AB)$ والدائرة $\mathcal{C}$. إذن صورة $A$ هي تقاطع صورة $(AB)$ وهو $(A'C)$ مع صورة الدائرة $\mathcal{C}$ وهي نفسها $\mathcal{C}$.
2) استخدم التناظر المركزي. صورة الزاوية $\widehat{ABC}$ هي الزاوية $\widehat{A'CB}$ أي $\widehat{BCA'}$. والتناظر المركزي يحافظ على قياس الزوايا، إذن هما متساويتان.
3) أثبت أن $E$ هي مناظرة $F$ بالنسبة لـ $O$ عن طريق تحديد مناظر كل مستقيم يحدد $F$ بالتناظر المركزي $S_O$.
4) التناظر المحوري حول قطر الدائرة يحافظ على الدائرة. بالنسبة للجزء (ب)، فكر في علاقة التناظرين $S_O$ و $S_{(BC)}$.
1) لإثبات أن $O$ منتصف $[AA']$:
استخدم التناظر المركزي ذو المركز $O$. النقطة $A$ هي تقاطع $(AB)$ و $\mathcal{C}$. أوجد صورة هذا التقاطع بالتناظر المركزي:
- صورة المستقيم $(AB)$ هي $(A'C)$
- صورة الدائرة $\mathcal{C}$ هي نفسها $\mathcal{C}$
إذن صورة $A$ هي تقاطع $(A'C)$ و $\mathcal{C}$.
2) لإثبات تساوي الزاويتين:
استخدم التناظر المركزي ذو المركز $O$. صورة الزاوية $\widehat{ABC}$ بالتناظر المركزي هي الزاوية $\widehat{A'CB}$ (أي $\widehat{BCA'}$). بما أن التناظر المركزي يحافظ على قياس الزوايا، فإن الزاويتين متساويتان.
3) لإثبات استقامة النقاط:
اعتبر التناظر المركزي $S_O$. حدد صورة $F = (AB) \cap \Delta'$.
- أوجد $S_O((AB))$.
- أوجد $S_O(\Delta')$.
- استنتج أن $S_O(F)$ هي النقطة $E$.
4) للتناظر المحوري:
أ. التناظر المحوري الذي محوره قطر للدائرة يحافظ على الدائرة ككل.
ب. أثبت أن $S_O(M) = N$ عن طريق إثبات أن التناظرين $S_O$ و $S_{(BC)}$ تبادليان.
1) بيّن أن $O$ منتصف $[AA']$:
لنستخدم التناظر المركزي ذو المركز $O$. النقطة $A$ هي تقاطع المستقيم $(AB)$ والدائرة $\mathcal{C}$.
بالتناظر المركزي ذو المركز $O$:
- صورة المستقيم $(AB)$ هي المستقيم $(A'C)$ (لأن صورة $A$ هي $A'$ وصورة $B$ هي $C$)
- صورة الدائرة $\mathcal{C}$ هي نفسها $\mathcal{C}$ (لأن $O$ هو مركز الدائرة)
إذن صورة النقطة $A$ (وهي تقاطع $(AB)$ و $\mathcal{C}$) هي تقاطع صورة $(AB)$ وصورة $\mathcal{C}$.
أي صورة $A$ هي تقاطع $(A'C)$ و $\mathcal{C}$.
تقاطع $(A'C)$ مع الدائرة $\mathcal{C}$ يعطي نقطتين هما $\{A', C\}$. بما أن $C$ هي صورة $B$، فإن $A'$ هي صورة $A$.
إذن $A'$ هي مناظرة $A$ بالنسبة لـ $O$، مما يعني أن $O$ منتصف $[AA']$.
2) بيّن أن $\widehat{ABC} = \widehat{BCA'}$:
بالتناظر المركزي ذو المركز $O$، صورة الزاوية $\widehat{ABC}$ هي الزاوية $\widehat{A'CB}$.
لأن صورة $A$ هي $A'$، وصورة $B$ هي $C$، وصورة $C$ هي $B$.
الزاوية $\widehat{A'CB}$ هي نفسها الزاوية $\widehat{BCA'}$.
بما أن التناظر المركزي يحافظ على قياس الزوايا، فإن:
$\widehat{ABC} = \widehat{BCA'}$
3) بيّن أن النقاط $O$, $E$, $F$ على استقامة واحدة:
لنعتبر التناظر المركزي $S_O$. لدينا $S_O(B) = C$.
- المماس $\Delta'$ في $C$ هو مناظر المماس $\Delta$ في $B$. إذن $S_O(\Delta) = \Delta'$.
- مناظر المستقيم $(A'C)$ هو المستقيم المار من $S_O(A')=A$ و $S_O(C)=B$. إذن $S_O((A'C)) = (AB)$.
النقطة $E$ هي تقاطع $\Delta$ و $(A'C)$.
إذن مناظرتها $S_O(E)$ هي تقاطع مناظري المستقيمين: $S_O(E) = S_O(\Delta) \cap S_O((A'C)) = \Delta' \cap (AB)$.
من المعطيات، نعلم أن $F = (AB) \cap \Delta'$. إذن $S_O(E) = F$.
بما أن $F$ هي مناظرة $E$ بالنسبة لـ $O$، فإن $O$ هي منتصف $[EF]$، وبالتالي النقاط $O, E, F$ على استقامة واحدة.
4) التناظر المحوري:
أ. بيّن أن $M$ و $N$ تنتميان إلى الدائرة $\mathcal{C}$:
المستقيم $(BC)$ هو محور تناظر للدائرة $\mathcal{C}$ لأنه قطر لها. التناظر المحوري حول $(BC)$ يحافظ على الدائرة.
بما أن $A \in \mathcal{C}$ و $A' \in \mathcal{C}$، فإن صورتيهما $M=S_{(BC)}(A)$ و $N=S_{(BC)}(A')$ تنتميان أيضًا إلى الدائرة $\mathcal{C}$.
ب. أثبت أن $M$ و $N$ متناظرتان بالنسبة إلى $O$:
علينا إثبات أن $S_O(M) = N$.
من السؤال (1)، نعلم أن $O$ منتصف $[AA']$.
مناظرة القطعة $[AA']$ بالتناظر المحوري $S_{(BC)}$ هي القطعة $[MN]$.
وبما أن التناظر المحوري يحافظ على المنتصفات، فإن مناظرة $O$ (منتصف $[AA']$) هي منتصف $[MN]$.
ولأن $O \in (BC)$ (محور التناظر)، فإن $O$ هي مناظرة نفسها. إذن $O$ هي منتصف $[MN]$.
بما أن $O$ هي منتصف $[MN]$، فهذا يعني أن $M$ و $N$ متناظرتان بالنسبة إلى $O$.