متوازي الأضلاع والتناظر المركزي

الأستاذ: دفواراتي
بناء واستنتاج الخصائص
تمرين 6

$ABC$ مثلث و $I$ منتصف $[AC]$ و $J$ منتصف $[AB]$ على التوالي.

  1. ابنِ النقطة $D$ مناظرة $B$ بالنسبة إلى $I$. أثبت أن $(AD) // (BC)$.
  2. المستقيم $(CJ)$ يقطع $(AD)$ في $E$. بيّن أن $E$ و $C$ متناظرتان بالنسبة إلى $J$.
  3. بيّن أن $A$ منتصف $[ED]$.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

1) ما هي طبيعة الرباعي $ADCB$ إذا علمت أن $I$ هي منتصف قطريه $[AC]$ و $[BD]$؟

2) استخدم التناظر المركزي الذي مركزه $J$. ما هي صورة النقطة $E$؟ تذكر أن صورة نقطة تقاطع هي تقاطع صور المستقيمات.

3) لإثبات أن $A$ منتصف $[ED]$، يجب أن تثبت شيئين: أن النقاط $E, A, D$ على استقامة واحدة، وأن $AE = AD$.

📝 الطريقة (وفقًا للتصحيح)

1) لإثبات التوازي:
انظر إلى الرباعي $ADCB$. بما أن $D$ مناظرة $B$ بالنسبة لـ $I$, فإن $I$ منتصف $[BD]$. وبما أن $I$ منتصف $[AC]$، فإن قطري الرباعي يتقاطعان في منتصفهما. استنتج طبيعة الرباعي ثم خاصية توازي أضلاعه المتقابلة.

2) لإثبات أن $E$ و $C$ متناظرتان بالنسبة لـ $J$:
لنعتبر التناظر المركزي $S_J$. النقطة $E$ هي تقاطع $(AD)$ و $(CJ)$. لإيجاد $S_J(E)$, علينا إيجاد $S_J((AD)) \cap S_J((CJ))$.
- ما هي صورة $(CJ)$؟
- ما هي صورة $(AD)$؟ (تذكر أن $S_J(A)=B$ وأن صورة مستقيم هي مستقيم مواز له).

3) لإثبات أن $A$ منتصف $[ED]$:
- من السؤال 1، استنتج علاقة تساوي بين $AD$ و $BC$. - من السؤال 2، استنتج علاقة تساوي بين $AE$ و $BC$ (لأن التناظر المركزي يحافظ على البعد). - اربط بين العلاقتين لإثبات أن $AE = AD$. - تأكد من أن النقاط على استقامة واحدة ثم استنتج.

✅ الحل الكامل (وفقًا للتصحيح)

1) أثبت أن $(AD) // (BC)$:
لدينا $D$ مناظرة $B$ بالنسبة إلى $I$, إذن $I$ منتصف $[BD]$.
ولدينا $I$ منتصف $[AC]$ (معطى).
في الرباعي $ADCB$، القطران $[AC]$ و $[BD]$ يتقاطعان في منتصفهما $I$. إذن $ADCB$ متوازي أضلاع.
بما أن كل ضلعين متقابلين في متوازي الأضلاع متوازيان، فإن $(AD) // (BC)$.

2) بيّن أن $E$ و $C$ متناظرتان بالنسبة إلى $J$:
لنعتبر التناظر المركزي $S_J$ الذي مركزه $J$.
لدينا $E = (AD) \cap (CJ)$.
مناظرة النقطة $E$ هي $S_J(E) = S_J((AD)) \cap S_J((CJ))$.

  • المستقيم $(CJ)$ يمر بالمركز $J$, إذن $S_J((CJ)) = (CJ)$.
  • لدينا $J$ منتصف $[AB]$, إذن $S_J(A)=B$. ومناظر المستقيم $(AD)$ هو مستقيم يمر من $B$ ويوازي $(AD)$. بما أن $(AD) // (BC)$، فإن هذا المستقيم هو $(BC)$. إذن $S_J((AD)) = (BC)$.
إذن $S_J(E) = (BC) \cap (CJ)$. نقطة تقاطع هذين المستقيمين هي $C$.
ومنه فإن $S_J(E) = C$. هذا يعني أن $E$ و $C$ متناظرتان بالنسبة إلى $J$.

3) بيّن أن $A$ منتصف $[ED]$:
- من (1)، بما أن $ADCB$ متوازي أضلاع، فإن $AD = BC$.
- من (2)، بما أن $E$ و $C$ متناظرتان بالنسبة إلى $J$, و $A$ و $B$ متناظرتان بالنسبة إلى $J$, فإن القطعة $[AE]$ هي مناظرة القطعة $[BC]$ بالنسبة لـ $J$. وبما أن التناظر المركزي يحافظ على الأطوال، فإن $AE = BC$.
- نستنتج من العلاقتين السابقتين أن $AD = AE$.
- بما أن $E$ هي نقطة تقاطع $(CJ)$ و $(AD)$, فإن $E$ تنتمي إلى المستقيم $(AD)$. إذن النقاط $E, A, D$ على استقامة واحدة.
بما أن النقاط $E, A, D$ على استقامة واحدة و $AE = AD$, فإن $A$ هي منتصف $[ED]$.