$\mathcal{C}$ دائرة مركزها $O$ و $[AB]$ قطر لها. لتكن $M$ نقطة من $\mathcal{C}$ مخالفة لـ $A$ و لـ $B$. المستقيم المار من $B$ و الموازي لـ $(AM)$ يقطع $\mathcal{C}$ في نقطة ثانية $N$.
بيّن أن $O$ منتصف $[MN]$.
استخدم التناظر المركزي ذو المركز $O$. النقطة $M$ هي تقاطع الدائرة $\mathcal{C}$ والمستقيم $(AM)$.
فكر: ما هي صورة $M$ بالتناظر المركزي ذو المركز $O$؟ هي تقاطع صورة الدائرة $\mathcal{C}$ وصورة المستقيم $(AM)$.
صورة الدائرة $\mathcal{C}$ هي نفسها $\mathcal{C}$ لأن $O$ هو مركزها.
صورة المستقيم $(AM)$ هي المستقيم الموازي لـ $(AM)$ والمار بصورة $A$ وهي $B$.
لإثبات أن $O$ منتصف $[MN]$، سنستخدم التناظر المركزي ذو المركز $O$.
تحليل موقع النقطة M:
النقطة $M$ هي تقاطع الدائرة $\mathcal{C}$ والمستقيم $(AM)$.
تطبيق التناظر المركزي:
بالتناظر المركزي ذو المركز $O$، صورة النقطة $M$ هي تقاطع صورة الدائرة $\mathcal{C}$ وصورة المستقيم $(AM)$.
تحديد صورة الدائرة:
صورة الدائرة $\mathcal{C}$ بالتناظر المركزي ذو المركز $O$ هي نفسها الدائرة $\mathcal{C}$ لأن $O$ هو مركز الدائرة.
تحديد صورة المستقيم $(AM)$:
صورة المستقيم $(AM)$ هي المستقيم الموازي لـ $(AM)$ والمار بصورة النقطة $A$.
بما أن $[AB]$ قطر للدائرة $\mathcal{C}$ ومركزها $O$، فإن $A$ و $B$ متناظرتان بالنسبة لـ $O$.
إذن صورة $A$ هي $B$.
الاستنتاج:
صورة النقطة $M$ هي تقاطع الدائرة $\mathcal{C}$ والمستقيم المار من $B$ والموازي لـ $(AM)$.
تقاطع المستقيم المار من $B$ والموازي لـ $(AM)$ مع الدائرة $\mathcal{C}$ يعطي نقطتين هما $\{N, B\}$.
بما أن $B$ هو صورة $A$ بالتناظر المركزي، فإن $N$ هي صورة $M$.
النتيجة النهائية:
بما أن $N$ هي صورة $M$ بالتناظر المركزي ذو المركز $O$، فإن $O$ هو منتصف القطعة $[MN]$ بتعريف التناظر المركزي.
إذن $O$ منتصف $[MN]$.