لتكن $A$ و $B$ نقطتين من المستوي حيث البعد بينهما $AB = 7$ صم. لتكن $O$ نقطة خارج المستقيم $(AB)$.
ابن $A'$ و $B'$ مناظرتي $A$ و $B$ على التوالي بالنسبة لـ $O$. ما هي البعد $A'B'$؟ علل جوابك.
ما هي الخاصية الأساسية للتناظر المركزي المتعلقة بأطوال قطع المستقيم؟
1. اذكر أن التناظر المركزي هو تحويل هندسي يحافظ على البعد.
2. بما أن $[A'B']$ هو مناظر $[AB]$، استنتج العلاقة بين طوليهما.
بما أن التناظر المركزي يحافظ على البعد، فإن طول قطعة المستقيم المناظرة يساوي طول قطعة المستقيم الأصلية.
لدينا $A'$ مناظرة $A$ و $B'$ مناظرة $B$ بالنسبة لـ $O$. إذن القطعة $[A'B']$ هي مناظرة القطعة $[AB]$.
ومنه فإن $A'B' = AB = 7$ صم.
$IJK$ مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية $I$ (أي $IJ=IK$). لتكن $O$ نقطة من المستوي.
ابن $A, B, C$ مناظرات $I, J, K$ على التوالي بالنسبة إلى $O$. بيّن أن المثلث $ABC$ متقايس الضلعين.
استخدم خاصية الحفاظ على البعد. ما هي العلاقة بين $AB$ و $IJ$؟ وما هي العلاقة بين $AC$ و $IK$؟
1. ابدأ من المعطى $IJ = IK$.
2. استخدم خاصية الحفاظ على البعد لتجد $AB$ و $AC$.
3. قارن بين $AB$ و $AC$ واستنتج طبيعة المثلث $ABC$.
لدينا $IJK$ مثلث متقايس الضلعين في $I$, إذن $IJ=IK$.
بما أن التناظر المركزي يحافظ على البعد، فإن:
- $AB = IJ$
- $AC = IK$
وبما أن $IJ = IK$, فإننا نستنتج أن $AB = AC$.
إذن، المثلث $ABC$ متقايس الضلعين في $A$.
لتكن $[CD]$ قطعة مستقيم و $O$ نقطة لا تنتمي إليها. $C'$ و $D'$ هما مناظرتا $C$ و $D$ بالنسبة لـ $O$.
1. ما هي مناظرة قطعة المستقيم $[CD]$ بالنسبة لـ $O$؟
2. ما هي الوضعية النسبية للمستقيمين $(CD)$ و $(C'D')$؟
تذكر خاصيتين: صورة قطعة مستقيم هي قطعة مستقيم... وصورة مستقيم هي مستقيم...
1. اذكر أن مناظرة قطعة مستقيم هي قطعة مستقيم تقايسها.
2. اذكر أن مناظر مستقيم هو مستقيم يوازيه.
1. مناظرة قطعة المستقيم $[CD]$ بالنسبة لـ $O$ هي قطعة المستقيم $[C'D']$.
2. مناظر المستقيم $(CD)$ بالنسبة لـ $O$ هو مستقيم يمر من $C'$ و $D'$ وهو $(C'D')$. خاصية التناظر المركزي تقول إن مناظر مستقيم هو مستقيم يوازيه. إذن $(CD) // (C'D')$.
$ABCD$ متوازي أضلاع مركزه $O$ (نقطة تقاطع قطريه).
ما هي مناظرة قطعة المستقيم $[AB]$ بالنسبة للنقطة $O$؟ علل جوابك.
ماذا يعني أن $O$ هو مركز متوازي الأضلاع؟ ما هي مناظرة $A$ بالنسبة لـ $O$؟ وما هي مناظرة $B$؟
1. بما أن $O$ مركز متوازي الأضلاع، فهو منتصف القطرين $[AC]$ و $[BD]$.
2. استنتج من ذلك أن $C$ هي مناظرة $A$ وأن $D$ هي مناظرة $B$ بالنسبة لـ $O$.
3. استنتج مناظرة القطعة $[AB]$.
بما أن $ABCD$ متوازي أضلاع مركزه $O$، فإن $O$ هي منتصف القطر $[AC]$ ومنتصف القطر $[BD]$.
إذن، $C$ هي مناظرة $A$ بالنسبة لـ $O$, و $D$ هي مناظرة $B$ بالنسبة لـ $O$.
وبالتالي، مناظرة قطعة المستقيم $[AB]$ بالنسبة لـ $O$ هي قطعة المستقيم $[CD]$.
لتكن $E, F, G$ ثلاث نقاط على استقامة واحدة. لتكن $O$ نقطة خارج المستقيم $(EF)$.
ابن $E', F', G'$ مناظرات $E, F, G$ بالنسبة لـ $O$. ماذا يمكنك أن تقول عن النقاط $E', F', G'$؟ أثبت ذلك.
إحدى الخصائص الأساسية للتناظر المركزي هي أنه يحافظ على ...
1. اذكر أن النقاط $E, F, G$ على استقامة واحدة.
2. اذكر أن التناظر المركزي يحافظ على استقامة النقاط.
3. استنتج أن مناظرات هذه النقاط $E', F', G'$ هي أيضًا على استقامة واحدة.
بما أن $E, F, G$ على استقامة واحدة، فإنها تنتمي إلى نفس المستقيم $(EF)$.
التناظر المركزي يحافظ على استقامة النقاط. هذا يعني أن صور النقاط المستقيمة هي نقاط مستقيمة.
إذن، النقاط $E', F', G'$، وهي مناظرات $E, F, G$، هي أيضًا على استقامة واحدة. وهي تنتمي إلى المستقيم $(E'F')$ مناظر المستقيم $(EF)$.
لتكن $I$ منتصف قطعة المستقيم $[AB]$. لتكن $O$ نقطة من المستوي.
ابن $A', B', I'$ مناظرات $A, B, I$ على التوالي بالنسبة لـ $O$. أثبت أن $I'$ هي منتصف $[A'B']$.
التناظر المركزي يحافظ على المنتصفات. كيف يمكن صياغة هذا في برهان؟
1. مناظرة القطعة $[AB]$ هي القطعة $[A'B']$.
2. بما أن التناظر المركزي يحافظ على المنتصفات، فإن مناظرة منتصف $[AB]$ (وهي $I$) هي منتصف مناظرتها $[A'B']$.
3. مناظرة $I$ هي $I'$. استنتج المطلوب.
لدينا $I$ منتصف $[AB]$.
مناظرة القطعة $[AB]$ بالنسبة لـ $O$ هي القطعة $[A'B']$.
بما أن التناظر المركزي يحافظ على المنتصفات، فإن مناظرة منتصف قطعة هي منتصف مناظرتها.
مناظرة النقطة $I$ (منتصف $[AB]$) هي النقطة $I'$.
إذن، $I'$ هي منتصف القطعة $[A'B']$.
لتكن الزاوية $\widehat{ABC}$ التي قيسها $45^\circ$. لتكن $O$ نقطة من المستوي.
ابن $A', B', C'$ مناظرات $A, B, C$ بالنسبة لـ $O$. ما هو قيس الزاوية $\widehat{A'B'C'}$؟ علل جوابك.
التناظر المركزي يحافظ على أقياس الزوايا.
1. اذكر أن مناظرة الزاوية $\widehat{ABC}$ هي الزاوية $\widehat{A'B'C'}$.
2. اذكر خاصية الحفاظ على أقياس الزوايا.
3. استنتج قيس الزاوية $\widehat{A'B'C'}$.
مناظرة الزاوية $\widehat{ABC}$ بالنسبة للنقطة $O$ هي الزاوية $\widehat{A'B'C'}$.
بما أن التناظر المركزي يحافظ على أقياس الزوايا، فإن قيس الزاوية المناظرة يساوي قيس الزاوية الأصلية.
إذن: $\widehat{A'B'C'} = \widehat{ABC} = 45^\circ$.
$ABC$ مثلث قائم الزاوية في $A$. لتكن $O$ نقطة من المستوي.
ابن $A', B', C'$ مناظرات $A, B, C$ بالنسبة لـ $O$. أثبت أن المثلث $A'B'C'$ قائم الزاوية.
ما هو قيس الزاوية القائمة؟ كيف يساعدك الحفاظ على أقياس الزوايا في إثبات أن المثلث المناظر قائم الزاوية أيضًا؟
1. بما أن المثلث $ABC$ قائم في $A$, فإن $\widehat{BAC} = 90^\circ$.
2. مناظرة الزاوية $\widehat{BAC}$ هي $\widehat{B'A'C'}$.
3. استخدم خاصية الحفاظ على أقياس الزوايا لإيجاد قيس $\widehat{B'A'C'}$.
4. استنتج طبيعة المثلث $A'B'C'$.
بما أن المثلث $ABC$ قائم الزاوية في $A$, فإن قيس الزاوية $\widehat{BAC}$ هو $90^\circ$.
مناظرة المثلث $ABC$ بالنسبة لـ $O$ هو المثلث $A'B'C'$.
بما أن التناظر المركزي يحافظ على أقياس الزوايا، فإن $\widehat{B'A'C'} = \widehat{BAC} = 90^\circ$.
بما أن المثلث $A'B'C'$ يحتوي على زاوية قائمة، فإنه مثلث قائم الزاوية في $A'$.
ليكن $ABCD$ مستطيل مساحته $24 \text{ صم}^2$. لتكن $O$ نقطة من المستوي.
ابن $A', B', C', D'$ مناظرات $A, B, C, D$ بالنسبة لـ $O$. ما هي مساحة الشكل $A'B'C'D'$؟ علل جوابك.
ما هي طبيعة الشكل $A'B'C'D'$؟ وما هي الخاصية التي تربط بين مساحة شكل ومساحة مناظره؟
1. اذكر أن مناظر المستطيل $ABCD$ هو المستطيل $A'B'C'D'$.
2. اذكر أن التناظر المركزي يحافظ على المساحات.
3. استنتج مساحة $A'B'C'D'$.
مناظر المستطيل $ABCD$ بالتناظر المركزي هو مستطيل $A'B'C'D'$ يقايسه.
بما أن التناظر المركزي يحافظ على المساحات، فإن مساحة الشكل المناظر تساوي مساحة الشكل الأصلي.
إذن، مساحة المستطيل $A'B'C'D'$ تساوي مساحة المستطيل $ABCD$, وهي $24 \text{ صم}^2$.
مساحة المثلث $EFG$ هي $18 \text{ صم}^2$. لتكن $O$ نقطة من المستوي. $E', F', G'$ هي مناظرات $E, F, G$ بالنسبة لـ $O$.
ما هي مساحة المثلث $E'F'G'$؟
هل تختلف خاصية الحفاظ على المساحة بين المضلعات والمثلثات؟
1. اذكر أن مناظر المثلث $EFG$ هو المثلث $E'F'G'$.
2. اذكر خاصية الحفاظ على المساحات.
3. استنتج مساحة المثلث $E'F'G'$.
مناظر المثلث $EFG$ بالتناظر المركزي هو مثلث $E'F'G'$ يقايسه.
بما أن التناظر المركزي يحافظ على المساحات، فإن مساحة المثلث المناظر تساوي مساحة المثلث الأصلي.
إذن، مساحة المثلث $E'F'G'$ تساوي $18 \text{ صم}^2$.
$\mathcal{C}$ دائرة مركزها $O$ وشعاعها $r=4$ صم. $A$ و $B$ نقطتان من الدائرة. $A'$ و $B'$ هما مناظرتا $A$ و $B$ بالنسبة لـ $O$.
أثبت أن $A'$ و $B'$ تنتميان إلى الدائرة $\mathcal{C}$.
ما هي مناظرة دائرة بالنسبة لمركزها؟
1. اذكر أن مناظرة دائرة بالنسبة لمركزها هي الدائرة نفسها.
2. بما أن $A$ و $B$ تنتميان للدائرة، فإن مناظرتيهما تنتميان لمناظرة الدائرة.
3. استنتج المطلوب.
مناظرة الدائرة $\mathcal{C}$ التي مركزها $O$ بالنسبة لمركزها $O$ هي الدائرة $\mathcal{C}$ نفسها.
بما أن $A \in \mathcal{C}$ و $B \in \mathcal{C}$، فإن مناظرتيهما $A'$ و $B'$ تنتميان إلى مناظرة الدائرة $\mathcal{C}$, وهي $\mathcal{C}$ نفسها.
إذن $A' \in \mathcal{C}$ و $B' \in \mathcal{C}$.
ليكن $(D_1)$ و $(D_2)$ مستقيمين متعامدين. لتكن $O$ نقطة من المستوي. ابن $(D'_1)$ و $(D'_2)$ مناظري $(D_1)$ و $(D_2)$ بالنسبة لـ $O$.
أثبت أن $(D'_1) \perp (D'_2)$.
التناظر المركزي يحافظ على التوازي، ولكنه يحافظ أيضًا على ...
1. اذكر أن التناظر المركزي يحافظ على التعامد.
2. بما أن $(D_1) \perp (D_2)$, فإن مناظريهما يكونان متعامدين أيضًا.
لدينا $(D_1) \perp (D_2)$.
بما أن التناظر المركزي يحافظ على التعامد (لأنه يحافظ على أقياس الزوايا، والزاوية القائمة هي زاوية)، فإن مناظري مستقيمين متعامدين هما أيضًا مستقيمان متعامدان.
مناظر $(D_1)$ هو $(D'_1)$ ومناظر $(D_2)$ هو $(D'_2)$.
إذن $(D'_1) \perp (D'_2)$.