🎯 المعين المتعامد التفاعلي

اتقن الإحداثيات والتناظرات الهندسية

🎮 المنصة التفاعلية

انقر على الشبكة لوضع النقاط واستكشاف الإحداثيات والتناظر المركزي!

📌 تعليمات: انقر لوضع نقطة جديدة، ثم استخدم أزرار التناظر لرؤية التناظرات مع الحفاظ على النقاط الأصلية
x
y
O
النقاط الأصلية
تناظر حول محور (OI)
تناظر حول محور (OJ)
تناظر حول الأصل
📍 الإحداثيات: انقر على الشبكة لوضع نقطة

📐 المفاهيم الأساسية

المعين المتعامد (O, I, J):

• O = نقطة الأصل (0, 0)

• I = النقطة الوحدة على محور الأفاصيل (1, 0)

• J = النقطة الوحدة على محور التراتيب (0, 1)

• كل نقطة M لها إحداثيات (x, y)

🔄 التناظر المحوري حول محور الأفاصيل

M(x, y)
M'(x, -y)

النقطة M(x, y) → M'(x, -y)

🔄 التناظر المحوري حول محور التراتيب

M(x, y)
M'(-x, y)

النقطة M(x, y) → M'(-x, y)

🎯 التناظر المركزي حول نقطة الأصل

M(x, y)
M'(-x, -y)

النقطة M(x, y) → M'(-x, -y)

📋 دليل الحلول والبراهين

نوع التناظر كيفية البرهان كيفية إيجاد الإحداثيات
🔄 التناظر المحوري حول محور الأفاصيل (OI) للبرهان أن النقطتين A(x₁, y₁) و A'(x₂, y₂) متناظرتان حول محور الأفاصيل:

✅ نتحقق من الشرطين:
• x₂ = x₁ (نفس الفاصلة)
• y₂ = -y₁ (الترتيبة معكوسة)

📍 مثال: A(3, 4) و A'(3, -4) 		إذا كانت النقطة M(x, y)

فإن مناظرتها هي:
M'(x, -y)

📝 طريقة العمل:
• احتفظ بالفاصلة x
• اعكس إشارة الترتيبة y
🔄 التناظر المحوري حول محور التراتيب (OJ) للبرهان أن النقطتين B(x₁, y₁) و B'(x₂, y₂) متناظرتان حول محور التراتيب:

✅ نتحقق من الشرطين:
• x₂ = -x₁ (الفاصلة معكوسة)
• y₂ = y₁ (نفس الترتيبة)

📍 مثال: B(-2, 5) و B'(2, 5) 		إذا كانت النقطة M(x, y)

فإن مناظرتها هي:
M'(-x, y)

📝 طريقة العمل:
• اعكس إشارة الفاصلة x
• احتفظ بالترتيبة y
🎯 التناظر المركزي حول نقطة الأصل (O) للبرهان أن النقطتين C(x₁, y₁) و C'(x₂, y₂) متناظرتان حول الأصل:

✅ نتحقق من الشرطين:
• x₂ = -x₁ (الفاصلة معكوسة)
• y₂ = -y₁ (الترتيبة معكوسة)

📍 مثال: C(4, -3) و C'(-4, 3) 		إذا كانت النقطة M(x, y)

فإن مناظرتها هي:
M'(-x, -y)

📝 طريقة العمل:
• اعكس إشارة الفاصلة x
• اعكس إشارة الترتيبة y

💡 نصائح مهمة للحفظ

✋ قاعدة اليد:
تناظر حول (OI) → y يتغير
تناظر حول (OJ) → x يتغير
🔍 للتحقق:
احسب منتصف القطعة بين النقطتين
يجب أن يكون على محور التناظر
📐 البعد:
النقطة ومناظرتها على نفس
البعد من محور التناظر

🧠 اختبار تفاعلي

إذا تعرضت النقطة A(3, -2) لتناظر حول محور التراتيب، فما هي إحداثياتها الجديدة؟
A'(3, 2)
A'(-3, -2)
A'(-3, 2)
A'(3, -2)

📏 البعد ومنتصف القطعة المستقيمة

🎯 فاصلة منتصف قطعة مستقيم:

إذا كان A(xₐ, yₐ) و B(xᵦ, yᵦ) نقطتان في المعين،
فإن منتصف القطعة [AB] له الإحداثيات:

xₘ = (xₐ + xᵦ)/2 ; yₘ = (yₐ + yᵦ)/2

📝 مثال تطبيقي:

إذا كان M منتصف [AB] حيث A(-4, 3) و B(6, 5)


الحل:
xₘ = (xₐ + xᵦ)/2 = (-4 + 6)/2 = 2/2 = 1

yₘ = (yₐ + yᵦ)/2 = (3 + 5)/2 = 8/2 = 4

وبالتالي M(1, 4)
📐 البعد بين نقطتين في المعين:

إذا كان A(xₐ, yₐ) و B(xᵦ, yᵦ) نقطتان في المعين (O,I,J)،
فإن البعد بينهما تحسب بالقانون:

AB = |xₐ - xᵦ| إذا كان yₐ = yᵦ

AB = |yₐ - yᵦ| إذا كان xₐ = xᵦ

📝 أمثلة تطبيقية للمسافة:

مثال 1: احسب البعد AB حيث A(2, 5) و B(7, 5)

الحل: نلاحظ أن yₐ = yᵦ = 5
إذن: AB = |xₐ - xᵦ| = |2 - 7| = |-5| = 5
AB = 5
مثال 2: احسب البعد CD حيث C(3, 1) و D(3, 6)

الحل: نلاحظ أن xᵨ = xᵨ = 3
إذن: CD = |yᵨ - yᵨ| = |1 - 6| = |-5| = 5
CD = 5
• المستقيم المار من نقطتين A و B لهما نفس الفاصلة:
يوازي محور التراتيب
ونكتب: (AB) // (OJ)
• المستقيم المار من نقطتين M و N لهما نفس الترتيبة:
يوازي محور الفاصلات
ونكتب: (MN) // (OI)
• كل نقطة مستقيم يوازي محور الفاصلات لها نفس الترتيبة
• كل نقطة مستقيم يوازي محور التراتيب لها نفس الفاصلة

📊 حساب البعد

A(x₁, y₁)
⬇️
إذا y₁ = y₂ → d = |x₁ - x₂|
إذا x₁ = x₂ → d = |y₁ - y₂|
⬇️
B(x₂, y₂)

للنقاط المتوازية مع المحاور

🎯 إيجاد المنتصف

A(x₁, y₁)
🔄
M((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
🔄
B(x₂, y₂)

متوسط الإحداثيات

📏 التوازي

نفس الفاصلة → // (OJ)
⭕
نفس الترتيبة → // (OI)

شروط التوازي

🎯 تطبيقات عملية

🔢 لحساب البعد:
1. تحقق من الإحداثيات المتساوية
2. إذا كانت الترتيبات متساوية: AB = |xₐ - xᵦ|
3. إذا كانت الفاصلات متساوية: AB = |yₐ - yᵦ|
📍 لإيجاد المنتصف:
1. اجمع الفاصلتين واقسم على 2
2. اجمع الترتيبتين واقسم على 2
3. النتيجة هي إحداثيات المنتصف
📐 لتحديد التوازي:
1. قارن الفاصلات
2. قارن التراتيب
3. استنتج اتجاه التوازي

📐 التوازي والتعامد في المعين

🔄 شروط التوازي في المعين:

• إذا كان A و B لهما نفس الترتيبة، فإن (AB) يوازي محور الفاصلات
نكتب: (AB) // (OI)

• إذا كان C و D لهما نفس الفاصلة، فإن (CD) يوازي محور التراتيب
نكتب: (CD) // (OJ)

⚡ خصائص مهمة للتوازي:

📏 مستقيم أفقي:
• جميع نقاطه لها نفس الترتيبة
• يوازي محور الفاصلات (OI)
• معادلته: y = ثابت
📏 مستقيم عمودي:
• جميع نقاطه لها نفس الفاصلة
• يوازي محور التراتيب (OJ)
• معادلته: x = ثابت

📊 تدريج المستقيم والوحدة

📏 تدريج مستقيم:

لتدريج مستقيم حاو للنقطتين O و I:

• النقطة O تمثل أصل التدريج (العدد 0)
• النقطة I تمثل النقطة الوحدة (العدد 1)
• طول القطعة [OI] يمثل وحدة التدريج

• فاصلة النقطة M هي: xₘ = (xₐ + xᵦ)/2
حساب الفاصلة لنقطة K منتصف [AB]:

إذا كان A(xₐ) و B(xᵦ) على المستقيم المدرج
فإن: xₖ = (xₐ + xᵦ)/2

حساب البعد: AB = |xᵦ - xₐ| × OI

🏋️ تمارين تطبيقية شاملة

🎯 تمارين متنوعة

تمرين 1: حساب المنتصف

المعطيات: A(1, 3) و B(5, 7)

المطلوب: أوجد إحداثيات منتصف [AB]

الحل:
xₘ = (1 + 5)/2 = 3
yₘ = (3 + 7)/2 = 5
النتيجة: M(3, 5)

تمرين 2: حساب البعد

المعطيات: C(2, 4) و D(2, 9)

المطلوب: احسب البعد CD

الحل:
نلاحظ: xᵨ = xᵨ = 2
CD = |yᵨ - yᵨ| = |4 - 9| = 5
النتيجة: CD = 5

تمرين 3: التوازي

المعطيات: E(1, 2) و F(6, 2)

المطلوب: ما هو اتجاه المستقيم (EF)؟

الحل:
نلاحظ: yₑ = yₑ = 2
إذن: (EF) // (OI)
مستقيم أفقي

تمرين 4: التناظر

المعطيات: G(3, -1)

المطلوب: أوجد مناظر G حول الأصل

الحل:
G'(-xᵨ, -yᵨ)
G'(-3, -(-1)) = G'(-3, 1)
النتيجة: G'(-3, 1)

💡 استراتيجيات الحل

🔍 للمنتصف:
• احسب متوسط الفاصلات
• احسب متوسط التراتيب
• تحقق من النتيجة
📏 للمسافة:
• تحقق من المحور
• استخدم القانون المناسب
• تذكر القيمة المطلقة
🔄 للتناظر:
• حدد نوع التناظر
• طبق القانون الصحيح
• تحقق من الإشارات

💡 النقاط الأساسية للحفظ

✅ إحداثيات النقطة

M(x, y) حيث x = الفاصلة، y = الترتيبة
🔄 التناظرات

التناظر المركزي يحافظ على البعد والزوايا
📏 البعد

d(A,B) = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²]
📐 نقطة الوسط

M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)