التناظر المركزي هو تحويل هندسي يحافظ على المسافات والزوايا. نقطة M' هي صورة النقطة M بالتناظر المركزي بالنسبة للنقطة O إذا كان O منتصف القطعة MM'.
يُرمز للتناظر المركزي بالنسبة للنقطة O بالرمز S_O أو Sym_O.
المعادلة الرياضية: إذا كانت M(x,y) فإن M'(x',y') حيث x' = 2a - x و y' = 2b - y، وO(a,b) هو مركز التناظر.
إذا كانت النقطة M لها إحداثيات (x, y) ومركز التناظر O له إحداثيات (a, b)، فإن صورة M هي M' بإحداثيات (2a-x, 2b-y).
النقطة O هي منتصف القطعة MM' حيث M' صورة M بالتناظر المركزي بالنسبة لـ O.
المسافة بين النقطة ومركز التناظر تساوي المسافة بين صورتها ومركز التناظر: OM = OM'.
النقاط M، O، M' محاذية (على استقامة واحدة) حيث O منتصف MM'.
إذا كانت النقطة تقع على مركز التناظر، فإن صورتها هي نفسها: S_O(O) = O.
نجد صورة النقطة A وهي A' بحيث O منتصف AA'.
نجد صورة النقطة B وهي B' بحيث O منتصف BB'.
صورة القطعة AB هي القطعة A'B'.
القطعة وصورتها لهما نفس الطول: AB = A'B'.
القطعة وصورتها متوازيتان ولهما نفس الاتجاه.
منتصف القطعة AB وصورة منتصف القطعة A'B' متناظران بالنسبة لنقطة O.
إذا مرت القطعة AB بمركز التناظر O، فإن O ينتمي أيضاً لصورة القطعة A'B'.
نأخذ نقطتين مختلفتين A وB على المستقيم (d).
نجد صورة A وهي A' ونجد صورة B وهي B'.
صورة المستقيم (d) هو المستقيم (d') الذي يمر بالنقطتين A' وB'.
المستقيم وصورته متوازيان إذا لم يمر المستقيم بمركز التناظر.
إذا مر المستقيم بمركز التناظر O، فإن صورته هو نفس المستقيم.
المسافة بين المستقيم ومركز التناظر تساوي المسافة بين صورة المستقيم ومركز التناظر.
اتجاه المستقيم يبقى نفسه في صورته.
خاصية مهمة: إذا كان المستقيم (d) يمر بمركز التناظر O، فإن S_O(d) = d.
نجد صورة النقطة A وهي A'.
نجد صورة النقطة B وهي B'.
نجد صورة النقطة C وهي C'.
صورة الزاوية ∠ABC هي الزاوية ∠A'B'C'.
الزاوية وصورتها لهما نفس القياس: ∠ABC = ∠A'B'C'.
الزاوية وصورتها لهما نفس الاتجاه.
إذا كان رأس الزاوية هو مركز التناظر، فإن صورة الزاوية هي نفس الزاوية.
الزاوية الحادة تبقى حادة، والزاوية القائمة تبقى قائمة، والزاوية المنفرجة تبقى منفرجة.
إذا كانت النقاط A، B، C محاذية، فإن صورها A'، B'، C' محاذية أيضاً.
ترتيب النقاط يبقى نفسه: إذا كانت B بين A وC، فإن B' بين A' وC'.
النسب بين المسافات محفوظة: AB/AC = A'B'/A'C'.
إذا كانت إحدى النقاط الثلاث هي مركز التناظر، فإن النقطتين الأخريين وصورتيهما تشكلان خطاً مستقيماً يمر بمركز التناظر.
صورة منتصف القطعة AB هي منتصف القطعة A'B' حيث A' وB' هما صورتا A وB على التوالي.
إذا كان M منتصف AB، فإن M' (صورة M) هي منتصف A'B'.
التناظر المركزي يحافظ على خاصية كون النقطة منتصف لقطعة.
إذا كانت M' مناظرة M بالنسبة إلى O، فإن O هو منتصف القطعة [MM'].
إذا كان المستقيمان (d₁) و(d₂) متوازيين، فإن صورتيهما (d₁') و(d₂') متوازيتان أيضاً.
المسافة بين مستقيمين متوازيين تساوي المسافة بين صورتيهما.
إذا كان المستقيم (d₁) متوازياً للمستقيم (d₂)، ونعرف أن النقطة P على (d₁) وصورتها P' على (d₂).
فإن (d₂) هو صورة (d₁) بالتناظر المركزي بالنسبة لمنتصف PP'.
إذا كان المستقيم يمر بمركز التناظر، فإن صورته هو نفسه، وبالتالي فهو موازٍ لنفسه.
كل مستقيم لا يمر بمركز التناظر له صورة متوازية له ومنفصلة عنه.
إذا كانت النقطة P هي تقاطع المستقيمين (d₁) و(d₂)، فإن صورة P هي تقاطع صورتي المستقيمين (d₁') و(d₂').
لإيجاد صورة نقطة تقاطع: نجد صورتي المستقيمين، ثم نجد نقطة تقاطعهما.
إذا كان أحد المستقيمين يمر بمركز التناظر، فإن نقطة التقاطع وصورتها تقعان على هذا المستقيم.
إذا كان كلا المستقيمين يمران بمركز التناظر، فإن نقطة التقاطع هي مركز التناظر نفسه.
التناظر المركزي يحول التقاطع إلى تقاطع: إذا تقاطع مستقيمان في نقطة، فإن صورتيهما تتقاطعان في صورة تلك النقطة.
أي مستقيم يمر بمركز التناظر O فإن صورته بالتناظر المركزي هو نفسه.
النقاط على المستقيم المار بمركز التناظر لها صور على نفس المستقيم.
إذا كان المستقيم (d) يمر بـ O، فلكل نقطة M على (d) توجد نقطة M' على (d) بحيث O منتصف MM'.
المستقيم المار بمركز التناظر يقسم المستوى إلى منطقتين متناظرتين.
كل نقطة على المستقيم المار بمركز التناظر لها صورة على نفس المستقيم على الجانب الآخر من المركز.
التناظر المركزي يحافظ على الأطوال: إذا كان AB = 5 سم، فإن A'B' = 5 سم.
التناظر المركزي يحافظ على قياسات الزوايا: إذا كان ∠ABC = 60°، فإن ∠A'B'C' = 60°.
التناظر المركزي يحافظ على المساحات: مساحة الشكل = مساحة صورته.
التناظر المركزي يحافظ على التوازي: إذا كان AB ∥ CD، فإن A'B' ∥ C'D'.
التناظر المركزي يحافظ على التعامد: إذا كان AB ⊥ CD، فإن A'B' ⊥ C'D'.
التناظر المركزي يحافظ على النسب: AB/CD = A'B'/C'D'.
صورة الدائرة بالتناظر المركزي هي دائرة لها نفس نصف القطر.
إذا كانت الدائرة مركزها A ونصف قطرها r، فإن صورتها دائرة مركزها A' ونصف قطرها r.
إذا مر مركز الدائرة بمركز التناظر، فإن صورة الدائرة هي نفسها.
المسافة بين مركزي الدائرة وصورتها تساوي ضعف المسافة بين مركز الدائرة ومركز التناظر.
صورة المثلث ABC بالتناظر المركزي هي المثلث A'B'C'.
المثلث وصورته متطابقان (نفس الأطوال ونفس الزوايا).
إذا كان المثلث ABC قائم الزاوية في B، فإن A'B'C' قائم الزاوية في B'.
إذا كان المثلث متساوي الأضلاع، فإن صورته متساوية الأضلاع أيضاً.
إذا كان المثلث متساوي الساقين، فإن صورته متساوية الساقين أيضاً.
صورة المضلع المحدب هي مضلع محدب.
صورة المضلع المقعر هي مضلع مقعر.
عدد أضلاع المضلع وصورته متساوٍ.
أطوال أضلاع المضلع وصورته متساوية.
قياسات زوايا المضلع وصورته متساوية.
صورة المستطيل بالتناظر المركزي هي مستطيل.
أبعاد المستطيل وصورته متساوية.
إذا كان مركز المستطيل هو مركز التناظر، فإن صورة المستطيل هي نفسه.
أقطار المستطيل وصورها متقاطعة في نقطة هي صورة نقطة تقاطع أقطار المستطيل الأصلي.
صورة المعين بالتناظر المركزي هي معين له نفس أطوال الأضلاع.
زوايا المعين وصورته متساوية.
أقطار المعين وصورها متساوية في الطول ومتعامدة.
صورة المربع بالتناظر المركزي هي مربع له نفس طول الضلع.
إذا كان مركز المربع هو مركز التناظر، فإن صورة المربع هي نفسه.
أقطار المربع وصورها متساوية ومتعامدة ومتقاطعة في نقاط متناظرة.
تركيب تناظرين مركزيين بنفس المركز يعطي دوراناً بزاوية 360° (أي التطابق).
تركيب تناظرين مركزيين بمركزين مختلفين يعطي انسحاباً.
التناظر المركزي عملية عكوسة: تطبيقه مرتين بنفس المركز يعيد كل نقطة إلى موضعها الأصلي.
إذا طبّقنا التناظر المركزي على صورة نقطة (بنفس المركز)، نعود إلى النقطة الأصلية.
التناظر المركزي يحفظ البُعد: النقاط المحاذية تبقى محاذية.
التناظر المركزي يحفظ الاتجاه: اتجاه دوران الزاوية يبقى نفسه.
التناظر المركزي يحفظ نوع الشكل الهندسي.
التناظر المركزي يحفظ العلاقات الهندسية (التوازي، التعامد، التساوي).
نرسم المستقيم الذي يمر بالنقطة ومركز التناظر.
نمد هذا المستقيم ليتجاوز مركز التناظر.
نضع صورة النقطة على نفس المسافة من المركز على الجانب الآخر.
نأخذ نقطتين على المستقيم.
نجد صورتيهما بالطريقة السابقة.
نرسم المستقيم المار بصورتي النقطتين.
نجد صور جميع رؤوس المضلع.
نصل بين صور الرؤوس بنفس ترتيب الضلع الأصلي.
إذا كانت المسافة بين النقطة A ومركز التناظر O تساوي d، فإن المسافة AA' = 2d.
إذا كان المستقيم على بُعد h من مركز التناظر، فإن صورته على بُعد h أيضاً من المركز.
المسافة بين المستقيم وصورته = 2h حيث h هو بُعد المستقيم عن مركز التناظر.
محيط الشكل = محيط صورته.
مساحة الشكل = مساحة صورته.
في المستوى الإحداثي، إذا كان O(0,0) مركز التناظر، فإن صورة M(x,y) هي M'(-x,-y).
إذا كان مركز التناظر O(a,b)، فإن صورة M(x,y) هي M'(2a-x, 2b-y).
في التناظر بالنسبة لنقطة الأصل، الإحداثي السيني يصبح سالب نفسه، والإحداثي الصادي يصبح سالب نفسه.
معادلة صورة المستقيم ax + by + c = 0 بالتناظر بالنسبة للأصل هي ax + by - c = 0.
إذا كان منحنى الدالة f(x) متناظراً بالنسبة لنقطة الأصل، فإن f(-x) = -f(x).
الدوال الفردية لها تناظر مركزي بالنسبة لنقطة الأصل.
منحنى المعادلة y = f(x) وصورته y = -f(-x) متناظران بالنسبة للأصل.
في المثلث، إذا كان O منتصف الضلع BC، فإن التناظر بالنسبة لـ O يحول B إلى C وC إلى B.
في متوازي الأضلاع ABCD، التناظر بالنسبة لتقاطع القطرين يحول A إلى C وB إلى D.
نقطة تقاطع أقطار متوازي الأضلاع هي مركز تناظر لمتوازي الأضلاع.
في الدائرة، أي نقطة هي مركز تناظر للدائرة نفسها، لكن المركز هو مركز التناظر الوحيد الذي يحول كل نقطة على المحيط إلى نقطة أخرى على المحيط.
صورة مجموعة نقاط محدودة هي مجموعة محدودة لها نفس عدد النقاط.
صورة مجموعة نقاط مرتبة (على مستقيم) هي مجموعة نقاط مرتبة.
صورة مجموعة نقاط على دائرة هي مجموعة نقاط على دائرة (صورة الدائرة).
نقطة تجمع مجموعة نقاط (إذا وجدت) تتحول إلى نقطة تجمع صورة المجموعة.
شكل هندسي له تناظر مركزي إذا وجدت نقطة بحيث التناظر بالنسبة لها يحول الشكل إلى نفسه.
متوازي الأضلاع له تناظر مركزي بالنسبة لتقاطع قطريه.
الدائرة لها تناظر مركزي بالنسبة لمركزها.
المستقيم له تناظر مركزي بالنسبة لأي نقطة عليه.
إذا كانت النقطة تقع على مركز التناظر، فهي النقطة الوحيدة التي تطابق صورتها.
المستقيم المار بمركز التناظر هو المستقيم الوحيد الذي يطابق صورته.
الدائرة التي مركزها هو مركز التناظر هي الدائرة الوحيدة التي تطابق صورتها.
في التناظر المركزي، لا توجد نقاط ثابتة إلا مركز التناظر نفسه.
لإثبات أن أقطار متوازي الأضلاع تتقاطع في منتصف كل منهما، نستخدم التناظر المركزي بالنسبة لنقطة التقاطع.
لإيجاد مركز دائرة تمر بثلاث نقاط، يمكن استخدام التناظر المركزي مع خصائص التعامد.
في حل مسائل الهندسة، التناظر المركزي مفيد لإثبات تساوي أطوال أو قياسات زوايا.
التناظر المركزي يُستخدم في إثبات توازي مستقيمات أو تعامدها.
إذا كان للشكل مركز تناظر، فإن أي مستقيم يمر بهذا المركز يقسم الشكل إلى جزأين متطابقين.
مجموع إحداثيات رؤوس شكل له مركز تناظر يساوي عدد الرؤوس مضروباً في إحداثيات مركز التناظر.
في مضلع منتظم بعدد زوجي من الأضلاع، المركز هو مركز تناظر.
في مضلع منتظم بعدد فردي من الأضلاع، لا يوجد مركز تناظر.
إذا كان منحنى دالة متناظر مركزياً بالنسبة لنقطة، فإن مساحة الأجزاء الموجبة تساوي مساحة الأجزاء السالبة.
تكامل دالة فردية على فترة متناظرة حول الصفر يساوي صفراً.
مشتقة دالة فردية هي دالة زوجية، ومشتقة دالة زوجية هي دالة فردية.
كثير من الأشكال في الطبيعة تظهر تناظراً مركزياً مثل النجوم والزهور.
في الفن الإسلامي، التناظر المركزي يُستخدم بكثرة في الزخارف الهندسية.
التناظر المركزي مبدأ أساسي في تصميم الشعارات والرموز.
عدد نقاط شكل منته محدود يساوي عدد نقاط صورته.
عدد أضلاع مضلع يساوي عدد أضلاع صورته.
عدد زوايا شكل يساوي عدد زوايا صورته.
عدد نقاط تقاطع مستقيمين يساوي عدد نقاط تقاطع صورتيهما.
تطبيق التناظر المركزي مرتين متتاليتين بنفس المركز يعطي التطابق (كل نقطة تعود إلى مكانها).
التناظر المركزي يحوّل كل مستقيم إلى مستقيم مواز له.
التناظر المركزي تحويل عكوس: تطبيقه مرتين يعيد الشكل إلى وضعه الأصلي.
مناظر مستقيم لا يمرّ بمركز التناظر هو مستقيم مواز له.
في التناظر المركزي، مجموع مربعات المسافات من نقاط الشكل إلى مركز التناظر يساوي مجموع مربعات المسافات من نقاط الصورة إلى المركز.
مناظر منتصف قطعة هو منتصف القطعة المناظرة لها.
مركز كتلة الشكل ومركز كتلة صورته متناظران بالنسبة لمركز التناظر.
في الفراغ الثلاثي الأبعاد، التناظر المركزي بالنسبة لنقطة O يحول النقطة M(x,y,z) إلى M'(2a-x, 2b-y, 2c-z) حيث O(a,b,c).
صورة الكرة بالتناظر المركزي هي كرة لها نفس نصف القطر.
صورة المكعب بالتناظر المركزي هي مكعب له نفس طول الحرف.
التناظر المركزي في الفراغ يحافظ على الحجوم.
حد دالة عند نقطة يساوي حد صورتها عند صورة النقطة (إذا وجد).
استمرارية دال