قبل أن نتحدث عن التناظر المركزي، دعونا نتذكر التناظر المحوري (الذي تعلمناه سابقاً). التناظر المحوري هو "انعكاس" الشكل عبر خط مستقيم يسمى المحور. تخيل أنك تنظر في مرآة، والمحور هو سطح المرآة.
خذ ورقة وارسم نقطتين \( A \) و \( B \) متنااظرتين بالنسبة لمستقيم \( \Delta \). انقل الرسم إلى كراستك، ثم أجب: هل \( \Delta \) يقطع \( [AB] \) في منتصفها؟ (الجواب: نعم، وهو عمودي عليها). جرب بنفسك لترى كيف يعمل!
التناظر المركزي هو "دوران نصف دورة" (180 درجة) حول نقطة مركزية \( O \). تخيل أنك تدور الشكل نصف دورة حول \( O \)، فكل شيء ينتقل إلى الجانب الآخر بنفس المسافة لكن باتجاه معاكس.
العلاقة بالمنتصف: التناظر المركزي مرتبط بالمنتصف تماماً. إذا كانت \( O \) منتصف \( [MM'] \)، فإن \( M' \) هي صورة \( M \). وإذا كانت \( M \) على \( O \)، فإن \( M' = M \) (حالة خاصة).
خذ ورقة شفافة، ثبّت شوكة البركار على \( O \). ارسم شكلاً \( F \) (مثل مثلث)، ثم أدر الورقة نصف دورة. ستلاحظ أن الخطوط المتقطعة تتطابق مع الشكل الجديد \( F' \). هذا هو التناظر المركزي! جرب مع نقاط مختلفة.
لنقطة \( M \neq O \)، صورة \( M' \) تكون بحيث \( [OM] = [OM'] \) و \( \angle MOM' = 180^\circ \).
الآن، دعونا نرى كيف يؤثر التناظر المركزي على المستقيمات والقطع. سنشرح ببطء، مع أمثلة.
كيف تحسب صورة مستقيم؟ إذا عرفت صورة نقطة واحدة على المستقيم، واستخدمت التوازي، يمكنك رسم الصورة. مثال: إذا كانت \( A' \) صورة \( A \)، فالمستقيم \( (A'B') \) متوازي لـ \( (AB) \).
ارسم مستقيماً \( D \) ونقطة \( O \) خارجها. اختر نقطتين \( A, B \) على \( D \)، ثم ابنِ \( A', B' \) بالنسبة إلى \( O \). استخدم ورقة شفافة للتحقق: هل \( (A'B') \) متوازي لـ \( (AB) \)? (نعم!).
حفظ المنتصف: دائماً، منتصف أي قطعة يظل منتصف صورته، لأن \( O \) يحافظ على التوازن.
ارسم ثلاث نقاط \( A, B, C \) على خط واحد، وابنِ صورها \( A', B', C' \) بالنسبة إلى \( O \). هل \( A', B', C' \) على خط واحد؟ (نعم، ومتوازي للأصلي). قارن المسافات!
التناظر المركزي يحافظ على قياس الزوايا، لكنه يقلب الاتجاه (مثل دوران 180 درجة).
ارسم زاوية حادة، وابنِ صورها بالنسبة إلى \( O \). قيس الزاويتين: هل متساويتان؟ (نعم). جرب مع زاوية منفرجة.
صورة دائرة مركزها \( O \) هي نفسها (حالة خاصة). أما إذا كان المركز خارج \( O \)، فصورة الدائرة هي دائرة بنفس النصف القطر، لكن مركزها \( O' \) (صورة المركز الأصلي).
ارسم دائرة مركزها \( C \neq O \). ابنِ صورة \( C' \)، ثم ارسم الدائرة الجديدة. هل النصف قطر نفسه؟ (نعم).
التناظر المركزي يحافظ على المساحات تماماً، لأنه دوران لا يغير الحجم. إذا كانت مساحة شكل \( F \) هي \( S \)، فمساحة \( F' \) هي \( S \) أيضاً.
بما أنه يحافظ على المسافات والزوايا، فالمساحات تبقى كما هي (مثل دوران الغرفة لا يغير حجمها).
ارسم مثلثاً \( ABC \)، وابنِ \( A'B'C' \) بالنسبة إلى \( O \). قسّم المساحات باستخدام شبكة: هل متساويتان؟ (نعم). هذا يثبت الحفظ!
ممتاز! الآن فهمت التناظر المركزي. جرب التمارين من الكتاب (صفحات 165-172). إذا كان لديك سؤال، اسأل معلّمك. تذكّر: الرياضيات سهلة بالممارسة!