المرحلة التحضيرية: نذكر ما تعلمناه
نشاط 1: استذكار التناظر المحوري
الأدوات المطلوبة:
ورقة، قلم رصاص، مسطرة، ورق شفاف
الخطوة 1: الرسم
ارسم مستقيماً $d$ وضع نقطة $A$ على يمين المستقيم.
الخطوة 2: الإنشاء
أنشئ النقطة $A'$ مناظرة $A$ بالنسبة للمستقيم $d$.
- ما العلاقة بين $d$ والقطعة $[AA']$؟
- قس المسافتين $AH$ و$A'H$ حيث $H$ نقطة تقاطع $d$ مع $[AA']$
خلاصة المراجعة
في التناظر المحوري: المحور هو الموسط العمودي للقطعة التي تربط النقطة بمناظرتها.
المرحلة الأولى: اكتشاف التناظر المركزي
نشاط 2: تجربة الدوران
التطبيق العملي
الخطوة 1: التحضير
ارسم الحرف $F$ على ورقة شفافة. ضع نقطة $O$ في مكان ما على الورقة.
الخطوة 2: التجربة
ثبت شوكة البركار على النقطة $O$ ودوّر الورقة الشفافة نصف دورة (180 درجة).
الملاحظة المهمة
بعد الدوران نصف دورة حول $O$، حصلنا على شكل جديد. هذا ما يُسمى التناظر المركزي!
نشاط 3: استكشاف صورة النقطة
الاستكشاف الموجّه
الخطوة 1
ارسم نقطة $O$ ونقطة $M$ مختلفة عن $O$.
الخطوة 2
ارسم الشعاع $[OM)$. امدده ليصبح مستقيماً يمر بـ $O$ و $M$.
الخطوة 3
على الجانب الآخر من $O$، ضع نقطة $M'$ بحيث $OM' = OM$.
$OM = $ ........ سم
$OM' = $ ........ سم
$MM' = $ ........ سم
ما العلاقة بين $O$ والقطعة $[MM']$؟
اكتشافنا الأول
النقطة $M'$ هي مناظرة النقطة $M$ بالنسبة إلى $O$ عندما تكون $O$ هي منتصف القطعة $[MM']$.
المرحلة الثانية: بناء مفهوم التناظر المركزي
التعريف
التناظر المركزي بالنسبة إلى نقطة $O$ هو تحويل هندسي:
$M'$ مناظرة $M$ بالنسبة إلى $O$ $\Leftrightarrow$ $O$ منتصف $[MM']$
نشاط 4: حالات خاصة
اكتشاف مهم
النقطة $O$ (مركز التناظر) هي مناظرة لنفسها.
نقول: مركز التناظر نقطة ثابتة
تطبيق فوري
أنشئ مناظرات النقاط التالية بالنسبة إلى $O$:
- النقطة $A$ التي تبعد $3$ سم عن $O$
- النقطة $B$ التي تبعد $5$ سم عن $O$
- النقطة $O$ نفسها
المرحلة الثالثة: صور الأشكال الهندسية
نشاط 5: صورة المستقيم
التجريب
الخطوة 1
ارسم مستقيماً $(AB)$ لا يمر بالنقطة $O$.
الخطوة 2
أنشئ $A'$ مناظرة $A$ و $B'$ مناظرة $B$ بالنسبة إلى $O$.
الخطوة 3
ارسم المستقيم $(A'B')$.
ملاحظة مهمة
المستقيمان $(AB)$ و $(A'B')$ متوازيان!
حالة خاصة: تجربها بنفسك
ماذا يحدث إذا كان المستقيم يمر بمركز التناظر $O$؟
جرب الآن
ارسم مستقيماً $(CD)$ يمر بـ $O$ وأنشئ مناظريه $C'$ و $D'$.
اكتشاف
إذا كان المستقيم يمر بمركز التناظر، فإن مناظره هو نفس المستقيم!
نشاط 6: المحافظة على المسافة
قياس واستنتاج
من النشاط السابق، قس:
$AB = $ ........ سم
$AO = $ ........ سم
$BO = $ ........ سم
$A'B' = $ ........ سم
$A'O = $ ........ سم
$B'O = $ ........ سم
اكتشاف مهم: المحافظة على المسافة
التناظر المركزي يحافظ على المسافات
نشاط 7: صورة القطعة والمنتصف
تجربة المنتصف
الخطوة 1
ارسم القطعة $[AB]$ وضع نقطة $I$ منتصف هذه القطعة.
الخطوة 2
أنشئ $A'$، $B'$، $I'$ مناظرات $A$، $B$، $I$ بالنسبة إلى $O$.
هل $I'$ منتصف $[A'B']$؟
$A'I' = $ ........ سم، $I'B' = $ ........ سم
المحافظة على المنتصف
التناظر المركزي يحافظ على المنتصف: إذا كانت $I$ منتصف $[AB]$، فإن $I'$ منتصف $[A'B']$.
المرحلة الرابعة: الزوايا والأشكال الدائرية
نشاط 8: صورة الزاوية
استكشاف الزوايا
الخطوة 1
ارسم زاوية $\widehat{BAC}$ قياسها $60°$.
الخطوة 2
أنشئ $A'$، $B'$، $C'$ مناظرات $A$، $B$، $C$ بالنسبة إلى $O$.
الخطوة 3
قس الزاوية $\widehat{B'A'C'}$ بالمنقلة.
$\widehat{BAC} = $ ........°
$\widehat{B'A'C'} = $ ........°
استنتاجك:المحافظة على الزوايا
التناظر المركزي يحافظ على أقياس الزوايا
نشاط 9: صورة الدائرة
استكشاف الدائرة
الخطوة 1
ارسم دائرة مركزها $I$ وشعاعها $r = 3$ سم.
الخطوة 2
أنشئ $I'$ مناظرة $I$ بالنسبة إلى $O$.
الخطوة 3
ارسم الدائرة مركزها $I'$ وشعاعها $3$ سم.
- الشعاع: الأصلية = ......... سم، المناظرة = ......... سم
- المحيط: الأصلية = ......... سم، المناظرة = ......... سم
- المساحة: كيف تقارنها؟
حالات خاصة للدائرة
خصائص صورة الدائرة
- مناظرة الدائرة دائرة لها نفس الشعاع
- مركزها هو مناظر المركز الأصلي
- لها نفس المساحة والمحيط
المرحلة الخامسة: المحافظة على المساحات
نشاط 10: مقارنة المساحات
تجربة المساحات
الخطوة 1
ارسم مثلثاً $ABC$ على ورق مربعات (كل مربع = $1 \text{cm}^2$).
الخطوة 2
احسب مساحة المثلث $ABC$ بعد المربعات.
الخطوة 3
أنشئ المثلث $A'B'C'$ مناظر $ABC$ بالنسبة إلى $O$.
الخطوة 4
احسب مساحة المثلث $A'B'C'$ بعد المربعات.
مساحة $ABC = $ ........ $\text{cm}^2$
مساحة $A'B'C' = $ ........ $\text{cm}^2$
تطبيق
إذا كانت مساحة مربع $25 \text{cm}^2$، فكم ستكون مساحة مناظره بالتناظر المركزي؟
المحافظة على المساحات
التناظر المركزي يحافظ على المساحات: كل شكل ومناظره لهما نفس المساحة.
المرحلة النهائية: تطبيق شامل
مشروع نهائي: بناء شكل ومناظره
المهمة
ارسم شكلاً مكوناً من:
- مثلث
- دائرة تمس المثلث
- قطعة مستقيم خارج الشكلين
ثم أنشئ مناظر هذا الشكل المركب بالنسبة إلى نقطة $O$ من اختيارك.
التحقق
تأكد من:
- أن المسافات محفوظة
- أن الزوايا محفوظة
- أن المستقيمات الأصلية موازية لمناظراتها
- أن الدائرة المناظرة لها نفس الشعاع
الخلاصة العامة: ما تعلمناه
التناظر المركزي يحافظ على:
- ✓ المسافات: $A'B' = AB$
- ✓ أقياس الزوايا: $\widehat{B'A'C'} = \widehat{BAC}$
- ✓ الاستقامة: مناظر مستقيم مستقيم موازي
- ✓ المنتصف: مناظر المنتصف منتصف
- ✓ المساحات: نفس المساحة للشكل ومناظره
- ✓ شعاع الدائرة: مناظرة الدائرة لها نفس الشعاع
التعريف النهائي
التناظر المركزي بالنسبة إلى نقطة $O$ هو:
- تحويل هندسي يمكن تصوره كدوران $180°$ حول $O$
- $M'$ مناظرة $M$ $\Leftrightarrow$ $O$ منتصف $[MM']$
- يحافظ على جميع الخصائص المترية والهندسية