تمارين في التناظر المركزي

المدرسة الإعدادية النموذجية بضفاف البحيرة فوزي الغربي
مثلث وشبه منحرف
تمرين 1

ليكن MNP مثلثا و I منتصف [MP].

  1. ابن النقطة E مناظرة N بالنسبة إلى I.
  2. بين أن الرباعي NMEP متوازي أضلاع.
  3. إذا كانت J منتصف [MN] و F مناظرة J بالنسبة إلى I، بين أن M و E و F على استقامة واحدة (ملاحظة: هذا السؤال يتطلب تصحيحا في المعطيات الأصلية ليصبح منطقيا).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لإثبات أن رباعيا هو متوازي أضلاع باستخدام التناظر المركزي، فكر في أقطاره. ماذا يعني أن تكون E مناظرة N بالنسبة إلى I؟

📝 الطريقة

للسؤال 2:

  1. من المعطيات، E هي مناظرة N بالنسبة إلى I. هذا يعني أن I هي منتصف القطعة [NE].
  2. من المعطيات أيضا، I هي منتصف القطعة [MP].
  3. لدينا رباعي (NMEP) قطراه [NE] و [MP] يتقاطعان في نفس المنتصف I.
  4. استنتج طبيعة الرباعي NMEP.

✅ الحل الكامل

بما أن I هي منتصف القطرين [NE] و [MP] للرباعي NMEP، فإن هذا الرباعي هو متوازي أضلاع. كل متوازي أضلاع هو حالة خاصة من شبه المنحرف (لأن له ضلعان متقابلان متوازيان).

بالنسبة للسؤال الثالث، بعد تصحيح المعطيات، عادة ما نستخدم خصائص التناظر المركزي لإثبات الاستقامة، كأن نبين أن نقطة هي صورة أخرى عبر تناظر يحافظ على الاستقامة مع نقطة ثالثة.

شبه منحرف ومستطيل
تمرين 2

ABCD شبه منحرف قائم في A و D، قاعدتاه [AB] و [CD]. لتكن O منتصف [AD].

  1. ابن G مناظرة B بالنسبة لـ O.
  2. بين أن الرباعي ABGD متوازي أضلاع.
  3. بين أن (BG) عمودي على (CD).
  4. المستقيمان (BG) و (CD) يتقاطعان في E. بين أن ABED مستطيل.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم خصائص التناظر المركزي لإيجاد علاقات التوازي. تذكر أن صورة مستقيم بتناظر مركزي هو مستقيم يوازيه.

📝 الطريقة

  1. (2) O منتصف [AD] و O منتصف [BG] (لأن G مناظرة B بالنسبة لـ O). إذن ABGD متوازي أضلاع.
  2. (3) بما أن ABGD متوازي أضلاع، فإن (BG) // (AD). وبما أن شبه المنحرف قائم في D، فإن (AD) ⊥ (CD). استنتج العلاقة بين (BG) و (CD).
  3. (4) لإثبات أن ABED مستطيل, يكفي إثبات أن له ثلاث زوايا قائمة. لديك بالفعل (AD) ⊥ (CD) و (AD) ⊥ (AB). والآن أثبتت أن (BE) ⊥ (DE).

✅ الحل الكامل

بما أن O منتصف القطرين [AD] و [BG]، فإن ABGD متوازي أضلاع، وبالتالي (BG) // (AD). ولأن ABCD شبه منحرف قائم في A و D، فإن (AD) ⊥ (CD) و (AD) ⊥ (AB). من التوازي، نستنتج أن (BG) ⊥ (CD) في E. إذن، الرباعي ABED له ثلاث زوايا قائمة في A و D و E، فهو مستطيل.

متوازي أضلاع واستقامة
تمرين 3

ABCD متوازي أضلاع مركزه O. لتكن I منتصف [BC].

  1. ابن E مناظرة A بالنسبة إلى C.
  2. بين أن (AB) // (EC).
  3. استنتج أن D و C و E على استقامة واحدة.
  4. بين أن C هي منتصف [DE].
  5. ابن I' مناظرة B بالنسبة لـ I. بين أن E و C و I' على استقامة واحدة. (ملاحظة: السؤال الأصلي قد يحتوي على خطأ مطبعي، تم تعديله ليصبح منطقيا).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم خصائص متوازي الأضلاع (الأضلاع المتقابلة متوازية) وخصائص التناظر المركزي (يحافظ على التوازي والمسافات).

📝 الطريقة

  1. (2) E مناظرة A بالنسبة لـ C، إذن C منتصف [AE]. في المثلث ABE، (BC) هو موسط. فكر في مبرهنة المنتصفين.
  2. (3) في متوازي الأضلاع ABCD، لدينا (AB) // (DC). من السؤال السابق (AB) // (EC). مستقيمان مختلفان يوازيان نفس المستقيم يمران بنفس النقطة C. ماذا تستنتج؟
  3. (4) لإثبات أن C منتصف [DE]، يكفي إثبات أن $DC = CE$. لدينا $DC = AB$ (متوازي أضلاع) و $CE=AB$ (من مبرهنة المنتصفين في المثلث ABE).

✅ الحل الكامل

2) بما أن C منتصف [AE] و O منتصف [AC] (خطأ، I منتصف [BC])، في المثلث ABE، المستقيم (IC) يربط منتصفي ضلعين، إذن (IC) // (AB). وبما أن E مناظرة A بالنسبة لـ C، فإن ABCE متوازي أضلاع، إذن (AB) // (EC).

3) لدينا (DC) // (AB) و (EC) // (AB). وبما أن C نقطة مشتركة، فإن النقاط D و C و E على استقامة واحدة.

4) لدينا $DC=AB$ و $EC=AB$. إذن $DC=EC$ والنقاط على استقامة واحدة، وبالتالي C منتصف [DE].

شبه منحرف وحسابات
تمرين 4

ارسم شبه منحرف ABCD قاعدتاه [AB] و [CD]، قائم في A و D بحيث $AB=3$, $AD=2$ و $CD=4$. لتكن I منتصف [BC].

  1. ابن E و F مناظرتي A و D على التوالي بالنسبة لـ I.
  2. بين أن C و D و E على استقامة واحدة.
  3. أحسب DE.
  4. بين أن A و B و F على استقامة واحدة.
  5. أحسب BF.
  6. بين أن ADEF مستطيل.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم الرباعي ABEC والرباعي ADBC. ما طبيعتهما؟ التناظر المركزي يحافظ على البعد والتوازي.

📝 الطريقة

  1. بما أن E مناظرة A بالنسبة لـ I، و I منتصف [BC]، فإن الرباعي ABEC متوازي أضلاع. إذن (CE) // (AB).
  2. لدينا (CD) // (AB) (قاعدتا شبه المنحرف). بما أن (CE) // (AB) و (CD) // (AB) والنقطة C مشتركة، فإن C و D و E على استقامة واحدة.
  3. $DE = DC + CE$. بما أن ABEC متوازي أضلاع، فإن $CE = AB = 3$. إذن $DE = 4 + 3 = 7$.
  4. بما أن F مناظرة D بالنسبة لـ I، و I منتصف [BC]، فإن DCFB متوازي أضلاع. إذن (BF) // (CD). وبما أن (AB) // (CD)، نستنتج أن A, B, F على استقامة واحدة.

✅ الحل الكامل

2) C, D, E على استقامة واحدة لأن (CE) و (CD) يوازيان (AB) ويمران بـ C.

3) $DE = DC + CE = 4 + AB = 4 + 3 = 7$.

4) A, B, F على استقامة واحدة لأن (AB) و (BF) يوازيان (CD) ويمران بـ B.

5) DCFB متوازي أضلاع، إذن $BF = CD = 4$.

6) في متوازي الأضلاع ADFC، لدينا (AD) // (CF). الرباعي ADEF له (AD) // (EF) و (AF) // (DE) وهو متوازي أضلاع. وبما أن (AD) ⊥ (DE)، فهو مستطيل.

مثلث متقايس الضلعين وزاوية
تمرين 5

ارسم مثلثا ABC متقايس الضلعين قمته الرئيسية A و $\angle ABC = 40^{\circ}$.

  1. ابن النقطة I منتصف [BC] ثم ابن النقطة E مناظرة A بالنسبة لـ I.
  2. ما هي صورة الزاوية $\angle ABC$ بالتناظر المركزي الذي مركزه I؟
  3. استنتج أن (CB] هو منصف الزاوية $\angle ACE$. أوجد قيس $\angle ACE$.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

التناظر المركزي يحافظ على أقيسة الزوايا. حدد صورة كل نقطة من نقاط الزاوية $\angle ABC$ بالتناظر الذي مركزه I.

📝 الطريقة

  1. صورة B هي C (لأن I منتصف [BC]).
  2. صورة A هي E (معطى).
  3. صورة B تبقى B (خطأ، صورة C هي B). صورة المستقيم (BC) هي نفسها.
  4. صورة الزاوية $\angle ABC$ هي الزاوية $\angle ECB$.
  5. بما أن التناظر يحافظ على الأقيسة، فإن $\angle ECB = \angle ABC = 40^{\circ}$.
  6. في المثلث المتقايس الضلعين ABC، لدينا $\angle ACB = \angle ABC = 40^{\circ}$.
  7. إذن (CB] منصف $\angle ACE$ لأن $\angle ACB = \angle BCE = 40^{\circ}$. وقيس $\angle ACE = 40^{\circ} + 40^{\circ} = 80^{\circ}$.

✅ الحل الكامل

صورة الزاوية $\angle ABC$ بالتناظر المركزي I هي الزاوية $\angle ECB$. وبما أن التناظر يحافظ على أقيسة الزوايا، فإن $\angle ECB = \angle ABC = 40^{\circ}$.

في المثلث ABC المتقايس الضلعين، $\angle ACB = \angle ABC = 40^{\circ}$.

نلاحظ أن $\angle ACB = \angle ECB = 40^{\circ}$، إذن نصف المستقيم [CB) هو منصف الزاوية $\angle ACE$.

قيس الزاوية $\angle ACE = \angle ACB + \angle ECB = 40^{\circ} + 40^{\circ} = 80^{\circ}$.

زوايا ومتوازي أضلاع
تمرين 6

ليكن مثلثا ABC بحيث $\angle ABC=50^\circ$, $\angle BAC=70^\circ$, $AB=5$cm.

  1. ارسم I منتصف [AB] ثم ابن D مناظرة C بالنسبة لـ I.
  2. بين أن (AD)//(BC) واستنتج أن ADBC متوازي أضلاع.
  3. ما هو مناظر كل من $\angle BAC$, $\angle ACB$, $\angle ABC$ بالنسبة لـ I؟
  4. استنتج أن $\angle ACB + \angle DAC = 180^\circ$.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

الرباعي الذي قطراه يتقاطعان في منتصفهما هو متوازي أضلاع. التناظر المركزي يحول زاوية إلى زاوية مقايسة لها.

📝 الطريقة

  1. (2) الرباعي ACBD له قطران [AB] و [CD] يتقاطعان في منتصفهما I. إذن هو متوازي أضلاع. ومن خصائص متوازي الأضلاع أن (AD) // (BC).
  2. (3) مناظرة A هي B، مناظرة B هي A، مناظرة C هي D. إذن:
    • مناظرة $\angle BAC$ هي $\angle ABD$.
    • مناظرة $\angle ACB$ هي $\angle BDA$.
    • مناظرة $\angle ABC$ هي $\angle BAD$.
  3. (4) في متوازي الأضلاع، الزاويتان المتتاليتان متكاملتان. إذن $\angle BCD + \angle ADC = 180^\circ$. وبما أن $\angle BCD = \angle BCA$، فإن... (هناك خطأ في الاستنتاج المطلوب). الاستنتاج الصحيح هو أن الزوايا المتقابلة متساوية والمتبادلة داخليا متساوية.

✅ الحل الكامل

2) بما أن I منتصف [AB] و [CD]، فإن ACBD متوازي أضلاع، وبالتالي (AD) // (BC).

3) مناظرة $\angle BAC$ هي $\angle ABD$. مناظرة $\angle ACB$ هي $\angle BDA$. مناظرة $\angle ABC$ هي $\angle BAD$.

4) بما أن (AD)//(BC) والقاطع (AC)، فإن الزاويتين $\angle DAC$ و $\angle ACB$ متبادلتان داخليا ومتساويتان. الاستنتاج $\angle ACB + \angle DAC = 180^\circ$ غير صحيح في الحالة العامة، إلا إذا كان الرباعي معينا. الصحيح أن $\angle DAB + \angle ABC = 180^\circ$.

مثلث، موسطات ودوائر
تمرين 7

ABC مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية A و $\Delta$ الموسط العمودي لـ [BC].

  1. بين أن A تنتمي إلى $\Delta$.
  2. لتكن M منتصف [AB]. ابن M' مناظرة C بالنسبة لـ M. بين أن ABMC' متوازي أضلاع. (تم تعديل السؤال ليصبح منطقيا).
  3. ابن B' مناظرة B بالنسبة لـ M ثم بين أن (B'C)//(AB) (سؤال مكرر).
  4. المستقيم (CM) يقطع (AB) في C'. بين أن M هي منتصف [CC']. (ملاحظة: المستقيم يمر ب M و C ويقطع مستقيم يمر ب M، هذا غير ممكن إلا إذا كانت C على (AB)).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

الموسط العمودي لقطعة مستقيم هو مجموعة النقاط المتساوية البعد عن طرفي القطعة. استخدم هذه الخاصية للسؤال الأول.

📝 الطريقة

  1. (1) المثلث ABC متقايس الضلعين في A، إذن $AB = AC$. كل نقطة متساوية البعد عن B و C تنتمي للموسط العمودي لـ [BC]. إذن A تنتمي إلى $\Delta$.
  2. (2) M منتصف [AB] و M منتصف [CM']. إذن الرباعي ACBC' متوازي أضلاع.
ملاحظة: العديد من الأسئلة في هذا التمرين تحتوي على تناقضات أو أخطاء مطبعية. تم تقديم الحلول بناءً على التفسير الأكثر منطقية.

✅ الحل الكامل

1) بما أن $AB=AC$ فإن النقطة A تنتمي للموسط العمودي لـ [BC].

2) بتعديل السؤال، إذا كانت M' مناظرة C بالنسبة ل M (منتصف [AB])، فإن الرباعي ACBC' يكون متوازي أضلاع لأن قطريه [AB] و [CM'] يتقاطعان في منتصفهما M.

8) إذا كانت (C) دائرة مركزها B وتمر من A، و(C') دائرة مركزها C وتمر من A، فإن الدائرتين ليستا متناظرتين بالنسبة لـ A بشكل عام. لكن إذا كان ABC مثلث متقايس الأضلاع، قد تتغير المعطيات.

دوائر متناظرة
تمرين 8

ارسم دائرة (C) مركزها O وشعاعها $R=2$cm. عين عليها نقطة I بحيث $OI=1.5$cm.

  1. ابن الدائرة (C') مناظرة الدائرة (C) بالنسبة لـ I. ما هو مركزها O' وشعاعها R'؟
  2. ما هي الوضعية النسبية للدائرتين (C) و (C')؟ برر جوابك.
  3. لتكن A و B نقطتي تقاطع الدائرتين. بين أن A و B متناظرتان بالنسبة للمستقيم (OO').
  4. بين أن (O'B) // (OA).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

صورة دائرة بتناظر مركزي هي دائرة لها نفس الشعاع. مركز الصورة هو مناظر المركز الأصلي. لدراسة الوضعية النسبية، قارن البعد بين المركزين بمجموع أو فرق الشعاعين.

📝 الطريقة

  1. (1) مركز الدائرة (C') هو O' مناظر O بالنسبة لـ I. هذا يعني I منتصف [OO']. شعاع (C') هو نفس شعاع (C)، أي $R'=2$cm.
  2. (2) البعد بين المركزين $OO' = 2 \times OI = 2 \times 1.5 = 3$cm. مجموع الشعاعين $R+R' = 2+2 = 4$cm. فرق الشعاعين $R-R' = 0$. بما أن $|R-R'| < OO' < R+R'$ (أي $0 < 3 < 4$)، فإن الدائرتين متقاطعتان في نقطتين.
  3. (3) في الدائرة (C)، $OA=OB=R$. في الدائرة (C')، $O'A=O'B=R'$. إذن O و O' تنتميان للموسط العمودي لـ [AB]، وهو المستقيم (OO'). إذن A و B متناظرتان محوريا بالنسبة لـ (OO').
  4. (4) الرباعي OAO'B هو معين لأن أضلاعه الأربعة تساوي R=2cm. إذن (O'B) // (OA).

✅ الحل الكامل

1) (C') مركزها O' مناظر O بالنسبة لـ I، وشعاعها $R'=R=2$cm.

2) البعد بين المركزين $OO' = 3$cm. مجموع الشعاعين $R+R'=4$cm. بما أن $OO' < R+R'$، فالدائرتان متقاطعتان.

3) المستقيم الذي يربط مركزي دائرتين متقاطعتين هو الموسط العمودي لوترهما المشترك. إذن (OO') هو الموسط العمودي لـ [AB].

4) الرباعي OAO'B هو معين لأن كل أضلاعه تساوي الشعاع R=2cm. في المعين، الأضلاع المتقابلة متوازية. إذن (O'B) // (OA).

دوائر خارجية وموسطات
تمرين 9

(C) و (C') دائرتان خارجيتان مركزاهما على التوالي A و B ولهما نفس الشعاع 2cm.

  1. ابن I بحيث تكون الدائرة (C) مناظرة الدائرة (C') بالنسبة لـ I.
  2. [AB] يقطع (C) في E و (C') في F. بين أن E و F متناظرتان بالنسبة لـ I.
  3. لتكن O منتصف [AE] و O' منتصف [BF]. بين أن O و O' متناظرتان بالنسبة لـ I.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

إذا كانت دائرة هي صورة أخرى بتناظر مركزي، فإن مركز التناظر هو منتصف القطعة التي تربط بين مركزي الدائرتين.

📝 الطريقة

  1. (1) بما أن (C) مناظرة (C') بالنسبة لـ I، فإن A مناظر B بالنسبة لـ I. إذن I هي منتصف [AB].
  2. (2) صورة المستقيم (AB) بنفسه لأن I تنتمي إليه. صورة A هي B. صورة E هي نقطة من (AB) تبعد عن B نفس البعد التي تبعدها E عن A. هذه النقطة هي F. إذن F مناظرة E بالنسبة لـ I.
  3. (3) بما أن O منتصف [AE] و F مناظرة E و B مناظرة A، فإن صورة القطعة [AE] هي [BF]. والتناظر المركزي يحافظ على المنتصفات، إذن صورة O (منتصف [AE]) هي O' (منتصف [BF]). إذن O و O' متناظرتان بالنسبة لـ I.

✅ الحل الكامل

1) I هي منتصف [AB].

2) صورة A هي B، وصورة المستقيم (AB) هي نفسها. النقطة E تنتمي لـ(C)، صورتها F ستنتمي لـ(C'). وبما أن التناظر يحافظ على الاستقامة، F تنتمي لـ(AB). وبما أن التناظر يحافظ على البعد من المركز، فإن F مناظرة E.

3) صورة القطعة [AE] هي [BF]. وبما أن التناظر المركزي يحافظ على المنتصفات، فإن صورة O (منتصف [AE]) هي O' (منتصف [BF]).

مثلث متقايس الساقين
تمرين 10

ليكن مستقيم $\Delta$ ونقطة B لا تنتمي إليه. لتكن A نقطة من $\Delta$.

  1. ابن النقطة C مناظرة B بالنسبة لـ A.
  2. ما هو نوع المثلث ABC؟
  3. عين النقطة I منتصف [AB] ثم ابن I' مناظرة I بالنسبة إلى A. بين أن I' هي منتصف [AC].
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

C مناظرة B بالنسبة لـ A يعني أن A هي منتصف [BC]. ما اسم المستقيم (AB) في المثلث ABC؟

📝 الطريقة

  1. (2) بما أن A منتصف [BC]، فإن المستقيم (AA') حيث A' نقطة من $\Delta$ هو موسط في المثلث BCC'. وفي المثلث ABC، المستقيم (AB) ليس موسطا. لكن بما أن C مناظرة B بالنسبة لـ A، فإن $AB = AC$. المثلث الذي له ضلعان متساويان هو مثلث متقايس الساقين.
  2. (3) في المثلث ABC، صورة I منتصف [AB] بالتناظر الذي مركزه A هي I' بحيث تكون A منتصف [II']. وفي نفس الوقت، صورة B هي C. إذن صورة القطعة [AB] هي [AC] (ليس صحيحا). الطريقة الأبسط: في المثلث ABC، لدينا I منتصف [AB]. صورة I بالتناظر المركزي A هي I' بحيث $AI=AI'$ و I, A, I' على استقامة. وفي نفس التناظر، صورة B هي C. إذن صورة الموسط (CI) هي (BI').

✅ الحل الكامل

2) بما أن A هي منتصف [BC]، فإن $AB = AC$. إذن المثلث ABC متقايس الساقين في A.

3) الرباعي ICBI' هو متوازي أضلاع لأن قطريه يتقاطعان في منتصفهما A. إذن (I'C) // (IB). وبما أن I منتصف [AB]، فإن (I'C) يمر من منتصف [AC]. إذن I' منتصف [AC].