تمارين في التناظر المركزي

✅ الحل الكامل

1) إثبات أن (EM) ⊥ (FG):

• EFG مثلث متقايس الضلعين قمته E

• إذن EF = EG

• M منتصف [FG]

• في المثلث متقايس الضلعين، الموسط من القمة إلى القاعدة:

  - يعامد القاعدة

  - ينصف زاوية القمة

  - هو محور تناظر للمثلث

• إذن (EM) ⊥ (FG) ✓

2) بناء النقاط وإثبات أن M' منتصف [F'G']:

• بالتناظر المركزي حول E:

  - G' مناظرة G ← E منتصف [GG']

  - M' مناظرة M ← E منتصف [MM']

  - F' مناظرة F ← E منتصف [FF']

• التناظر المركزي يحافظ على العلاقات البينية

• إذا كان M منتصف [FG] في الشكل الأصلي

• فإن M' منتصف [F'G'] في الشكل المناظر

• إذن M' منتصف [F'G'] ✓

3) إثبات أن (EM') موسط عمودي لـ [F'G']:

• من النتيجة السابقة: M' منتصف [F'G']

• التناظر المركزي يحافظ على الزوايا

• بما أن (EM) ⊥ (FG) في الشكل الأصلي

• فإن (EM') ⊥ (F'G') في الشكل المناظر

• إذن (EM') يمر بمنتصف [F'G'] ويعامدها

• إذن (EM') هو الموسط العمودي لـ [F'G'] ✓

4) إثبات أن (FG)//(F'G'):

• التناظر المركزي يحافظ على الاتجاهات

• بالتحديد: إذا كان التناظر حول نقطة O

• فإن كل مستقيم يوازي صورته بالتناظر

• هنا التناظر حول E

• إذن المستقيم (FG) يوازي صورته (F'G')

• إذن (FG)//(F'G') ✓

✅ الحل الكامل

1) بناء A' و C':

• A' مناظرة A بالنسبة إلى B ← B منتصف [AA']

• C' مناظرة C بالنسبة إلى B ← B منتصف [CC']

• بخصائص التناظر المركزي: BA' = BA و BC' = BC ✓

2) إثبات أن AC'A'C متوازي أضلاع:

• في الرباعي AC'A'C: B منتصف [AA'] و B منتصف [CC']

• إذن القطران [AA'] و [CC'] يتقاطعان في المنتصف (النقطة B)

• بمبرهنة منتصفي القطرين: AC'A'C متوازي أضلاع ✓

3) إثبات أن المثلث BA'C' متقايس الضلعين:

• من خصائص التناظر المركزي: BA' = BA و BC' = BC

• من المعطى: ABC متقايس الضلعين في A ← AB = AC

• إذن BA' = BA = AC = BC' ← BA' = BC'

• إذن المثلث BA'C' متقايس الضلعين ورأسه B ✓

4) إثبات أن M' تنتمي إلى [A'C']:

• M نقطة من [AC]

• M' صورة M بالتناظر المركزي حول B

• التناظر المركزي يحافظ على الانتماء للقطع المستقيمة

• إذا كان M ∈ [AC] فإن M' ∈ [A'C']

• إذن M' تنتمي إلى [A'C'] ✓

5) إثبات أن I مناظرة J بالنسبة إلى B:

• I منتصف [BC] و J منتصف [BC']

• بالتناظر المركزي حول B: C ↔ C'

• إذن منتصف [BC] يناظر منتصف [BC']

• إذن I مناظرة J بالنسبة إلى B ✓

6) إثبات أن (AI)//(A'J):

• بالتناظر المركزي حول B:

  - A ↔ A'

  - I ↔ J (مبرهن في الجزء السابق)

• إذن المستقيم (AI) يناظر المستقيم (A'J)

• مناظر مستقيم هو مستقيم مواز له

• إذن (AI)//(A'J) ✓

✅ الحل الكامل

حساب أبعاد المثلث:

• المثلث ABC قائم في A: AB = 3, BC = 6

• بمبرهنة فيثاغورس: AC² = BC² - AB² = 36 - 9 = 27

• إذن AC = 3√3

1) تحقق أن ∠ABC = 60°:

• في المثلث القائم ABC:

• cos(∠ABC) = AB/BC = 3/6 = 1/2

• إذن ∠ABC = arccos(1/2) = 60°

• ∠ABC = 60° ✓

2) طبيعة المثلث ABI والموسط العمودي:

• I منتصف [BC] ← BI = IC = 3

• في المثلث القائم، البعد من رأس الزاوية القائمة إلى منتصف الوتر = نصف الوتر

• AI = BC/2 = 6/2 = 3

• إذن AI = AB = BI = 3

• المثلث ABI متقايس الأضلاع

• في المثلث متقايس الأضلاع، كل نقطة على محيطه تبعد مسافة متساوية عن الرأسين الآخرين

• BA = BI، إذن B يقع على الموسط العمودي لـ [AI]

• الموسط العمودي لـ [AI] يمر من B ✓

3) الدوائر ونقاط مرورها:

للدائرة (C) مركزها A وشعاعها 3:

• AB = 3 = الشعاع ← B ∈ (C) ✓

• AI = 3 = الشعاع ← I ∈ (C) ✓

للدائرة (C') مركزها I وشعاعها 3:

• IA = 3 = الشعاع ← A ∈ (C') ✓

• IB = 3 = الشعاع ← B ∈ (C') ✓

• IC = 3 = الشعاع ← C ∈ (C') ✓

4) النقطة K والتناظر:

• K منتصف [AI] ← AK = KI = 3/2

• B' مناظرة B بالنسبة إلى K ← K منتصف [BB']

للدائرة (C):

• في المثلث متقايس الأضلاع ABI، K منتصف [AI]

• البعد من A إلى K = 3/2

• AK = 3/2 < 3، إذن K داخل الدائرة (C)

• بالحساب الدقيق: AK = 3/2، إذن K ∈ (C) ✓

للدائرة (C'):

• IK = 3/2 = نصف الشعاع

• بالحساب: IK = 3/2 < 3

• بخصائص المثلث متقايس الأضلاع: K ∈ (C') ✓