تمارين في التناظر المركزي

✅ الحل الكامل

حساب أبعاد المثلث EFG:

• في المثلث القائم EFG: ∠FEG = 90°, ∠EFG = 60°, ∠EGF = 30°

• EF = 3 (معطى)

• EG = EF × tan(60°) = 3 × √3 = 3√3

• FG = EF / cos(60°) = 3 / (1/2) = 6

1) إثبات أن (EG) موسط عمودي لـ [FH]:

• H صورة F بالتناظر المركزي حول E

• إذن E منتصف [FH] و EF = EH = 3

• F و H على جانبي E، إذن FH = EF + EH = 6

• في المثلث EFG: EF = 3, EG = 3√3

• في المثلث EHG: EH = 3, EG = 3√3, ∠HEG = 90°

• إذن المثلثان EFG و EHG متطابقان

• بالتالي GF = GH = 6

• وبما أن E منتصف [FH] و GF = GH

• إذن (EG) هو الموسط العمودي لـ [FH] ✓

2) إثبات أن ∠EHG = 60°:

• في المثلث EHG: EH = 3, EG = 3√3, ∠HEG = 90°

• tan(∠EHG) = EG/EH = 3√3/3 = √3

• إذن ∠EHG = arctan(√3) = 60°

• ∠EHG = 60° ✓

3) إثبات أن المثلث FGH متقايس الأضلاع:

• FG = 6 (محسوب سابقاً)

• GH = 6 (مبرهن أن GF = GH)

• FH = 6 (مجموع EF + EH = 3 + 3 = 6)

• إذن FG = GH = FH = 6

• المثلث FGH متقايس الأضلاع وطول كل ضلع = 6 ✓

✅ الحل الكامل

1) بناء A' و C':

• A' مناظرة A بالنسبة إلى B ← B منتصف [AA']

• C' مناظرة C بالنسبة إلى B ← B منتصف [CC']

• بخصائص التناظر المركزي: BA' = BA و BC' = BC

• وبما أن ABC متقايس الأضلاع: AB = BC = CA

• إذن BA' = BC' = AB = BC ✓

2) إثبات أن المثلث A'BC' متقايس الأضلاع:

• من النتيجة السابقة: BA' = BC'

• لحساب A'C': نستخدم أن A', B, C' تشكل مثلث

• بالتناظر المركزي حول B: الزاوية ∠ABC = 60° تبقى محفوظة

• ∠A'BC' = ∠ABC = 60° (التناظر يحافظ على الزوايا)

• في المثلث A'BC': BA' = BC' و ∠A'BC' = 60°

• إذن المثلث A'BC' متقايس الضلعين بزاوية رأس 60°

• إذن المثلث A'BC' متقايس الأضلاع ✓

3) إثبات (A'C')//(AC):

• B منتصف [AA'] و B منتصف [CC']

• في الرباعي ACA'C': B منتصف القطرين [AA'] و [CC']

• بمبرهنة منتصفي القطرين في رباعي: الرباعي متوازي أضلاع

• إذن (A'C')//(AC) ✓

4) إثبات أن AC'A'C متوازي أضلاع:

• من النتيجة السابقة: الرباعي ACA'C' له قطران يتقاطعان في المنتصف (النقطة B)

• إذن AC'A'C متوازي أضلاع ✓

تحقق إضافي:

• (AC)//(A'C') ✓ (مبرهن)

• (AC')//(A'C) ✓ (لأن B منتصف كل من [AC'] و [A'C])

• إذن الأضلاع المتقابلة متوازية

✅ الحل الكامل

1) إثبات أن (EM) ⊥ (FG):

• EFG مثلث متقايس الضلعين قمته E

• إذن EF = EG

• M منتصف [FG]

• في المثلث متقايس الضلعين، الموسط من القمة إلى القاعدة:

  - يعامد القاعدة

  - ينصف زاوية القمة

  - هو محور تناظر للمثلث

• إذن (EM) ⊥ (FG) ✓

2) بناء النقاط وإثبات أن M' منتصف [F'G']:

• بالتناظر المركزي حول E:

  - G' مناظرة G ← E منتصف [GG']

  - M' مناظرة M ← E منتصف [MM']

  - F' مناظرة F ← E منتصف [FF']

• التناظر المركزي يحافظ على العلاقات البينية

• إذا كان M منتصف [FG] في الشكل الأصلي

• فإن M' منتصف [F'G'] في الشكل المناظر

• إذن M' منتصف [F'G'] ✓

3) إثبات أن (EM') موسط عمودي لـ [F'G']:

• من النتيجة السابقة: M' منتصف [F'G']

• التناظر المركزي يحافظ على الزوايا

• بما أن (EM) ⊥ (FG) في الشكل الأصلي

• فإن (EM') ⊥ (F'G') في الشكل المناظر

• إذن (EM') يمر بمنتصف [F'G'] ويعامدها

• إذن (EM') هو الموسط العمودي لـ [F'G'] ✓

4) إثبات أن (FG)//(F'G'):

• التناظر المركزي يحافظ على الاتجاهات

• بالتحديد: إذا كان التناظر حول نقطة O

• فإن كل مستقيم يوازي صورته بالتناظر

• هنا التناظر حول E

• إذن المستقيم (FG) يوازي صورته (F'G')

• إذن (FG)//(F'G') ✓