المثلث ADI قائم الزاوية في I وحيث $DI=10 \text{ cm}$ و C نقطة من [DI] بحيث $CI=4 \text{ cm}$.
- انقل المعطيات على ورقتك ثم انجز الرسم.
-
ابن النقطة E بحيث ADEI متوازي الأضلاع؛ لتكن O منتصف [EI].
- حدد مناظر المستقيم (DE) بالنسبة إلى O مع تعليل الجواب.
- ابن النقطة B مناظرة D بالنسبة إلى O. بين أن $B \in (AI)$.
- بين ان المثلث ABC متقايس الضلعين.
💡 مؤشر
لحل هذا التمرين، تذكر خصائص التناظر المركزي ومتوازي الأضلاع.
- كيف يؤثر التناظر المركزي على المستقيمات والمسافات؟
- ما هي العلاقة بين الأضلاع المتقابلة في متوازي الأضلاع؟
انتبه: يوجد تناقض في معطيات التمرين الأصلية، مما يجعل بعض البراهين مستحيلة. الحل سيركز على ما يمكن إثباته بشكل منطقي.
📝 الطريقة
- لتحديد مناظر (DE): استخدم حقيقة أن صورة مستقيم بتناظر مركزي هو مستقيم يوازيه. ابحث عن صورة نقطة من (DE) (مثل E).
- لإثبات أن B تنتمي لـ (AI): استخدم نتيجة السؤال السابق. إذا كانت B هي مناظرة D، فإنها تنتمي لمناظر المستقيم (DE).
- لإيجاد BI: استخدم خاصية حفظ البعد للتناظر المركزي.
✅ الحل الكامل
2. أ) مناظر (DE) بالنسبة إلى O:
صورة مستقيم بتناظر مركزي هو مستقيم يوازيه. مناظر (DE) بالنسبة لـ O هو مستقيم يمر من مناظرة E (وهي I لأن O منتصف [EI]) وموازٍ لـ (DE).
بما أن ADEI متوازي أضلاع، فإن $(DE) \parallel (AI)$.
إذن، مناظر (DE) هو المستقيم المار من I والموازي لـ (AI)، وهو المستقيم (AI) نفسه.
2. ب) إثبات أن $B \in (AI)$:
بما أن B هي مناظرة D بالنسبة إلى O، والنقطة D تنتمي للمستقيم (DE)، فإن مناظرتها B يجب أن تنتمي لمناظر المستقيم (DE)، الذي هو (AI). إذن، $B \in (AI)$.
3) طبيعة المثلث ABC:
بما أن B مناظرة D بالنسبة لـ O و I مناظرة E بالنسبة لـ O، فإن التناظر المركزي يحافظ على البعد: $DI = BI$.
لدينا $DI = IA$، إذن $BI = DE$.
إذن $IB = IA $
و بما أن A و I و B على استقامة واحدة فإن$I$ هي منتصف [AB] و بالتالي (AD) هو الموسط العمودي لـ [AB]
و منه $DA = DB$ أي أن المثلث $ABD$ متقايس الضلعين
1) أرسم مثلثا ABC بحيث $BC=5 \text{ cm}$ و $\angle ABC=50^\circ$ و I منتصف [AB].
- ابن D مناظرة C بالنسبة إلى I.
- بين أن $AD=5 \text{ cm}$ وأن $(BC)\parallel(AD)$.
- بين أن $\angle BÂD = 50^\circ$.
💡 مؤشر
فكر في طبيعة الرباعي ACBD. ماذا يمكنك أن تستنتج عندما يتقاطع قطراه في منتصفهما؟
📝 الطريقة
- أثبت أن الرباعي ACBD هو متوازي أضلاع.
- استخدم خصائص متوازي الأضلاع (تساوي الأضلاع المتقابلة وتوازيها) لإثبات المطلوب في السؤال (ب).
- استخدم علاقة الزوايا بين مستقيمين متوازيين وقاطع لهما لحساب الزاوية $\angle BÂD$.
✅ الحل الكامل
أ. و ب. بما أن D مناظرة C بالنسبة لـ I و I منتصف [AB]، فإن قطري الرباعي ACBD يتقاطعان في منتصفهما I. إذن ACBD متوازي أضلاع.
وعليه، فإن أضلاعه المتقابلة متوازية ومتقايسة: $(AD) \parallel (BC)$ و $AD = BC = 5 \text{ cm}$.
ج. بما أن $(AD) \parallel (BC)$ والمستقيم (AB) قاطع لهما، فإن الزاويتين $\angle BÂD$ و $\angle ABC$ متكاملتان (مجموعهما $180^\circ$).
إذن $\angle BÂD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$.
السؤال الأصلي الذي يطلب إثبات أن $\angle BÂD = 50^\circ$ غير صحيح. القيمة الصحيحة هي $130^\circ$.
2) ابن E و F مناظرتي B و C بالنسبة إلى A.
3) بين أن $EF=AD$ وأن $(EF)\parallel(AD)$.
4) بين أن $\angle DÂB = \angle FÊA$.
💡 مؤشر
مناظر مستقيم بتناظر مركزي هو مستقيم مواز له
📝 الطريقة
- (EF) و (BC) متناظران بالنسبة إلى A ‘ذن (EF)//(BC) و EF=BC
- بما أن (BC)//(AD) و BC=AD فإن EF=AD و (EF)//(AD)
✅ الحل الكامل
5) لتكن الدائرة $\zeta(C, 2)$ والدائرة $\zeta'(D, 2)$. [BC] يقطع $\zeta$ في P و [AD] يقطع $\zeta'$ في Q. $\Delta$ المماس لـ $\zeta$ في P و $\Delta'$ المماس لـ $\zeta'$ في Q. بين ان $\Delta$ و $\Delta'$ متناظران بالنسبة إلى I.
💡 مؤشر
التناظر المركزي يحافظ على طبيعة الأشكال الهندسية. ما هي صورة دائرة؟ ما هي صورة مستقيم؟ ما هي صورة نقطة تقاطع؟ وما هي صورة مماس؟
📝 الطريقة
- أوجد صورة الدائرة $\zeta$ بالتناظر المركزي I.
- أوجد صورة المستقيم (BC) بالتناظر المركزي I.
- استنتج صورة نقطة التقاطع P (هي تقاطع صورة الدائرة وصورة المستقيم).
- استنتج أن صورة المماس $\Delta$ في النقطة P هي المماس في صورة النقطة P (أي Q) لصورة الدائرة (أي $\zeta'$).
✅ الحل الكامل
لدينا I هو مركز تناظر يحول C إلى D، إذن صورة الدائرة $\zeta(C, 2)$ هي الدائرة $\zeta'(D, 2)$.
ولدينا صورة المستقيم (BC) هي المستقيم (AD).
النقطة P تنتمي لـ $\zeta$ و (BC). إذن صورتها $S_I(P)$ تنتمي لصورة $\zeta$ (وهي $\zeta'$) ولصورة (BC) (وهي (AD)). إذن صورة P هي نقطة تقاطع $\zeta'$ و (AD)، وهي النقطة Q. أي $S_I(P) = Q$.
صورة المماس $\Delta$ للدائرة $\zeta$ في P هي المماس لصورة الدائرة ($\zeta'$) في صورة النقطة (Q).
إذن صورة $\Delta$ هي $\Delta'$. وبالتالي $\Delta$ و $\Delta'$ متناظران بالنسبة إلى I.
1) أرسم مثلث OEF قائم الزاوية في O وليكن [OH] ارتفاعه الصادر من O. لتكن الدائرة ($\zeta$) ذات المركز O والمارة من H. بين أن (EF) مماس للدائرة ($\zeta$).
2) أرسم القطر [HK]. ثم ابن المستقيم $\Delta$ المار من K والموازي لـ (EF). برهن أن $\Delta$ هو مناظر المستقيم (EF) بالنسبة إلى O.
💡 مؤشر
للجزء الأول: ما هو الشرط الهندسي ليكون مستقيم مماسًا لدائرة في نقطة؟ (فكر في العلاقة بين المستقيم والشعاع في تلك النقطة).
للجزء الثاني: ما هي صورة مستقيم بتناظر مركزي؟ وكيف يمكن تحديدها بمعرفة صورة نقطة واحدة فقط من المستقيم الأصلي؟
📝 الطريقة
- لإثبات أن (EF) مماس:
- حدد شعاع الدائرة ($\zeta$).
- استخدم تعريف الارتفاع [OH] لإثبات أن (EF) عمودي على شعاع الدائرة في النقطة H.
- استنتج أن (EF) مماس.
- لإثبات أن $\Delta$ هو مناظر (EF):
- أوجد صورة النقطة H بالتناظر المركزي O.
- استنتج أن صورة (EF) هو مستقيم يمر من صورة H و يوازي (EF).
- قارن هذا التعريف بتعريف المستقيم $\Delta$.
✅ الحل الكامل
1. الدائرة ($\zeta$) مركزها O وتمر من H، إذن شعاعها هو $r = OH$.
بما أن [OH] ارتفاع، فإن $(OH) \perp (EF)$.
المستقيم (EF) عمودي على شعاع الدائرة [OH] في نقطة تنتمي للدائرة (هي H). إذن، (EF) مماس للدائرة ($\zeta$) في النقطة H.
2. صورة المستقيم (EF) بالتناظر المركزي O هي مستقيم يمر من صورة أي نقطة من (EF) ويكون موازياً لـ (EF).
لنأخذ النقطة H على (EF). بما أن [HK] قطر، فإن O منتصف [HK]. إذن صورة H بالتناظر المركزي O هي K.
إذن، صورة المستقيم (EF) هي مستقيم يمر من K ومواز لـ (EF).
وهذا هو تعريف المستقيم $\Delta$ المعطى في نص التمرين. إذن، $\Delta$ هو مناظر المستقيم (EF) بالنسبة إلى O.