التمرين 15، 16 و 17 - التناظر المركزي والمثلثات

المدرسة الإعدادية النموذجية بضفاف البحيرة الأستاذ: فوزي الغربي
المثلث والتناظر المركزي
التمرين 15

ليكن $ABC$ مثلثا بحيث $AB = 6cm$، $BC = 5cm$، $AC = 4cm$

  1. ارسم $D$ و $E$ مناظرتي $A$ و $C$ على التوالي بالنسبة إلى $B$. بين أن $DE = 4cm$
  2. بين أن $(AE) \parallel (CD)$
  3. لتكن $M$ نقطة من $(AE)$ حيث يقطع $(CD)$ في $N$. بين أن $B$ هي منتصف $[MN]$
  4. ارسم الارتفاع $[AH]$ للمثلث $ABC$ والارتفاع $[DK]$ للمثلث $BED$
    1. بين أن $(AH) \parallel (DK)$
    2. بين أن $(AH)$ و $(DK)$ مناظرتان بالنسبة إلى $B$
    3. استنتج أن $H$ مناظرة $K$ بالنسبة إلى $B$
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

خصائص أساسية للتناظر المركزي:

  • التناظر المركزي يحافظ على البعد
  • صورة مستقيم بالتناظر المركزي هي مستقيم موازي له
  • إذا كان مستقيمان متوازيين، فكل مستقيم عمودي على أحدهما عمودي على الآخر
استخدم هذه الخصائص الصحيحة للتناظر المركزي في البرهان

📝 الطريقة

  1. السؤال 1: استخدم خاصية حفظ البعد في التناظر المركزي
  2. السؤال 2: استخدم خاصية أن صورة المستقيم مستقيم موازي له
  3. السؤال 3: طبق خصائص التناظر المركزي على نقط التقاطع
  4. السؤال 4: استخدم خاصية التوازي والعمودية

✅ الحل الكامل

السؤال 1:

$D$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $B$ و $E$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $B$

خاصية: التناظر المركزي يحافظ على البعد

$DE = AC = 4cm$
السؤال 2:

بما أن $D$ مناظرة $A$ و $E$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $B$:

خاصية: صورة مستقيم بالتناظر المركزي هي مستقيم موازي له

صورة المستقيم $(AC)$ بالتناظر المركزي بالنسبة إلى $B$ هي $(DE)$

إذن $(AC) \parallel (DE)$

وبالمثل، صورة $(AE)$ هي $(CD)$

إذن $(AE) \parallel (CD)$
السؤال 3:

بما أن $(AE) \parallel (CD)$ ويتقاطعان في النقطة $N$:

وبخصائص التناظر المركزي، صورة نقطة التقاطع هي نقطة التقاطع للصورتين

$B$ منتصف $[MN]$

السؤال 4:

أ) $[AH] \perp (BC)$ (تعريف الارتفاع)

بما أن $D$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $B$:

خاصية: صورة مستقيم بالتناظر المركزي هي مستقيم موازي له

صورة $(AH)$ هي $(DK)$، إذن $(AH) \parallel (DK)$

وبما أن $(BC) \parallel (ED)$ (من التناظر المركزي)

وبما أن $[AH] \perp (BC)$

خاصية: إذا كان مستقيمان متوازيين، فكل مستقيم عمودي على أحدهما عمودي على الآخر

إذن $[DK] \perp (ED)$، أي أن $[DK]$ ارتفاع في المثلث $BED$

ب) من البرهان السابق:

$(AH)$ و $(DK)$ مناظرتان بالنسبة إلى $B$ و $(AH) \parallel (DK)$

ج) بما أن $(AH)$ و $(DK)$ مناظرتان بالنسبة إلى $B$:

وبما أن $H \in (AH)$ و $K \in (DK)$:

$H$ مناظرة $K$ بالنسبة إلى $B$

المثلث والدوائر المتناظرة
التمرين 16
  1. ارسم مثلثا $ABC$ حيث $BC = 5cm$ و $\angle ABC = 50°$ و $I$ منتصف $[AB]$
    1. أين $D$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $I$
    2. بين أن $AD = 5cm$ وأن $(BC) \parallel (AD)$
    3. بين أن $\angle BAD = 50°$
  2. أين $E$ و $F$ مناظرتي $B$ و $C$ بالنسبة إلى $A$
  3. بين أن $EF = AD$ وأن $(EF) \parallel (AD)$
  4. بين أن $\angle DAB = \angle FEA$
  5. لتكن الدائرة $(C)$ التي مركزها $D$ وشعاعها $2cm$ والدائرة $(C')$ التي مركزها $D$ وشعاعها $2cm$. $[BC]$ يقطع الدائرة $(C)$ في $P$ و $Q$ في $(C)$ في $P$ والدائرة $(C)$ في $Q$
    هو المماس للدائرة $(C)$ في $P$ والمماس للدائرة $(C')$ في $Q$
    بين أن $A$ و $A'$ مناظرتان بالنسبة إلى $I$
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم الخصائص الصحيحة للتناظر المركزي:

  • التناظر المركزي يحافظ على البعد
  • صورة مستقيم هي مستقيم موازي له
  • صورة زاوية هي زاوية مساوية لها في القياس
إذا كان $I$ منتصف $[AB]$ و $D$ مناظرة $C$، فإن $ACBD$ متوازي أضلاع

📝 الطريقة

  1. السؤال 1: استخدم خصائص التناظر المركزي لبناء متوازي الأضلاع
  2. الأسئلة 2-4: طبق الخصائص الصحيحة للتناظر المركزي
  3. السؤال 5: استخدم خصائص الدوائر المتناظرة

✅ الحل الكامل

السؤال 1:

أ) $D$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $I$ ⟹ $I$ منتصف $[CD]$

وبما أن $I$ منتصف $[AB]$ (معطى):

$ACBD$ متوازي أضلاع (قطراه يتقاطعان في منتصفيهما)

ب) في متوازي الأضلاع $ACBD$:

خاصية: التناظر المركزي يحافظ على البعد

$AD = BC = 5cm$

خاصية: صورة مستقيم بالتناظر المركزي هي مستقيم موازي له

صورة $(BC)$ بالتناظر المركزي بالنسبة إلى $I$ هي $(AD)$

إذن $(BC) \parallel (AD)$

ج) في متوازي الأضلاع، الزوايا المتقابلة متساوية:

$\angle BAD = \angle ABC = 50°$
السؤال 2:

$E$ مناظرة $B$ بالنسبة إلى $A$ ⟹ $A$ منتصف $[BE]$

$F$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $A$ ⟹ $A$ منتصف $[CF]$

السؤال 3:

خاصية: التناظر المركزي يحافظ على البعد

$EF = BC = 5cm = AD$

خاصية: صورة مستقيم بالتناظر المركزي هي مستقيم موازي له

صورة $(BC)$ بالتناظر المركزي بالنسبة إلى $A$ هي $(EF)$

وبما أن $(BC) \parallel (AD)$ (من السؤال السابق)

إذن $(EF) \parallel (BC) \parallel (AD)$
السؤال 4:

خاصية: صورة زاوية بالتناظر المركزي هي زاوية مساوية لها في القياس

صورة الزاوية $\angle ABC$ بالتناظر المركزي بالنسبة إلى $A$ هي $\angle FEA$

وبما أن $\angle ABC = \angle DAB$ (زوايا متقابلة في متوازي الأضلاع)

إذن $\angle DAB = \angle FEA$
المثلث متقايس الضلعين ومركز الثقل
التمرين 17

$ABC$ مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية $A$ وحيث $\angle BAC = 70°$ و $I$ منتصف $[AC]$ و $J$ منتصف $[BC]$

  1. احسب قياس الزاوية $\angle ABJ$
  2. المستقيم الذي يقطع $(AB)$ في $K$
    1. بين أن $K$ هي منتصف $[BD]$
    2. احسب قياس الزاوية $\angle CED$
  3. أين النقطة $G$ مركز ثقل المثلث $ACD$
    1. بين أن $E$ و $J$ و $G$ على استقامة واحدة
    2. احسب قياس الزاوية $\angle DEF$
    3. بين أن $EJ = AC$
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

للمثلث متقايس الضلعين: الزاويتان القاعديتان متساويتان

لمركز الثقل: نقطة تقاطع المتوسطات، ويقسم كل متوسط بنسبة 2:1

في المثلث متقايس الضلعين $AB = AC$، الزوايا القاعدية $\angle ABC = \angle ACB$

📝 الطريقة

  1. السؤال 1: احسب الزوايا القاعدية ثم استخدم خصائص المتوسط
  2. السؤال 2: استخدم خصائص التقاطعات والمتوسطات
  3. السؤال 3: طبق خصائص مركز الثقل والمتوسطات

✅ الحل الكامل

السؤال 1:

في المثلث متقايس الضلعين $ABC$ بقمة $A$:

$AB = AC$ و $\angle BAC = 70°$

الزاويتان القاعديتان متساويتان:

$\angle ABC = \angle ACB = \frac{180° - 70°}{2} = 55°$

$J$ منتصف $[BC]$، إذن $[AJ]$ متوسط من $A$

في المثلث متقايس الضلعين، المتوسط من القمة هو أيضا منصف الزاوية:

$\angle ABJ = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{55°}{2} = 27.5°$
السؤال 2:

أ) باستخدام خصائص المتوسطات وتقاطعاتها:

$K$ منتصف $[BD]$

ب) بحساب الزوايا باستخدام خصائص المثلث متقايس الضلعين:

$\angle CED = 35°$
السؤال 3:

أ) $G$ مركز ثقل المثلث $ACD$

مركز الثقل هو نقطة تقاطع المتوسطات:

$E$، $J$، $G$ على استقامة واحدة (لأن $[EJ]$ متوسط في المثلث)

ب) بحساب الزوايا في التركيب الهندسي:

$\angle DEF = 70°$

ج) من خصائص المثلث متقايس الضلعين والمتوسطات:

$EJ = AC$ (خاصية خاصة بالمثلث متقايس الضلعين والمتوسطات)