التمرين 5 و 6 - المثلثات والتناظر المركزي

المدرسة الإعدادية النموذجية بضفاف البحيرة الأستاذ: فوزي الغربي
المثلث متقايس الضلعين والتناظر المركزي
التمرين 5

ارسم مثلثا $ABC$ متقايس الضلعين قمته الرئيسية $A$ و $\angle ABC = 40°$

  1. أين النقطة $I$ منتصف $[BC]$ ثم أين النقطة $E$ مناظرة $A$ بالنسبة لـ $I$
  2. ما هي صورة الزاوية $ABC$ بالنسبة لـ $I$
  3. استنتج أن $[CB]$ هو منتصف الزاوية $ACE$. أوجد $\angle ACE$
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

للسؤال الأول: في المثلث متقايس الضلعين، ما هي خاصية منتصف القاعدة؟

للسؤال الثاني: كيف يؤثر التناظر المركزي على الزوايا؟

للسؤال الثالث: استخدم خصائص التناظر المركزي وتقايس الضلعين.

تذكر: في المثلث متقايس الضلعين $AB = AC$، الزاويتان القاعديتان متساويتان

📝 الطريقة

  1. السؤال 1: ارسم المثلث وحدد منتصف القاعدة، ثم استخدم تعريف التناظر المركزي
  2. السؤال 2: طبق خاصية التناظر المركزي على الزوايا
  3. السؤال 3: استخدم خصائص المثلث متقايس الضلعين والتناظر المركزي لحساب الزاوية

✅ الحل الكامل

السؤال 1:

نرسم المثلث $ABC$ متقايس الضلعين بقمة رئيسية $A$ و $\angle ABC = 40°$

بما أن المثلث متقايس الضلعين: $AB = AC$ و $\angle ABC = \angle ACB = 40°$

$I$ منتصف $[BC]$ و $E$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $I$

السؤال 2:

التناظر المركزي يحافظ على قياس الزوايا ويعكس اتجاهها.

صورة الزاوية $\angle ABC$ هي الزاوية $\angle EBC$ وقياسها $40°$
السؤال 3:

بما أن $E$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $I$ (منتصف $[BC]$):

$ABEC$ متوازي أضلاع

إذن $\angle ACB = \angle AEB = 40°$

وبما أن $\angle ABC = \angle ACB = 40°$ (المثلث متقايس الضلعين)

نحصل على:

$\angle ACE = \angle ACB + \angle BCE = 40° + 40° = 80°$

إذن $[CB]$ منتصف الزاوية $\angle ACE$ و $\angle ACE = 80°$

المثلث ومتوازي الأضلاع
التمرين 6

$ABC$ مثلث بحيث $\angle ABC = 50°$، $\angle BAC = 70°$، $AB = 5cm$

  1. ارسم $I$ بحيث تكون $A$ و $B$ مناظرتان بالنسبة لـ $I$ وأين $D$ مناظرة $C$ بالنسبة لـ $I$
  2. بين أن $(AD) \parallel (BC)$ واستنتج أن $ADBC$ متوازي أضلاع
  3. ما هو مناظر كل من $\angle BAC$، $\angle ACB$، $\angle ABC$ بالنسبة لـ $I$
  4. استنتج أن $\angle DAC = \angle DBC$ وأن $\angle ACB + \angle DAC = 180°$
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

للسؤال الأول: إذا كانت $A$ و $B$ مناظرتان بالنسبة إلى $I$، فماذا يعني ذلك عن موقع $I$؟

للسؤال الثاني: استخدم خاصية أن صورة مستقيم بالتناظر المركزي هي مستقيم موازٍ له. صورة $(BC)$ بالتناظر المركزي ذو المركز $I$ هي $(AD)$، إذن $(AD) \parallel (BC)$.

للأسئلة الأخيرة: كيف يؤثر التناظر المركزي على الزوايا؟

تذكر: مجموع زوايا المثلث = $180°$

📝 الطريقة

  1. السؤال 1: حدد موقع $I$ كمنتصف $[AB]$، ثم أوجد $D$ مناظرة $C$
  2. السؤال 2:
    • استخدم خاصية أن صورة مستقيم بالتناظر المركزي موازية له
    • اثبت أن الضلعين المتقابلين متوازيين
    • استنتج أن الشكل متوازي أضلاع
  3. السؤال 3: طبق تعريف التناظر المركزي على كل زاوية
  4. السؤال 4: استخدم نتائج الأسئلة السابقة وخصائص متوازي الأضلاع

✅ الحل الكامل

السؤال 1:

إذا كانت $A$ و $B$ مناظرتان بالنسبة إلى $I$، فإن $I$ منتصف $[AB]$

نرسم $D$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $I$، إذن $I$ منتصف $[CD]$

السؤال 2:

إثبات التوازي:

بالتناظر المركزي ذو المركز $I$، صورة المستقيم $(BC)$ هي المستقيم $(AD)$.

لأن صورة $B$ هي $A$ وصورة $C$ هي $D$.

بما أن صورة مستقيم بالتناظر المركزي موازية له، فإن:

$(AD) \parallel (BC)$

وبالمثل، صورة المستقيم $(AB)$ هي المستقيم $(DC)$، إذن:

$(AB) \parallel (DC)$

استنتاج طبيعة الرباعي:

بما أن $(AD) \parallel (BC)$ و $(AB) \parallel (DC)$، فإن الضلعين المتقابلين في الرباعي $ADBC$ متوازيان.

إذن $ADBC$ متوازي أضلاع.

السؤال 3:

بتطبيق التناظر المركزي بالنسبة إلى $I$:

  • مناظر $\angle BAC$ هو $\angle ABD$ (صورة $A$ هي $B$، صورة $B$ هي $A$، صورة $C$ هي $D$)
  • مناظر $\angle ACB$ هو $\angle ADB$ (صورة $A$ هي $B$، صورة $C$ هي $D$، صورة $B$ هي $A$)
  • مناظر $\angle ABC$ هو $\angle BAD$ (صورة $A$ هي $B$، صورة $B$ هي $A$، صورة $C$ هي $D$)
السؤال 4:

إثبات $\angle DAC = \angle DBC$:

في متوازي الأضلاع $ADBC$، الزوايا المتناوبة متساوية.

إذن $\angle DAC = \angle DBC$

إثبات $\angle ACB + \angle DAC = 180°$:

في متوازي الأضلاع $ADBC$، الزوايا المتجاورة متكاملة.

الزاوية $\angle ACB$ والزاوية $\angle DAC$ متجاورتان في متوازي الأضلاع.

إذن $\angle ACB + \angle DAC = 180°$