تمرين توليفي في التناظر المركزي (بدون متجهات)

المدرسة الإعدادية النموذجية بضفاف البحيرة الأستاذ: فوزي الغربي
تمرين توليفي شامل
تمرين 4

$ABC$ مثلث و $M$ منتصف $[BC]$ و $O$ منتصف $[AM]$.

  1. ابنِ النقطتين $N$ و $P$ مناظرتي النقطتين $C$ و $B$ على التوالي بالنسبة إلى $O$.
  2. أثبت أن $A$ منتصف $[PN]$.
  3. بيّن أن $(MP) // (AB)$ و $(MN) // (AC)$.
  4. لتكن $I$ نقطة تقاطع $(AB)$ و $(MN)$ و لتكن $J$ نقطة تقاطع $(AC)$ و $(MP)$. بيّن أن النقاط $O$ و $I$ و $J$ على استقامة واحدة.
  5. ليكن $[AH]$ ارتفاع المثلث $AOP$ الصادر من $A$ و $[MK]$ ارتفاع المثلث $BOM$ الصادر من $M$.
    أ. ما هو مناظر المستقيم $(AH)$ بالنسبة إلى $O$؟
    ب. بيّن أن $K$ و $H$ متناظرتان بالنسبة إلى $O$.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

سؤال 2: $A$ و $P$ و $N$ هم المناظرون على التوالي لـ $M$ و $B$ و $C$. بما أن النقاط $B$ و $M$ و $C$ على استقامة واحدة، فإن النقاط $A$ و $N$ و $P$ على استقامة واحدة أيضاً لأن التناظر المركزي يحافظ على الاستقامة. وبما أن $M$ منتصف $[BC]$، فإن $A$ منتصف $[PN]$ لأن التناظر المركزي يحافظ على المنتصف.

سؤال 3: استخدم خاصية أن $(AB)$ هو صورة $(MN)$ بالتناظر المركزي ذو المركز $O$، مما يعني $(AB) // (MN)$. وبالمثل $(MN) // (AC)$.

سؤال 4: $I$ هي تقاطع $(MN)$ و $(AB)$، إذن صورة $I$ بالنسبة لـ $O$ هي تقاطع صورة $(MN)$ وصورة $(AB)$. بما أن $(MN)$ صورتها $(AC)$ و $(AB)$ صورتها $(MP)$، فإن صورة $I$ هي تقاطع $(MP)$ و $(AC)$ أي $J$. إذن $O$ منتصف $[IJ]$.

سؤال 5: نثبت أن $(AH) // (MK)$ لأنهما عموديان على نفس المستقيم $(BP)$. مناظر $(AH)$ هو المستقيم الموازي لـ $(AH)$ والمار بصورة $A$ وهي $M$، إذن مناظر $(AH)$ هو $(MK)$.

📝 الطريقة

2) إثبات أن A منتصف [PN]:

  1. خاصية التناظر المركزي: $A$ و $P$ و $N$ هم المناظرون على التوالي لـ $M$ و $B$ و $C$ بالنسبة لـ $O$.
  2. حفظ الاستقامة: بما أن النقاط $B$ و $M$ و $C$ على استقامة واحدة، فإن مناظرتهم $P$ و $A$ و $N$ على استقامة واحدة أيضاً لأن التناظر المركزي يحافظ على الاستقامة.
  3. حفظ المنتصف: بما أن $M$ منتصف $[BC]$، فإن مناظر $M$ وهو $A$ يكون منتصف مناظر $[BC]$ وهو $[PN]$ لأن التناظر المركزي يحافظ على المنتصف.

3) إثبات التوازي:

استخدم خاصية أن $(AB)$ هو صورة $(MN)$ بالتناظر المركزي ذو المركز $O$، والتناظر المركزي يحافظ على التوازي. إذن $(AB) // (MN)$. وبالمثل $(MN) // (AC)$.

4) إثبات استقامة النقاط:

استخدم التناظر المركزي $S_O$. $I$ هي تقاطع $(MN)$ و $(AB)$، إذن صورة $I$ هي تقاطع صورة $(MN)$ وصورة $(AB)$. بما أن صورة $(MN)$ هي $(AC)$ وصورة $(AB)$ هي $(MP)$، فإن صورة $I$ هي $J$.

5) الارتفاعات والتناظر:

أ. أثبت أن $(AH) // (MK)$ لأنهما عموديان على نفس المستقيم. مناظر $(AH)$ هو المستقيم الموازي لـ $(AH)$ والمار بصورة $A$.

ب. استخدم نفس طريقة السؤال 4، بإيجاد تقاطع المستقيمات وصورها.

✅ الحل الكامل (بدون متجهات)

2) إثبات أن A منتصف [PN]:

لدينا $A$ و $P$ و $N$ هم المناظرون على التوالي لـ $M$ و $B$ و $C$ بالنسبة للتناظر المركزي ذو المركز $O$.
بما أن النقاط $B$ و $M$ و $C$ على استقامة واحدة، فإن النقاط $A$ و $P$ و $N$ على استقامة واحدة أيضاً لأن التناظر المركزي يحافظ على الاستقامة.
وبما أن $M$ منتصف $[BC]$، فإن مناظر $M$ وهو $A$ يكون منتصف مناظر $[BC]$ وهو $[PN]$ لأن التناظر المركزي يحافظ على المنتصف.
إذن $A$ منتصف $[PN]$.

3) بيّن أن $(MP) // (AB)$ و $(MN) // (AC)$:

$(AB)$ هو صورة $(MN)$ بالتناظر المركزي ذو المركز $O$. والتناظر المركزي يحافظ على التوازي، إذن $(AB) // (MN)$.
وبالمثل، $(MN) // (AC)$.

4) بيّن أن النقاط $O$ و $I$ و $J$ على استقامة واحدة:

$I$ هي تقاطع $(MN)$ و $(AB)$، إذن صورة $I$ بالنسبة لـ $O$ هي تقاطع صورة $(MN)$ وصورة $(AB)$.
بما أن $(MN)$ صورتها $(AC)$ و $(AB)$ صورتها $(MP)$، فإن صورة $I$ هي تقاطع $(MP)$ و $(AC)$ أي $J$.
إذن $S_O(I) = J$، مما يعني أن $O$ منتصف $[IJ]$.
وبالتالي النقاط $I$ و $O$ و $J$ على استقامة واحدة.

5) الارتفاعات والتناظر:

أ. مناظر المستقيم $(AH)$:
نثبت أن $(AH) // (MK)$ لأنهما عموديان على نفس المستقيم $(BP)$.
مناظر المستقيم $(AH)$ هو المستقيم الموازي لـ $(AH)$ والمار بصورة $A$ وهي $M$.
إذن مناظر المستقيم $(AH)$ هو $(MK)$.

ب. بيّن أن $K$ و $H$ متناظرتان بالنسبة إلى $O$:
بنفس طريقة السؤال 4، بالتقاطع نثبت أن $H$ و $K$ متناظرتان.
$H$ هي تقاطع $(AH)$ و $(OP)$، وصورتها هي تقاطع صورة $(AH)$ وصورة $(OP)$.
بما أن صورة $(AH)$ هي $(MK)$ وصورة $(OP)$ هي $(BC)$، فإن صورة $H$ هي تقاطع $(MK)$ و $(BC)$ أي $K$.
إذن $K$ و $H$ متناظرتان بالنسبة إلى $O$.