تمرين في التناظر المركزي والتوازي

المدرسة الإعدادية النموذجية بضفاف البحيرة الأستاذ: فوزي الغربي
منتصفات وتوازٍ واستقامة
تمرين

$ABC$ مثلث و $I$ منتصف $[AB]$ و $J$ منتصف $[AC]$. المستقيم المار من $A$ و الموازي لـ $(BC)$ يقطع $(BJ)$ في $M$.

  1. بيّن أن $J$ منتصف $[BM]$.
  2. أ. ابنِ النقطة $N$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $I$.
    ب. بيّن أن النقاط $M, A, N$ على استقامة واحدة.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

للسؤال 1: فكر في المسألة باستخدام التناظر المركزي الذي مركزه $J$. ما هو مناظر المستقيم $(BC)$ بالنسبة لـ $J$؟ وما هو مناظر المستقيم $(BJ)$؟ كيف يساعدك هذا في تحديد مناظر النقطة $B$؟

للسؤال 2: ماذا يعني أن $N$ مناظرة $C$ بالنسبة لـ $I$؟ ما هو شكل الرباعي $ACBN$؟ وكيف يرتبط المستقيم $(AN)$ بالمستقيم $(BC)$؟ كيف تثبت أن ثلاث نقاط على استقامة واحدة؟

📝 الطريقة (باستعمال التناظر المركزي)

للسؤال 1: لإثبات أن $J$ منتصف $[BM]$

  1. تحديد مناظر المستقيم (BC): بما أن $J$ منتصف $[AC]$، فإن $A$ مناظرة $C$ بالنسبة لـ $J$. مناظر المستقيم $(BC)$ هو مستقيم يمر من $A$ ويوازي $(BC)$. من المعطيات، هذا المستقيم هو $(AM)$.
  2. تحديد مناظر المستقيم (BJ): بما أن المستقيم $(BJ)$ يمر من مركز التناظر $J$، فإن مناظره هو نفسه.
  3. تحديد مناظر النقطة B: النقطة $B$ هي تقاطع المستقيمين $(BC)$ و $(BJ)$. إذن، مناظرتها هي تقاطع مناظري هذين المستقيمين، أي تقاطع $(AM)$ و $(BJ)$, وهي النقطة $M$.
  4. الاستنتاج: بما أن $M$ هي مناظرة $B$ بالنسبة لـ $J$، فإن $J$ هي بالضرورة منتصف القطعة $[BM]$.

للسؤال 2: لإثبات أن $M, A, N$ على استقامة واحدة

  1. بما أن $I$ منتصف $[AB]$ و $I$ منتصف $[CN]$ (من تعريف النظير)، فإن الرباعي $ACBN$ متوازي أضلاع.
  2. من خصائص متوازي الأضلاع، استنتج أن $(AN) // (BC)$.
  3. لديك الآن من المعطيات $(AM) // (BC)$ ومن الخطوة السابقة $(AN) // (BC)$.
  4. ماذا يمكنك أن تستنتج حول مستقيمين مختلفين يمران بنفس النقطة $A$ وكلاهما موازٍ لمستقيم ثالث؟

✅ الحل الكامل (باستعمال التناظر المركزي)

1) تبيين أن $J$ منتصف $[BM]$:

لنعتبر التناظر المركزي $S_J$ الذي مركزه $J$.

  • بما أن $J$ منتصف $[AC]$، فإن مناظرة $C$ بالنسبة لـ $J$ هي $A$. أي $S_J(C)=A$.
  • مناظر المستقيم $(BC)$ هو مستقيم يمر من مناظرة $C$ (وهي $A$) ويوازي $(BC)$. من المعطيات، هذا المستقيم هو $(AM)$. إذن $S_J((BC))=(AM)$.
  • مناظر المستقيم $(BJ)$ هو المستقيم $(BJ)$ نفسه لأنه يمر من مركز التناظر $J$.
  • النقطة $B$ هي نقطة تقاطع المستقيمين $(BC)$ و $(BJ)$.
  • إذن، مناظرتها $S_J(B)$ هي نقطة تقاطع مناظري المستقيمين، أي تقاطع $(AM)$ و $(BJ)$. هذه النقطة هي $M$.

بما أن $M$ هي مناظرة $B$ بالنسبة لـ $J$، فإن هذا يعني أن $J$ هي منتصف $[BM]$.

2) تبيين أن النقاط $M, A, N$ على استقامة واحدة:

لدينا $N$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $I$. هذا يعني أن $I$ هي منتصف $[CN]$.

في الرباعي $ACBN$، نعلم أن $I$ منتصف $[AB]$ (معطى) و $I$ منتصف $[CN]$ (برهان). بما أن قطري هذا الرباعي يتقاطعان في منتصفهما، فإن $ACBN$ متوازي أضلاع.

من خصائص متوازي الأضلاع، فإن حامل أحد أضلاعه يوازي حامل الضلع المقابل له. إذن $(AN) // (BC)$.

لدينا الآن:

  • $(AM) // (BC)$ (من معطيات التمرين)
  • $(AN) // (BC)$ (لأن $ACBN$ متوازي أضلاع)

بما أن المستقيمين $(AM)$ و $(AN)$ يمران كلاهما من النقطة $A$ وهما موازيان لنفس المستقيم $(BC)$، فإنهما بالضرورة مستقيمان منطبقان.

إذن، النقاط $M$ و $A$ و $N$ تنتمي لنفس المستقيم، أي أنها على استقامة واحدة.