\(AB = 6\) صم، \(BC = 5\) صم، \(AC = 4\) صم.
1) ابن D وE مناظرتَي A وC بالنسبة إلى B. بيِّن أن \(DE = 4\) صم.
2) بيِّن أن \((CD) \parallel (AE)\).
3) M نقطة من المستقيم (AE). ارسم (MB) يقطع (CD) في N. بيِّن أن B منتصف [MN].
4) ارسم [AH] ارتفاع المثلث ABC و[DK] ارتفاع المثلث BED. بيِّن أن \((DK) \parallel (AH)\) وأنهما متناظران / B. استنتج مناظرة H بالنسبة إلى B.
D مناظر A / B → B منتصف [AD]
E مناظر C / B → B منتصف [CE]
قطرا الرباعي ACDE هما [AD] و [CE]، وكلاهما ينصف الآخر في B.
الرباعي الذي قطراه ينصفان بعضهما هو متوازي أضلاع → ACDE متوازي أضلاع.
في متوازي الأضلاع : DE و AC ضلعان متقابلان → DE = AC = 4 صم ✓
ACDE متوازي أضلاع (من الخطوة 1).
CD و AE ضلعان متقابلان في متوازي الأضلاع → (CD) // (AE) ✓
M نقطة من (AE)، والمستقيم (MB) يقطع (CD) في N.
نطبّق التناظر المركزي بالنسبة إلى B :
مناظرة (AE) / B = (CD) (لأن A→D وE→C بالتناظر / B، فمستقيم (AE) يصبح (DC)).
M ∈ (AE) → مناظرة M / B هي نقطة تقع على (CD).
مناظرة M / B تقع أيضاً على المستقيم (MB) (لأن B، M، ومناظرة M كولينيريون).
نقطة التقاطع بين (MB) و (CD) هي N → مناظرة M / B = N → B منتصف [MN] ✓
[AH] ارتفاع المثلث ABC من A → AH ⊥ BC، وH ∈ [BC].
المثلث BED مناظر المثلث BAC بالنسبة إلى B (B→B، A→D، C→E).
مناظرة الارتفاع [AH] / B = [DK] (ارتفاع المثلث BED من D).
(DK) // (AH) : لأن قطعتين متناظرتين / نفس المركز متوازيتان ومتساويتان.
[AH] و [DK] متناظرتان / B → مناظرة H / B = K ✓
(K نقطة تقاطع [DK] مع امتداد [BC] أو مع المستقيم المناسب في مثلث BED)
1) DE = 4 صم :
B منتصف [AD] وB منتصف [CE] → ACDE متوازي أضلاع.
DE و AC ضلعان متقابلان → DE = AC = 4 صم ✓
2) (CD) // (AE) :
ACDE متوازي أضلاع → CD و AE ضلعان متقابلان → (CD) // (AE) ✓
3) B منتصف [MN] :
مناظرة (AE) / B = (CD). M ∈ (AE) → مناظرة M / B تقع على (CD) وعلى (MB).
هذه النقطة هي N → مناظرة M / B = N → B منتصف [MN] ✓
4) التناظر بين الارتفاعات :
مثلث BED مناظر مثلث BAC / B → مناظرة [AH] / B = [DK].
(DK) // (AH) (خاصية القطع المتناظرة).
[AH] و [DK] متناظرتان / B → مناظرة H / B = K ✓