ABC مثلث، M منتصف [BC]، I منتصف [AM].
1) ابن E وF مناظرتَي B وC بالنسبة إلى I. بيِّن أن E وF متناظرتان بالنسبة إلى A.
2) بيِّن أن \(ME = AB\).
3) بيِّن أن \((MF) \parallel (AC)\).
4) بيِّن أن \(\widehat{IBC} = \widehat{IEA}\).
E مناظر B بالنسبة إلى I → I منتصف [BE]
I منتصف [AM] (معطى) → I منتصف قطري ABEM → ABEM متوازي أضلاع
F مناظر C بالنسبة إلى I → I منتصف [CF]
I منتصف [AM] (معطى) → I منتصف قطري ACFM → ACFM متوازي أضلاع
من ABEM : A منتصف [BM] ← (لأن قطري متوازي الأضلاع ينصفان بعضهما)... لا، بل :
من ABEM : AE // BM و AE = BM. من ACFM : AF // CM و AF = CM.
M منتصف [BC] → BM = MC → AE = AF. وبما أن (AE) و (AF) خطان من A، والنقطتان E وF على الامتداد → A منتصف [EF] → E وF متناظرتان بالنسبة إلى A.
ABEM متوازي أضلاع (أثبتنا في الخطوة 1).
في متوازي الأضلاع : الأضلاع المتقابلة متساوية ومتوازية.
ME و AB ضلعان متقابلان → ME = AB ✓
ACFM متوازي أضلاع (أثبتنا في الخطوة 1).
في متوازي الأضلاع : الأضلاع المتقابلة متوازية.
MF و AC ضلعان متقابلان → (MF) // (AC) ✓
E مناظر B بالنسبة إلى I → I منتصف [BE].
A مناظر ... لا، بل : النقطة I تقع على القطعة [BE]، وعلى المستقيم (AE) (لأن A، I، E ليست بالضرورة على استقامة).
بطريقة أدق : زاوية IBC هي الزاوية المحصورة بين الشعاع [IB) والشعاع [IC)، وزاوية IEA هي الزاوية بين [EI) و [EA).
بما أن I منتصف [BE] : الشعاع [IB) والشعاع [IE) متعاكسان → الزاويتان IBC و IEA متقابلتان بالرأس في I.
خاصية الزوايا المتقابلة بالرأس : \(\widehat{IBC} = \widehat{IEA}\) ✓
1) E وF متناظرتان / A :
E مناظر B / I → I منتصف [BE]، وI منتصف [AM] → ABEM متوازي أضلاع.
F مناظر C / I → I منتصف [CF]، وI منتصف [AM] → ACFM متوازي أضلاع.
من ABEM : AE = BM. من ACFM : AF = CM. M منتصف [BC] → BM = CM → AE = AF.
E وF على امتداد من A متساويتا البعد → A منتصف [EF] → E وF متناظرتان / A. ✓
2) ME = AB :
ABEM متوازي أضلاع → ME و AB ضلعان متقابلان → ME = AB ✓
3) (MF) // (AC) :
ACFM متوازي أضلاع → MF و AC ضلعان متقابلان → (MF) // (AC) ✓
4) \(\widehat{IBC} = \widehat{IEA}\) :
I منتصف [BE] → الشعاعان [IB) و [IE) متعاكسان.
زاوية IBC وزاوية IEA متقابلتان بالرأس في النقطة I.
الزوايا المتقابلة بالرأس متساوية → \(\widehat{IBC} = \widehat{IEA}\) ✓