التناظر المركزي

📚 8 أساسي ✏️ تمرين رقم 3
تمرين 3 متوازي الأضلاع ABCD ومتناظرات

📐 نص التمرين

ليكن ABCD متوازي أضلاع مركزه O.

1) بيِّن أن A و C من جهة، وB و D من جهة أخرى، متناظرة بالنسبة إلى O.

2) ارسم I منتصف [BC] و E مناظرة A بالنسبة إلى I.

3) بيِّن أن (EC) // (AB).

4) استنتج أن E و D و C على استقامة واحدة.

5) بيِّن أن CE = AB.

6) استنتج أن C منتصف [ED].

7) أرسم J مناظرة O بالنسبة إلى I. بيِّن أن E و B و J على استقامة واحدة.

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

  • السؤال 1 : تذكَّر خاصية متوازي الأضلاع : قطراه يتقاطعان ويتنصَّفان في نقطة تقاطعهما. إذن O هو منتصف [AC] ومنتصف [BD] في آنٍ واحد. الآن : ما هو تعريف التناظر المركزي؟ إذا كان O منتصف [AC]، ماذا يعني ذلك بالنسبة لـ A و C؟
  • السؤال 2 و 3 : E مناظرة A بالنسبة إلى I ← I هو منتصف [AE]. لديك الآن في الرباعي ABCE نقطتان : I منتصف [BC] و I منتصف [AE]. ماذا تسمي رباعيًّا تتنصَّف أقطاره في نقطة واحدة؟ وما الذي يترتَّب على ذلك بالنسبة لأضلاعه؟
  • السؤال 4 : لديك نتيجتان : (DC) // (AB) من خاصية ABCD، و (EC) // (AB) من السؤال 3. كلا المستقيمَين (DC) و (EC) يوازيان (AB) ويمرَّان من النقطة C. هل يمكن أن يكونا مختلفَين؟ ماذا تستنتج؟
  • السؤال 5 : استعمل الرباعي ABCE الذي أثبتنا أنه متوازي أضلاع. ما العلاقة بين الأضلاع المتقابلة في متوازي الأضلاع؟ طبِّق على CE و AB.
  • السؤال 6 : من السؤال 4 : E,C,D على استقامة (C بين E و D). من السؤال 5 : CE = AB. ومن خاصية ABCD : DC = AB. إذن CE = DC. C بين E و D وCE = CD ← ماذا يعني ذلك؟
  • السؤال 7 : J مناظرة O بالنسبة إلى I ← I منتصف [OJ]. وأيضًا I منتصف [BC] (معطى). في الرباعي OBJC : I منتصف قطرَيه [OJ] و [BC]. ماذا يكون هذا الرباعي؟ طبِّق خاصية أضلاعه لتثبت أن E,B,J على استقامة.

📝 منهجية الحل

السؤال 1 — إثبات التناظر بالنسبة إلى O
في متوازي الأضلاع ABCD، القطران [AC] و [BD] يتقاطعان ويتنصَّفان في O.
← O منتصف [AC] : بتعريف التناظر المركزي، A و C متناظرتان بالنسبة إلى O.
← O منتصف [BD] : B و D متناظران بالنسبة إلى O.
السؤال 2 — البناء
نرسم I منتصف [BC]، ثم E مناظرة A بالنسبة إلى I.
بتعريف التناظر المركزي : I منتصف [AE].
إذن : I منتصف [BC] و I منتصف [AE].
السؤال 3 — إثبات (EC) // (AB)
ننظر إلى الرباعي ABCE :
— I منتصف [BC] (أحد القطرَين)
— I منتصف [AE] (القطر الثاني)
← قطرا الرباعي ABCE يتنصَّفان في I
← ABCE متوازي أضلاع
← في متوازي الأضلاع ABCE : (EC) و (AB) ضلعان متقابلان
← (EC) // (AB) ✓
السؤال 4 — E,D,C على استقامة واحدة
لدينا معطيَين :
— (DC) // (AB) : لأن ABCD متوازي أضلاع (أضلاع متقابلة متوازية)
— (EC) // (AB) : أثبتناه في السؤال 3
إذن (DC) و (EC) كلاهما يوازي (AB) ويمرَّان من النقطة C.
بخاصية التوازي : من نقطة واحدة لا يمرُّ إلا مستقيمٌ واحد موازٍ لمستقيم معطى.
← (DC) و (EC) هما نفس المستقيم
← E و D و C على استقامة واحدة ✓
السؤال 5 — إثبات CE = AB
أثبتنا في السؤال 3 أن ABCE متوازي أضلاع.
في متوازي الأضلاع : الأضلاع المتقابلة متساوية في الطول.
CE و AB ضلعان متقابلان في ABCE
← CE = AB ✓
السؤال 6 — C منتصف [ED]
من السؤال 4 : E,C,D على استقامة واحدة (C بين E و D).
— CE = AB (السؤال 5)
— DC = AB (في متوازي الأضلاع ABCD : الأضلاع المتقابلة متساوية)
← CE = DC
← C يقع بين E و D بحيث CE = CD
← C منتصف [ED] ✓
السؤال 7 — E,B,J على استقامة واحدة
J مناظرة O بالنسبة إلى I ← I منتصف [OJ].
ولدينا أيضًا : I منتصف [BC] (معطى).
في الرباعي OBJC :
— I منتصف [OJ] (قطر أول)
— I منتصف [BC] (قطر ثانٍ)
← قطرا OBJC يتنصَّفان في I ← OBJC متوازي أضلاع
← (JC) // (OB) (أضلاع متقابلة في OBJC)
كذلك في ABCE متوازي الأضلاع : (BE) // (AC) أي (BE) // (OA) // (OB) الممتد
← J على المستقيم (BE) ← E و B و J على استقامة واحدة ✓

✅ الحل النهائي

1) في متوازي الأضلاع ABCD : O منتصف [AC] و O منتصف [BD]
← A و C متناظرتان بالنسبة إلى O    B و D متناظران بالنسبة إلى O
3) E مناظرة A / I ← I منتصف [AE]. وI منتصف [BC].
← في ABCE : قطراه [AE] و [BC] يتنصَّفان في I ← ABCE متوازي أضلاع
← (EC) // (AB)
4) (DC) // (AB) (متوازي ABCD) و (EC) // (AB) (السؤال 3)، كلاهما يمرُّ من C
← E,D,C على استقامة واحدة
5) ABCE متوازي أضلاع ← الأضلاع المتقابلة متساوية
← CE = AB
6) CE = AB = DC ← CE = DC، وC بين E و D
← C منتصف [ED]
7) J مناظرة O / I ← I منتصف [OJ]. وI منتصف [BC]
← OBJC متوازي أضلاع ← (JC) // (OB)
← E,B,J على استقامة واحدة