التناظر والتعيين

2018 - 2019 : تدرّب : تطبيق قواعد : توظيف : معدّل جوهر سويسي
التناظر في المعين المتعامد
1 7 نقاط

ليكن $(O,I,J)$ معيّناً متعامداً في المستوي.

أكمل بما يناسب:

• نقطتان متناظرتان بالنسبة إلى محور الفواصل لهما
• نقطتان متناظرتان بالنسبة إلى محور الترتيبات لهما
• نقطتان متناظرتان بالنسبة إلى $O$ لهما
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

خصائص التناظر في المعين المتعامد:

  • التناظر بالنسبة إلى $(OI)$ يؤثر على الترتيبة فقط
  • التناظر بالنسبة إلى $(OJ)$ يؤثر على الفاصلة فقط
  • التناظر بالنسبة إلى $O$ يؤثر على كلا الإحداثيتين

📝 الطريقة

لنقطة $A(x,y)$:

  • مناظرتها بالنسبة إلى $(OI)$: $A'(x,-y)$
  • مناظرتها بالنسبة إلى $(OJ)$: $A'(-x,y)$
  • مناظرتها بالنسبة إلى $O$: $A'(-x,-y)$

✅ الحل الكامل

• نقطتان متناظرتان بالنسبة إلى محور الفواصل لهما نفس الفاصلة وترتيبتان متقابلتان
• نقطتان متناظرتان بالنسبة إلى محور الترتيبات لهما نفس الترتيبة وفاصلتان متقابلتان
• نقطتان متناظرتان بالنسبة إلى $O$ لهما إحداثيتان متقابلتان
النقاط المتناظرة
2 3 نقاط

ليكن $(O,I,J)$ معيناً متعامداً في المستوي

من بين هذه النقاط: $A(-3;-1)$، $B(-3;1)$، $C(3;-1)$، $D(3;1)$
  • أذكر النقاط المتناظرة بالنسبة إلى المستقيم $(OI)$
  • أذكر النقاط المتناظرة بالنسبة إلى المستقيم $(OJ)$
  • أذكر النقاط المتناظرة بالنسبة إلى النقطة $O$
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

قارن إحداثيات النقاط وابحث عن:

  • نقاط لها نفس الفاصلة وترتيبات متقابلة للتناظر حول $(OI)$
  • نقاط لها نفس الترتيبة وفاصلات متقابلة للتناظر حول $(OJ)$
  • نقاط لها إحداثيات متقابلة تماماً للتناظر حول $O$

📝 الطريقة

نقارن النقاط: $A(-3;-1)$، $B(-3;1)$، $C(3;-1)$، $D(3;1)$

  1. للتناظر حول $(OI)$: نبحث عن نقاط بنفس الفاصلة
  2. للتناظر حول $(OJ)$: نبحث عن نقاط بنفس الترتيبة
  3. للتناظر حول $O$: نبحث عن نقاط بإحداثيات متقابلة

✅ الحل الكامل

النقاط المتناظرة بالنسبة إلى $(OI)$:

  • $A(-3;-1)$ و $B(-3;1)$ (نفس الفاصلة: $-3$)
  • $C(3;-1)$ و $D(3;1)$ (نفس الفاصلة: $3$)

النقاط المتناظرة بالنسبة إلى $(OJ)$:

  • $A(-3;-1)$ و $C(3;-1)$ (نفس الترتيبة: $-1$)
  • $B(-3;1)$ و $D(3;1)$ (نفس الترتيبة: $1$)

النقاط المتناظرة بالنسبة إلى $O$:

  • $A(-3;-1)$ و $D(3;1)$
  • $B(-3;1)$ و $C(3;-1)$
إكمال النقاط المتناظرة
3 7 نقاط

ليكن $(O,I,J)$ معيّناً متعامداً في المستوي

أكمل بما يناسب:

• النقطتان $A(3;-2)$ و $B(-3;2)$ متناظرتان بالنسبة إلى
• النقطتان $C(-1;4)$ و $D(1;-4)$ متناظرتان بالنسبة إلى
• النقطتان $E(-6;5)$ و $F(6;-5)$ متناظرتان بالنسبة إلى
• النقطتان $G(\ldots;\ldots)$ و $H(2;4)$ متناظرتان بالنسبة إلى $(OI)$
• النقطتان $K(3;\ldots)$ و $L(\ldots;2)$ متناظرتان بالنسبة إلى $(OJ)$
• النقطتان $M(5;\ldots)$ و $N(\ldots;5)$ متناظرتان بالنسبة إلى $O$
• النقطتان $R(\ldots;\ldots)$ و $S(\ldots;7)$ متناظرتان بالنسبة إلى $O$ ومتناظرتان بالنسبة إلى $(OJ)$
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لتحديد نوع التناظر، انظر إلى العلاقة بين الإحداثيات:

  • إذا كانت الإحداثيات متقابلة تماماً → التناظر بالنسبة إلى $O$
  • إذا كانت الفاصلة نفسها والترتيبة متقابلة → التناظر بالنسبة إلى $(OI)$
  • إذا كانت الترتيبة نفسها والفاصلة متقابلة → التناظر بالنسبة إلى $(OJ)$

📝 الطريقة

  1. للنقاط المعطاة: قارن الإحداثيات وحدد نوع التناظر
  2. للنقاط المجهولة: طبق قواعد التناظر المناسبة
  3. للحالات الخاصة: استخدم شروط التناظر المتعددة

✅ الحل الكامل

• النقطتان $A(3;-2)$ و $B(-3;2)$ متناظرتان بالنسبة إلى $O$
• النقطتان $C(-1;4)$ و $D(1;-4)$ متناظرتان بالنسبة إلى $O$
• النقطتان $E(-6;5)$ و $F(6;-5)$ متناظرتان بالنسبة إلى $O$
• النقطتان $G(2;-4)$ و $H(2;4)$ متناظرتان بالنسبة إلى $(OI)$
• النقطتان $K(-3;2)$ و $L(3;2)$ متناظرتان بالنسبة إلى $(OJ)$
• النقطتان $M(-5;-5)$ و $N(5;5)$ متناظرتان بالنسبة إلى $O$
• النقطتان $R(0;-7)$ و $S(0;7)$ متناظرتان بالنسبة إلى $O$ ومتناظرتان بالنسبة إلى $(OJ)$
إكمال الجدول - النقاط والتناظرات
4 2-3 نقاط

ليكن $(O,I,J)$ معيّناً متعامداً في المستوي

أكمل بما يناسب:

• النقطتان $A(2;-3)$ و $B(-2;3)$ متناظرتان بالنسبة إلى
• النقطتان $C(-5;1)$ و $D(5;-1)$ متناظرتان بالنسبة إلى
• النقطتان $E(-4;3)$ و $F(4;-3)$ متناظرتان بالنسبة إلى
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لاحظ أن جميع أزواج النقاط المعطاة لها نفس النمط في إحداثياتها.

📝 الطريقة

لكل زوج من النقاط، تحقق من العلاقة بين إحداثياتها لتحديد نوع التناظر.

✅ الحل الكامل

جميع الأزواج متناظرة بالنسبة إلى $O$ لأن إحداثياتها متقابلة تماماً.

جدول التناظرات
5 7 نقاط

ليكن $(O,I,J)$ معيناً متعامداً في المستوي

أكمل الجدول التالي:

النقطة مناظرتها بالنسبة إلى $O$ مناظرتها بالنسبة إلى $(OI)$ مناظرتها بالنسبة إلى $(OJ)$
$O$
$I$
$J$
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تذكر إحداثيات النقاط الأساسية في المعين المتعامد:

  • $O(0;0)$ - نقطة الأصل
  • $I(1;0)$ - على محور الفواصل
  • $J(0;1)$ - على محور الترتيبات

📝 الطريقة

طبق قواعد التناظر على كل نقطة:

  • التناظر بالنسبة إلى $O$: $(x,y) \rightarrow (-x,-y)$
  • التناظر بالنسبة إلى $(OI)$: $(x,y) \rightarrow (x,-y)$
  • التناظر بالنسبة إلى $(OJ)$: $(x,y) \rightarrow (-x,y)$

✅ الحل الكامل

النقطة مناظرتها بالنسبة إلى $O$ مناظرتها بالنسبة إلى $(OI)$ مناظرتها بالنسبة إلى $(OJ)$
$O$ $(0;0)$ $(0;0)$ $(0;0)$
$I$ $(-1;0)$ $(1;0)$ $(-1;0)$
$J$ $(0;-1)$ $(0;-1)$ $(0;1)$
التناظرات والمثلثات
18 22 نقاط

ليكن $(O,I,J)$ معيّناً متعامداً في المستوي

  1. (1)
    1. عيّن النقطتين $A(-4;2)$ و $M(0;3)$
    2. ابن النقطة $B$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $(OJ)$
    3. حدّد إحداثيات النقطة $B$
  2. (2) بيّن أنّ $ABM$ مثلث متقايس الضلعين
  3. (3)
    1. ابن النقطة $C$ مناظرة $B$ بالنسبة إلى $(OI)$
    2. حدّد إحداثيات النقطة $C$
    3. بيّن أنّ $O$ منتصف $[AC]$
  4. (4)
    1. بيّن أنّ $(BC) \parallel (OJ)$
    2. استنتج أنّ $ABC$ مثلث قائم
  5. (5)
    1. ابن النقطة $N$ مناظرة $M$ بالنسبة إلى $O$
    2. بيّن أنّ $BM = CN$
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تذكر قواعد التناظر:

  • التناظر بالنسبة إلى $(OJ)$: $(x,y) \rightarrow (-x,y)$
  • التناظر بالنسبة إلى $(OI)$: $(x,y) \rightarrow (x,-y)$
  • التناظر بالنسبة إلى $O$: $(x,y) \rightarrow (-x,-y)$

قارن المسافات المطلوبة مباشرة انطلاقاً من الإحداثيات.

📝 الطريقة

  1. للسؤال 1: طبق قانون التناظر بالنسبة إلى $(OJ)$
  2. للسؤال 2: احسب المسافات $AB$، $BM$، و $AM$
  3. للسؤال 3: طبق التناظر بالنسبة إلى $(OI)$ واحسب منتصف المقطع
  4. للسؤال 4: استخدم خصائص الخطوط المتوازية والزوايا القائمة
  5. للسؤال 5: طبق التناظر بالنسبة إلى $O$ واحسب المسافات

✅ الحل الكامل

السؤال 1:

أ) $A(-4;2)$ و $M(0;3)$ معيّنتان على الرسم

ب) $B$ مناظرة $A(-4;2)$ بالنسبة إلى $(OJ)$

ج) $B(4;2)$ لأن التناظر بالنسبة إلى $(OJ)$ يغيّر إشارة الفاصلة فقط

السؤال 2:
$AB = |(-4) - 4| = 8$
$AM = BM = \sqrt{17}$

إذن $AM = BM$ لذلك المثلث $ABM$ متقايس الضلعين

السؤال 3:

أ) $C$ مناظرة $B(4;2)$ بالنسبة إلى $(OI)$

ب) $C(4;-2)$ لأن التناظر بالنسبة إلى $(OI)$ يغيّر إشارة الترتيبة فقط

ج) منتصف $[AC]$ = $\left(\frac{-4+4}{2};\frac{2+(-2)}{2}\right) = (0;0) = O$

السؤال 4:

أ) $B(4;2)$ و $C(4;-2)$ لهما نفس الفاصلة، إذن $(BC) \parallel (OJ)$

ب) بما أن $(BC) \parallel (OJ)$ و $(OJ) \perp (OI)$ و $A$ على $(OI)$، إذن $\angle ABC = 90°$

السؤال 5:

أ) $N$ مناظرة $M(0;3)$ بالنسبة إلى $O$، إذن $N(0;-3)$

ب) $BM = \sqrt{17}$ و $CN = \sqrt{17}$

إذن $BM = CN$

التناظرات والدوائر
19 20 نقاط

ليكن $(O,I,J)$ معيّناً متعامداً في المستوي

  1. (1)
    1. عيّن النقطتين $A(3;2)$ و $B(-3;2)$
    2. بيّن أنّ $B$ و $A$ متناظرتان بالنسبة إلى $(OI)$
  2. (2)
    1. ابن النقطة $C$ مناظرة $B$ بالنسبة إلى $(OJ)$
    2. حدّد إحداثيات النقطة $C$
  3. (3) بيّن أنّ $O$ منتصف $[AC]$
  4. (4)
    1. عيّن النقطة $D(-1;0)$
    2. بيّن أنّ $\angle AOI = \angle COD$
  5. (5)
    1. ارسم الدائرة $\zeta$ التي مركزها $A$ و المارة من $O$
    2. ابن الدائرة $\zeta'$ مناظرة الدائرة $\zeta$ بالنسبة إلى $O$
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

خصائص مهمة:

  • نقطتان متناظرتان بالنسبة إلى $(OI)$ لهما نفس الترتيبة
  • التناظر المركزي يحافظ على الزوايا والمسافات
  • مناظرة دائرة هي دائرة لها نفس الشعاع

📝 الطريقة

  1. للسؤال 1: قارن إحداثيات النقطتين
  2. للسؤال 2: طبق التناظر بالنسبة إلى $(OJ)$
  3. للسؤال 3: احسب منتصف المقطع $[AC]$
  4. للسؤال 4: استخدم خصائص الزوايا والتناظر
  5. للسؤال 5: طبق خصائص التناظر على الدوائر

✅ الحل الكامل

السؤال 1:

أ) النقطتان $A(3;2)$ و $B(-3;2)$ معيّنتان

ب) $A(3;2)$ و $B(-3;2)$ لهما نفس الترتيبة ($2$) وفاصلتان متقابلتان

إذن هما متناظرتان بالنسبة إلى $(OI)$

السؤال 2:

أ) $C$ مناظرة $B(-3;2)$ بالنسبة إلى $(OJ)$

ب) $C(3;2)$ لأن التناظر بالنسبة إلى $(OJ)$ يغيّر إشارة الفاصلة

السؤال 3:
منتصف $[AC] = \left(\frac{3+3}{2};\frac{2+2}{2}\right) = (3;2)$

خطأ في الحساب: $C(3;2) = A(3;2)$

التصحيح: $C$ مناظرة $B$ بالنسبة إلى $(OJ)$ تعطي $C(3;2) = A$

إذن نحتاج مراجعة السؤال. إذا كان $C$ مختلف عن $A$، فإن منتصف $[AC] = O$ صحيح

السؤال 4:

أ) النقطة $D(-1;0)$ معيّنة

ب) بخصائص التناظر والهندسة، الزاويتان متساويتان

السؤال 5:

أ) الدائرة $\zeta$ مركزها $A(3;2)$ وتمر من $O$، شعاعها = $AO = \sqrt{13}$

ب) الدائرة $\zeta'$ مناظرة $\zeta$ بالنسبة إلى $O$ مركزها $A' = (-3;-2)$ وشعاعها $\sqrt{13}$

التناظرات والمنتصفات
20 15 نقاط

ليكن $(O,I,J)$ معيّناً متعامداً في المستوي حيث $OI \perp OJ$

  1. عيّن النقاط $A(2;3)$، $B(-4;1)$ و $C(-4;-1)$
  2. بيّن أنّ $B$ و $C$ متناظرتان بالنسبة إلى $(OI)$
  3. ابن النقطة $K$ منتصف $[AB]$ ثمّ حدّد إحداثياتها من خلال الرّسم
  4. لتكن $D$ مناظرة $B$ بالنسبة إلى $O$. حدّد إحداثياّت $D$
  5. لتكن $E(-2;-3)$. بيّن أنّ $A$ و $E$ متناظرتان بالنسبة إلى $O$
  6. لتكن $L(-1;2)$. أثبت أنّ $L$ منتصف $[DE]$
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

قواعد أساسية:

  • منتصف المقطع بين $(x_1,y_1)$ و $(x_2,y_2)$ هو $\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$
  • نقطتان متناظرتان بالنسبة إلى $(OI)$ لهما نفس الفاصلة
  • نقطتان متناظرتان بالنسبة إلى $O$ لهما إحداثيات متقابلة

📝 الطريقة

  1. للسؤال 1: عيّن النقاط على الشبكة
  2. للسؤال 2: تحقق من شروط التناظر حول $(OI)$
  3. للسؤال 3: احسب منتصف المقطع $[AB]$
  4. للسؤال 4: طبق التناظر المركزي
  5. للسؤال 5: تحقق من شروط التناظر حول $O$
  6. للسؤال 6: احسب منتصف المقطع $[DE]$

✅ الحل الكامل

السؤال 1:

النقاط $A(2;3)$، $B(-4;1)$ و $C(-4;-1)$ معيّنة على الرسم

السؤال 2:

$B(-4;1)$ و $C(-4;-1)$ لهما نفس الفاصلة ($-4$) وترتيبتان متقابلتان ($1$ و $-1$)

إذن هما متناظرتان بالنسبة إلى $(OI)$

السؤال 3:
$K = \left(\frac{2+(-4)}{2};\frac{3+1}{2}\right) = (-1;2)$
السؤال 4:

$D$ مناظرة $B(-4;1)$ بالنسبة إلى $O$

$D = (4;-1)$
السؤال 5:

$A(2;3)$ و $E(-2;-3)$ لهما إحداثيات متقابلة تماماً

إذن هما متناظرتان بالنسبة إلى $O$

السؤال 6:
منتصف $[DE] = \left(\frac{4+(-2)}{2};\frac{-1+(-3)}{2}\right) = (1;-2)$

خطأ في المعطيات: النتيجة لا تطابق $L(-1;2)$

مراجعة: إذا كان $L(-1;2)$ منتصف $[DE]$، فإن أحد النقطتين خاطئة في المعطيات