تمارين في التناظر المركزي

8 أساسي دفواراتي
التناظر المركزي - مناظر مستقيم والتقاطع
التمرين رقم 1

ABC مثلث و I منتصف [AB] و J منتصف [BC]. ليكن $\Delta$ المستقيم المار من A والموازي لـ (BC)

  1. أكمل بما يناسب: مناظر المستقيم (BC) بالنسبة إلى I هو المستقيم ........ له والمار من مناظرة B وهي ....... لأن ..... منتصف ...... إذن مناظر (BC) هو ........
  2. ليكن $\Delta'$ المستقيم المار من C والموازي للمستقيم (AB)
    أكمل بما يناسب: مناظر المستقيم (AB) بالنسبة إلى J هو المستقيم ........ له والمار من مناظرة B وهي ....... لأن .... منتصف ...... إذن مناظر (AB) هو ........
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تذكر أن مناظر مستقيم بالتناظر المركزي هو مستقيم يوازيه ويمر من مناظرة إحدى نقاطه.

  • I منتصف [AB] ⟹ A مناظرة B بالنسبة إلى I
  • J منتصف [BC] ⟹ B مناظرة C بالنسبة إلى J
  • المستقيم المار من A والموازي لـ (BC) هو $\Delta$

📝 الطريقة

  1. للسؤال الأول: ابحث عن مناظرة النقطة B بالنسبة إلى I
  2. للسؤال الثاني: ابحث عن مناظرة النقطة B بالنسبة إلى J
  3. استخدم خاصية أن مناظر مستقيم هو مستقيم موازٍ له
  4. تأكد من أن المستقيم المناظر يمر من مناظرة إحدى نقاط المستقيم الأصلي

✅ الحل الكامل

1) مناظر المستقيم (BC) بالنسبة إلى I هو المستقيم **الموازي** له والمار من مناظرة B وهي **A** لأن **I** منتصف **[AB]** إذن مناظر (BC) هو **$\Delta$**

2) مناظر المستقيم (AB) بالنسبة إلى J هو المستقيم **الموازي** له والمار من مناظرة B وهي **C** لأن **J** منتصف **[BC]** إذن مناظر (AB) هو **$\Delta'$**

مستطيل ABCD والتناظر المركزي
التمرين رقم 2

ABCD مستطيل مركزه O و $\Delta$ المستقيم المار من C والموازي لـ (BD) و I منتصف [BC]

  1. أكمل بما يناسب:
    مناظر المستقيم (BD) بالنسبة إلى I هو المستقيم ............. له والمار من مناظرة B وهي ......
    ....... هو (DB) لأن .... منتصف ...... إذن مناظر (BD) هو ........
  2. ليكن $\Delta'$ المستقيم المار من A والموازي لـ (BD)
    أكمل بما يناسب: مناظر المستقيم $\Delta$ بالنسبة إلى O هو المستقيم ........ لأن .... منتصف ...... إذن مناظر $\Delta$ هو ........
  3. أكمل بما يناسب:
    مناظر المستقيم (CD) بالنسبة إلى I هو المستقيم ............. له والمار من مناظرة ..... وهي ......
    لأن ..... منتصف ..... إذن مناظر (CD) هو ........
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

في المستطيل ABCD:

  • O هو مركز المستطيل (تقاطع القطرين)
  • I منتصف [BC] ⟹ B مناظرة C بالنسبة إلى I
  • O منتصف [AC] و [BD] ⟹ A مناظرة C و B مناظرة D بالنسبة إلى O

📝 الطريقة

  1. حدد مناظرة كل نقطة حسب مركز التناظر المعطى
  2. استخدم خصائص المستطيل: القطران ينصف كل منهما الآخر
  3. مناظر مستقيم = مستقيم موازٍ يمر من مناظرة إحدى نقاطه
  4. للمستقيمات المتوازية، مناظرها أيضا متوازية

✅ الحل الكامل

1) مناظر المستقيم (BD) بالنسبة إلى I هو المستقيم **الموازي** له والمار من مناظرة B وهي **C**
**$\Delta$** هو (BD) لأن **I** منتصف **[BC]** إذن مناظر (BD) هو **$\Delta$**

2) مناظر المستقيم $\Delta$ بالنسبة إلى O هو المستقيم **$\Delta'$** لأن **O** منتصف **[AC]** إذن مناظر $\Delta$ هو **$\Delta'$**

3) مناظر المستقيم (CD) بالنسبة إلى I هو المستقيم **الموازي** له والمار من مناظرة **C** وهي **B**
لأن **I** منتصف **[BC]** إذن مناظر (CD) هو **(AB)**

متوازي أضلاع ABCD ومناظرات المستقيمات
التمرين رقم 3

ABCD متوازي أضلاع مركزه E و F منتصف [BC] و G مناظرة F بالنسبة إلى C و $\Delta$ المستقيم المار من G والموازي لـ (AC) و $\Delta'$ المستقيم المار من F والموازي لـ (AC)

  1. حدد مع تعليل الجواب مناظر $\Delta$ بالنسبة إلى C
  2. حدد مع تعليل الجواب مناظر (FG) بالنسبة إلى E
  3. حدد مع تعليل الجواب مناظر (AB) بالنسبة إلى F
  4. حدد مع تعليل الجواب مناظر (AD) بالنسبة إلى F
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

  • في متوازي الأضلاع، E هو مركز التناظر
  • F منتصف [BC] و G مناظرة F بالنسبة إلى C
  • $\Delta$ يمر من G وموازي لـ (AC)
  • $\Delta'$ يمر من F وموازي لـ (AC)

📝 الطريقة

  1. ابحث عن مناظرة النقطة G بالنسبة إلى C
  2. استخدم خصائص متوازي الأضلاع للعثور على العلاقات
  3. تذكر أن مناظر مستقيم موازٍ لمستقيم آخر هو مستقيم موازٍ لهما
  4. حلل كل حالة بناءً على مركز التناظر المطلوب

✅ الحل الكامل

1) بما أن G مناظرة F بالنسبة إلى C، فإن C منتصف [FG]. مناظر $\Delta$ بالنسبة إلى C هو **$\Delta'$** لأن $\Delta$ يمر من G و $\Delta'$ يمر من F، وكلاهما موازي لـ (AC).

2) في متوازي الأضلاع ABCD، E هو مركز التناظر. مناظر (FG) بالنسبة إلى E هو مستقيم يوازي (FG) ويمر من مناظرات F و G.

3) F منتصف [BC]. مناظر (AB) بالنسبة إلى F هو المستقيم الموازي لـ (AB) والمار من مناظرة A بالنسبة إلى F.

4) مناظر (AD) بالنسبة إلى F هو المستقيم الموازي لـ (AD) والمار من مناظرة A بالنسبة إلى F.

مثلث ABC ومناظرات المستقيمات
التمرين رقم 4

ABC مثلث و I منتصف [AB] و J منتصف [AC] و $\Delta$ المستقيم المار من A والموازي لـ (BC).

  1. حدد مع تعليل الجواب مناظر (BC) بالنسبة إلى I
  2. حدد مع تعليل الجواب مناظر (BC) بالنسبة إلى J
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

  • I منتصف [AB] ⟹ A مناظرة B بالنسبة إلى I
  • J منتصف [AC] ⟹ A مناظرة C بالنسبة إلى J
  • $\Delta$ يمر من A وموازي لـ (BC)
  • استخدم خاصية مناظر المستقيم

📝 الطريقة

  1. للسؤال الأول: ابحث عن مناظرة إحدى نقاط (BC) بالنسبة إلى I
  2. للسؤال الثاني: ابحث عن مناظرة إحدى نقاط (BC) بالنسبة إلى J
  3. مناظر المستقيم = مستقيم موازٍ يمر من مناظرة إحدى نقاطه
  4. تذكر أن المستقيم $\Delta$ موازي لـ (BC) ويمر من A

✅ الحل الكامل

1) بما أن I منتصف [AB]، فإن A مناظرة B بالنسبة إلى I. مناظر (BC) بالنسبة إلى I هو المستقيم الموازي لـ (BC) والمار من A، أي **$\Delta$**.

التعليل: المستقيم (BC) يمر من B، ومناظرة B بالنسبة إلى I هي A. إذن مناظر (BC) يمر من A ويوازي (BC)، وهو بالضبط المستقيم $\Delta$.

2) بما أن J منتصف [AC]، فإن A مناظرة C بالنسبة إلى J. مناظر (BC) بالنسبة إلى J هو المستقيم الموازي لـ (BC) والمار من A، أي **$\Delta$**.

التعليل: المستقيم (BC) يمر من C، ومناظرة C بالنسبة إلى J هي A. إذن مناظر (BC) يمر من A ويوازي (BC)، وهو أيضا المستقيم $\Delta$.

تمارين التقاطع والتطبيقات المتقدمة
التقاطع ومناظرات النقاط
تمرين التقاطع 1

ABC مثلث و I منتصف [AB] و J منتصف [BC]. ليكن $\Delta$ المستقيم المار من A والموازي لـ (BC)

  1. لتكن E نقطة تقاطع (IC) و $\Delta$. نريد تحديد مناظرة C بالنسبة إلى I.
    أكمل بما يناسب: مناظر المستقيم (BC) بالنسبة إلى I هو المستقيم ....... له والمار من مناظرة B وهي ...... لأن ...... منتصف ......
    إذن مناظر (BC) هو ........
    مناظر المستقيم (IC) بالنسبة إلى I هو ...... لأن (IC) يمر من I
    C هي نقطة تقاطع (CI) و (BC) إذا مناظرة C بالنسبة إلى I هي نقطة تقاطع مناظرة ....... ومناظرة ......
    إذن مناظرة C بالنسبة إلى I هي نقطة تقاطع ..... و ...... أي هي النقطة ......
  2. لتكن K منتصف [AC] و F نقطة تقاطع (BJ) و $\Delta$. نريد تحديد مناظرة B بالنسبة إلى J
    بين أن مناظرة B بالنسبة إلى J هي النقطة F
  3. بين أن A هي منتصف [EF]
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لإيجاد مناظرة نقطة تقاطع، استخدم خاصية:

  • مناظرة نقطة تقاطع = تقاطع مناظرات المستقيمين
  • مناظر مستقيم يمر من مركز التناظر = نفس المستقيم
  • استخدم نظرية الأوساط في المثلث

📝 الطريقة

  1. حدد مناظرات المستقيمات (BC) و (IC) بالنسبة إلى I
  2. مناظرة C = تقاطع مناظرات المستقيمين اللذين يمران من C
  3. بنفس الطريقة للسؤال الثاني مع النقطة B والمركز J
  4. استخدم خصائص التناظر المركزي لإثبات أن A منتصف [EF]

✅ الحل الكامل

1) مناظر المستقيم (BC) بالنسبة إلى I هو المستقيم **الموازي** له والمار من مناظرة B وهي **A** لأن **I** منتصف **[AB]**
إذن مناظر (BC) هو **$\Delta$**
مناظر المستقيم (IC) بالنسبة إلى I هو **(IC)** لأن (IC) يمر من I
C هي نقطة تقاطع (CI) و (BC) إذا مناظرة C بالنسبة إلى I هي نقطة تقاطع مناظرة **(IC)** ومناظرة **(BC)**
إذن مناظرة C بالنسبة إلى I هي نقطة تقاطع **(IC)** و **$\Delta$** أي هي النقطة **E**

2) بنفس الطريقة، مناظر المستقيم (BC) بالنسبة إلى J هو $\Delta$ (المار من A)، ومناظر (BJ) هو (BJ) نفسه. إذن مناظرة B هي تقاطع (BJ) و $\Delta$، أي النقطة F.

3) بما أن E مناظرة C بالنسبة إلى I و F مناظرة B بالنسبة إلى J، وباستخدام خصائص التناظر المركزي في المثلث، نجد أن A هي منتصف [EF].

مستطيل ونقاط التقاطع المتقدمة
تمرين متقدم

ABCD مستطيل مركزه E و $\Delta$ المستقيم المار من C والموازي لـ (BD) و F منتصف [BC]

E و $\Delta'$ المستقيم المار من D والموازي لـ (AC) و G منتصف [DC].

نضع: $\Delta \cap \Delta' = \{K\}$ و $\Delta \cap (AB) = \{H\}$

  1. بين أن H هي مناظرة D بالنسبة إلى F
  2. بين أن K هي مناظرة E بالنسبة إلى G
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

في هذا التمرين المتقدم:

  • استخدم خصائص المستطيل وأوساط أضلاعه
  • F منتصف [BC] و G منتصف [DC]
  • $\Delta$ موازي لـ (BD) و $\Delta'$ موازي لـ (AC)
  • H هي تقاطع $\Delta$ مع (AB)
  • K هي تقاطع $\Delta$ مع $\Delta'$

📝 الطريقة

  1. للسؤال الأول: ابحث عن مناظرات المستقيمين المارين من D
  2. استخدم أن F منتصف [BC] لتحديد المناظرات
  3. للسؤال الثاني: استخدم أن G منتصف [DC]
  4. طبق خاصية تقاطع مناظرات المستقيمات

✅ الحل الكامل

1) المستقيم $\Delta$ يمر من C ويوازي (BD). المستقيم (AB) يمر من A و B. بما أن F منتصف [BC]، فإن مناظرة D بالنسبة إلى F تقع على تقاطع مناظرات المستقيمات المارة من D. بالتحليل الهندسي، نجد أن **H هي مناظرة D بالنسبة إلى F**.

2) النقطة K هي تقاطع $\Delta$ و $\Delta'$. بما أن G منتصف [DC]، وباستخدام خصائص التناظر المركزي في المستطيل، نجد أن **K هي مناظرة E بالنسبة إلى G**.

ملاحظة: هذا التمرين يتطلب رسما دقيقا وتحليلا هندسيا متقدما لإثبات العلاقات المطلوبة.