تمارين في التناظر المركزي

8 أساسي دفواراتي
دوائر متناظرة وقطعة مستقيم
تمرين 7

ليكن $(O,I,J)$ معينا متعامدا في المستوي حيث $OI=OJ=1\text{cm}$.

  1. عين النقطتين $A(3,1)$ و $B(-3,-1)$.
  2. بين أن O منتصف $[AB]$.
  3. ما هي مناظرة قطعة المستقيم $[AB]$ بالنسبة إلى O؟ علل جوابك.
  4. أرسم الدائرة $\mathscr{C}$ التي مركزها A وشعاعها $2\text{cm}$ ثم ابن الدائرة $\mathscr{C'}$ مناظرة $\mathscr{C}$ بالنسبة إلى O. حدد معللا جوابك مركزها وشعاعها.
  5. الدائرة $\mathscr{C}$ تقطع $[AB]$ في نقطة E والدائرة $\mathscr{C'}$ تقطع $[AB]$ في نقطة F. بين أن E و F متناظرتين بالنسبة إلى O.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

النقطة O هي منتصف قطعة مستقيم إذا كانت إحداثياتها هي متوسط إحداثيات طرفي القطعة. صورة دائرة بتناظر مركزي هي دائرة لها نفس الشعاع ومركزها هو مناظر المركز الأصلي.

📝 الطريقة

  1. 2) احسب إحداثيات منتصف $[AB]$: $(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2})$ وقارنها بإحداثيات O.
  2. 3) صورة قطعة مستقيم بتناظر مركزي مركزه منتصفها هي القطعة نفسها.
  3. 4) مركز الدائرة $\mathscr{C'}$ هو صورة مركز $\mathscr{C}$ (أي A) بالنسبة لـ O. الشعاع لا يتغير.
  4. 5) E نقطة من $[AB]$ و $\mathscr{C}$. صورتها F ستكون نقطة من صورة $[AB]$ (أي $[AB]$) ومن صورة $\mathscr{C}$ (أي $\mathscr{C'}$). إذن F هي نقطة تقاطع $[AB]$ و $\mathscr{C'}$.

✅ الحل الكامل

2) إحداثيات منتصف $[AB]$ هي $(\frac{3+(-3)}{2}, \frac{1+(-1)}{2}) = (\frac{0}{2}, \frac{0}{2}) = (0,0)$, وهي إحداثيات النقطة O. إذن O منتصف $[AB]$.

3) مناظرة قطعة المستقيم $[AB]$ بالنسبة لمنتصفها O هي قطعة المستقيم $[AB]$ نفسها، لأن صورة A هي B وصورة B هي A.

4) الدائرة $\mathscr{C'}$ هي مناظرة $\mathscr{C}$ بالنسبة لـ O. مركزها هو مناظر A بالنسبة لـ O، أي النقطة B. شعاعها هو نفس شعاع $\mathscr{C}$، أي $2\text{cm}$.

5) E هي نقطة تقاطع $[AB]$ و $\mathscr{C}$. صورتها بالتناظر المركزي O هي F. بما أن صورة $[AB]$ هي $[AB]$ وصورة $\mathscr{C}$ هي $\mathscr{C'}$, فإن F هي نقطة تقاطع $[AB]$ و $\mathscr{C'}$. بما أن F هي صورة E بالنسبة لـ O، فإنهما متناظرتان بالنسبة لـ O.

تناظر مركزي ومحوري في معين
تمرين 8

ليكن $(O,I,J)$ معينا متعامدا حيث $OI=OJ=1\text{cm}$.

  1. أ - عين النقطتين $A(4,3)$ و $B(-2,2)$.
    ب - ابن النقطتين A' و B' مناظرتي A و B بالنسبة إلى O ثم حدد إحداثيات كل منهما.
  2. أ - عين النقطة C مناظرة A بالنسبة إلى $(OI)$.
    ب - حدد إحداثيات النقطة C.
    ج - استنتج أن المثلث OAC متقايس الضلعين.
  3. أ - عين $D(-4,3)$.
    ب - بين أن: $A'AC = AA'D$.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

التناظر بالنسبة للمبدأ O يغير إشارة الإحداثيتين. التناظر بالنسبة لمحور السينات (OI) يغير إشارة الترتيب فقط. لإثبات أن مثلثا متقايس الضلعين، احسب أطوال أضلاعه.

📝 الطريقة

  1. 1-ب) إحداثيات A' و B' هي مقابل إحداثيات A و B.
  2. 2-ب) C نظيرة A بالنسبة لـ (OI)، إذن لها نفس الفاصلة وترتيبها مقابل لترتيب A.
  3. 2-ج) O ينتمي إلى المحور (OI)، والتناظر المحوري يحافظ على المسافات، استنتج OA و OC.
  4. 3-ب) لإثبات تساوي الزاويتين، يمكن إثبات تطابق المثلثين A'AC و AA'D أو استخدام خصائص متوازي الأضلاع.

✅ الحل الكامل

1-ب) A' مناظرة $A(4,3)$ بالنسبة لـ O، إذن $A'(-4,-3)$.
B' مناظرة $B(-2,2)$ بالنسبة لـ O، إذن $B'(2,-2)$.

2-ب) C مناظرة $A(4,3)$ بالنسبة لـ (OI)، إذن $C(4,-3)$.

2-ج) O ينتمي إلى المحور (OI) وC مناظرة A بالنسبة إلى هذا المحور، والتناظر المحوري يحافظ على المسافات، إذن $OA=OC$.
بما أن $OA=OC$, فالمثلث OAC متقايس الضلعين في O.

3-ب) الرباعي ACA'D له $A(4,3)$, $C(4,-3)$, $A'(-4,-3)$, $D(-4,3)$.
منتصف [AA'] هو $(\frac{4-4}{2}, \frac{3-3}{2}) = (0,0)$.
منتصف [CD] هو $(\frac{4-4}{2}, \frac{-3+3}{2}) = (0,0)$.
بما أن القطرين يتقاطعان في منتصفهما، فإن ACA'D متوازي أضلاع.
الزاويتان $\angle A'AC$ و $\angle AA'D$ متبادلتان داخليا بالنسبة للمتوازيين (AC) و (A'D) والقاطع (AA')، إذن هما متساويتان.

مثلث قائم ومنصف زاوية
تمرين 9

في معين متعامد $(O,I,J)$, عين النقاط $E(4,1); F(4,-1); G(-4,-1); H(-4,1)$.

  1. بين أن المثلث EFG قائم الزاوية في F.
  2. بين أن [OI) هو منصف الزاوية OEF.
  3. بين أن $FH = EG$.
  4. بين أن المثلثين EGF و FHG لهما نفس المساحة.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لإثبات أن مثلثًا قائم في المعلم، لاحظ اتجاه ضلعيه: إذا كان أحدهما رأسيًا (نفس الفاصلة) والآخر أفقيًا (نفس الترتيب) فهما متعامدان والزاوية بينهما قائمة. ولإثبات تقايس قطعتين هما قطرا مستطيل، استعمل خاصية تقايس قطري المستطيل. مساحة المثلث تساوي (القاعدة × الارتفاع) ÷ 2.

📝 الطريقة

  1. 1) لاحظ اتجاه المستقيمين (EF) و (FG): (EF) رأسي (نفس الفاصلة) و(FG) أفقي (نفس الترتيب)، إذن هما متعامدان.
  2. 2) لاحظ أن F نظيرة E بالنسبة للمحور (OI)، فالمثلث OEF متقايس الضلعين في O، ومنصف زاويته الرئيسية هو نفسه الموسط العمودي للقاعدة [EF].
  3. 3) بيّن أن الرباعي EFGH مستطيل، ثم استعمل أن قطري المستطيل متقايسان لاستنتاج FH = EG.
  4. 4) الرباعي EFGH هو مستطيل. المثلثان EGF و FHG هما مثلثان متطابقان يشكلان المستطيل. إذن لهما نفس المساحة.

✅ الحل الكامل

1) النقطتان $E(4,1)$ و $F(4,-1)$ لهما نفس الفاصلة $4$، إذن $(EF)$ مستقيم رأسي. والنقطتان $F(4,-1)$ و $G(-4,-1)$ لهما نفس الترتيب $-1$، إذن $(FG)$ مستقيم أفقي. وبما أن المستقيم الرأسي عمودي على المستقيم الأفقي، فإن $(EF) \perp (FG)$، والمثلث EFG قائم في F.

2) النقطة F هي نظيرة E بالنسبة للمحور (OI). المثلث OEF متقايس الضلعين في O. منصف الزاوية الرئيسية [OI) هو أيضا الموسط العمودي للقاعدة [EF]. إذن [OI) هو منصف الزاوية OEF.

3) في الرباعي EFGH: الضلعان $(EF)$ و $(GH)$ رأسيان (متوازيان)، والضلعان $(FG)$ و $(HE)$ أفقيان (متوازيان)، إذن هو متوازي أضلاع. وله زاوية قائمة في $F$ (رأسي عمودي على أفقي)، إذن EFGH مستطيل.
والقطعتان $[FH]$ و $[EG]$ هما قطرا هذا المستطيل، وقطرا المستطيل متقايسان، إذن $FH = EG$.

4) المثلثان EGF و FHG هما مثلثان قائمان متطابقان (لهما نفس الوتر EG ونفس الضلع FG). إذن لهما نفس المساحة، وهي نصف مساحة المستطيل EFHG.