التناظر والتعيين - تمارين تطبيقية

الأستاذ: جوهر سويسي
التناظر في المعين المتعامد
تمرين 1 7 نقاط

ليكن $(O,I,J)$ معيّناً متعامداً في المستوي.

أكمل بما يناسب:

• نقطتان متناظرتان بالنسبة إلى محور الفواصل لهما
• نقطتان متناظرتان بالنسبة إلى محور الترتيبات لهما
• نقطتان متناظرتان بالنسبة إلى $O$ لهما
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

خصائص التناظر في المعين المتعامد:

  • التناظر بالنسبة إلى $(OI)$: يغير إشارة الترتيبة فقط
  • التناظر بالنسبة إلى $(OJ)$: يغير إشارة الفاصلة فقط
  • التناظر بالنسبة إلى $O$: يغير إشارة كلا الإحداثيتين

📝 الطريقة

إذا كان $A(x,y)$ نقطة في المستوي:

  1. مناظرة $A$ بالنسبة إلى $(OI)$: $A'(x,-y)$
  2. مناظرة $A$ بالنسبة إلى $(OJ)$: $A'(-x,y)$
  3. مناظرة $A$ بالنسبة إلى $O$: $A'(-x,-y)$

✅ الحل الكامل

• نقطتان متناظرتان بالنسبة إلى محور الفواصل لهما نفس الفاصلة وترتيبتان متقابلتان
• نقطتان متناظرتان بالنسبة إلى محور الترتيبات لهما نفس الترتيبة وفاصلتان متقابلتان
• نقطتان متناظرتان بالنسبة إلى $O$ لهما إحداثيتان متقابلتان
تحديد النقاط المتناظرة
تمرين 2 3 نقاط

ليكن $(O,I,J)$ معيناً متعامداً في المستوي

من بين هذه النقاط: $A(-3;-1)$، $B(-3;1)$، $C(3;-1)$، $D(3;1)$
  1. أذكر النقاط المتناظرة بالنسبة إلى المستقيم $(OI)$
  2. أذكر النقاط المتناظرة بالنسبة إلى المستقيم $(OJ)$
  3. أذكر النقاط المتناظرة بالنسبة إلى النقطة $O$
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لتحديد النقاط المتناظرة، قارن إحداثيات النقاط:

  • بالنسبة إلى $(OI)$: ابحث عن نقاط لها نفس الفاصلة وترتيبات متقابلة
  • بالنسبة إلى $(OJ)$: ابحث عن نقاط لها نفس الترتيبة وفاصلات متقابلة
  • بالنسبة إلى $O$: ابحث عن نقاط لها إحداثيات متقابلة تماماً

📝 الطريقة

نقارن الإحداثيات للنقاط المعطاة:

  • $A(-3;-1)$، $B(-3;1)$، $C(3;-1)$، $D(3;1)$

نطبق قواعد التناظر على كل زوج من النقاط.

✅ الحل الكامل

السؤال 1: النقاط المتناظرة بالنسبة إلى $(OI)$:

$A(-3;-1)$ و $B(-3;1)$ (نفس الفاصلة $-3$، ترتيبات متقابلة)

$C(3;-1)$ و $D(3;1)$ (نفس الفاصلة $3$، ترتيبات متقابلة)

السؤال 2: النقاط المتناظرة بالنسبة إلى $(OJ)$:

$A(-3;-1)$ و $C(3;-1)$ (نفس الترتيبة $-1$، فاصلات متقابلة)

$B(-3;1)$ و $D(3;1)$ (نفس الترتيبة $1$، فاصلات متقابلة)

السؤال 3: النقاط المتناظرة بالنسبة إلى $O$:

$A(-3;-1)$ و $D(3;1)$ (إحداثيات متقابلة تماماً)

$B(-3;1)$ و $C(3;-1)$ (إحداثيات متقابلة تماماً)

إكمال الجدول
تمرين 3 7 نقاط

ليكن $(O,I,J)$ معيّناً متعامداً في المستوي

أكمل بما يناسب:

• النقطتان $A(3;-2)$ و $B(-3;2)$ متناظرتان بالنسبة إلى
• النقطتان $C(-1;4)$ و $D(1;-4)$ متناظرتان بالنسبة إلى
• النقطتان $E(-6;5)$ و $F(6;-5)$ متناظرتان بالنسبة إلى
• النقطتان $G(\ldots;\ldots)$ و $H(2;4)$ متناظرتان بالنسبة إلى $(OI)$
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لتحديد التناظر، انظر إلى العلاقة بين الإحداثيات:

  • إذا كان $A(x,y)$ و $B(-x,-y)$ ← متناظرتان بالنسبة إلى $O$
  • إذا كان $A(x,y)$ و $B(x,-y)$ ← متناظرتان بالنسبة إلى $(OI)$
  • إذا كان $A(x,y)$ و $B(-x,y)$ ← متناظرتان بالنسبة إلى $(OJ)$

📝 الطريقة

  1. قارن إحداثيات كل زوج من النقاط
  2. حدد العلاقة بين الفاصلات والترتيبات
  3. طبق القواعد لتحديد نوع التناظر
  4. للنقطة المجهولة، طبق التحويل العكسي

✅ الحل الكامل

• النقطتان $A(3;-2)$ و $B(-3;2)$ متناظرتان بالنسبة إلى $O$
التوضيح: $3 = -(-3)$ و $-2 = -(2)$
• النقطتان $C(-1;4)$ و $D(1;-4)$ متناظرتان بالنسبة إلى $O$
التوضيح: $-1 = -(1)$ و $4 = -(-4)$
• النقطتان $E(-6;5)$ و $F(6;-5)$ متناظرتان بالنسبة إلى $O$
التوضيح: $-6 = -(6)$ و $5 = -(-5)$
• النقطتان $G(2;-4)$ و $H(2;4)$ متناظرتان بالنسبة إلى $(OI)$
التوضيح: نفس الفاصلة، ترتيبات متقابلة
المسائل الهندسية والرباعيات
تمرين 4 10 نقاط

ليكن $(O,I,J)$ معيناً متعامداً في المستوي والنقاط: $A(3;-2)$، $B(2;1)$، $C(-3;2)$، $D(-2;-1)$

  1. ما هي طبيعة الرباعي $ABCD$؟ علّل جوابك
  2. ليكن النقاط: $A(-3;2)$، $B(3;2)$، $C(3;-2)$، $D(-3;-2)$
    بيّن أنّ الرباعي $ABCD$ مستطيل
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

خصائص الرباعيات الخاصة:

  • متوازي الأضلاع: النقطتان القطريتان تتقاطعان في منتصفيهما
  • المعين: متوازي أضلاع + جميع الأضلاع متساوية
  • المستطيل: متوازي أضلاع + زاوية قائمة
  • المربع: مستطيل + معين

📝 الطريقة

  1. للسؤال الأول:
    • احسب منتصف كل قطر
    • تحقق من التناظرات المركزية
    • حدد نوع الرباعي
  2. للسؤال الثاني:
    • تحقق من خصائص المستطيل
    • استخدم التناظرات لإثبات الزوايا القائمة

✅ الحل الكامل

السؤال 1:

للنقاط: $A(3;-2)$، $B(2;1)$، $C(-3;2)$، $D(-2;-1)$

منتصف القطر $[AC]$: $\left(\frac{3+(-3)}{2};\frac{-2+2}{2}\right) = (0;0) = O$

منتصف القطر $[BD]$: $\left(\frac{2+(-2)}{2};\frac{1+(-1)}{2}\right) = (0;0) = O$

إذن $O$ منتصف للقطرين، لذلك $ABCD$ متوازي أضلاع
السؤال 2:

للنقاط: $A(-3;2)$، $B(3;2)$، $C(3;-2)$، $D(-3;-2)$

نلاحظ أن:

  • $A$ و $C$ متناظرتان بالنسبة إلى $O$
  • $B$ و $D$ متناظرتان بالنسبة إلى $O$
  • $AB = CD = 6$ (أضلاع متقابلة متساوية)
  • $AD = BC = 4$ (أضلاع متقابلة متساوية)
  • $\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AD}$ (زاوية قائمة)
إذن $ABCD$ مستطيل
جدول التناظرات الشامل
تمرين 5 12 نقاط

ليكن $(O,I,J)$ معيّناً متعامداً في المستوي

أكمل الجدول التالي:

النقطة مناظرتها بالنسبة إلى $O$ مناظرتها بالنسبة إلى $(OI)$ مناظرتها بالنسبة إلى $(OJ)$
$A_1(2;-1)$
$B_1(\ldots;\ldots)$ $B_2(5;-3)$
$C_1(\ldots;\ldots)$ $C_3(-1;2)$
$D_1(\ldots;\ldots)$ $D_4(0;-4)$
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استراتيجية الحل:

  • ابدأ بالنقاط المعطاة واستخدم قواعد التحويل
  • للنقاط المجهولة، اعمل بالاتجاه العكسي من النتيجة المعطاة
  • تحقق من اتساق جميع التحويلات

📝 الطريقة

لكل نقطة $P(x,y)$:

  • مناظرها بالنسبة إلى $O$: $P'(-x,-y)$
  • مناظرها بالنسبة إلى $(OI)$: $P'(x,-y)$
  • مناظرها بالنسبة إلى $(OJ)$: $P'(-x,y)$

للتحويل العكسي، طبق نفس القاعدة مرة أخرى.

✅ الحل الكامل

النقطة مناظرتها بالنسبة إلى $O$ مناظرتها بالنسبة إلى $(OI)$ مناظرتها بالنسبة إلى $(OJ)$
$A_1(2;-1)$ $A_4(-2;1)$ $A_3(2;1)$ $A_2(-2;-1)$
$B_1(-5;3)$ $B_4(5;-3)$ $B_2(5;-3)$ $B_3(5;3)$
$C_1(1;2)$ $C_4(-1;-2)$ $C_3(1;-2)$ $C_2(-1;2)$
$D_1(0;4)$ $D_4(0;-4)$ $D_3(0;-4)$ $D_2(0;4)$
التفاصيل:
  • الصف الثاني: من $B_2(5;-3)$ بالتناظر حول $(OI)$، نحصل على $B_1(-5;3)$
  • الصف الثالث: من $C_3(-1;2)$ بالتناظر حول $(OJ)$، نحصل على $C_1(1;2)$
  • الصف الرابع: من $D_4(0;-4)$ بالتناظر حول $O$، نحصل على $D_1(0;4)$