في معلم متعامد ممنظم $(O, I, J)$, نعتبر النقطتين $A(3, 5)$ و $B(3, -5)$.
بيّن أن النقطتين $A$ و $B$ متناظرتان بالنسبة للمستقيم $(OI)$.
ما هي العلاقة بين إحداثيات نقطتين متناظرتين بالنسبة لمحور الفواصل $(OI)$؟
1. قارن فاصلة النقطة $A$ وفاصلة النقطة $B$.
2. قارن ترتيب النقطة $A$ وترتيب النقطة $B$.
3. استنتج من هذه المقارنة طبيعة التناظر بين النقطتين.
لدينا النقطتان $A(3, 5)$ و $B(3, -5)$.
نلاحظ أن لهما نفس الفاصلة: $x_A = x_B = 3$.
ونلاحظ أن ترتيبهما متقابلان: $y_A = -y_B$ (لأن $5 = -(-5)$).
بما أن للنقطتين نفس الفاصلة وترتيبين متقابلين، فإنهما متناظرتان بالنسبة لمحور الفواصل $(OI)$.
في معلم متعامد ممنظم $(O, I, J)$, نعتبر النقطة $C(-4, 2)$.
أوجد إحداثيات النقطة $C'$, مناظرة $C$ بالنسبة للمستقيم $(OI)$.
التناظر بالنسبة لـ $(OI)$ يحافظ على الفاصلة ويغير إشارة الترتيب.
1. فاصلة $C'$ هي نفسها فاصلة $C$.
2. ترتيب $C'$ هو مقابل ترتيب $C$.
3. اكتب إحداثيات $C'$.
لتكن $C'(x', y')$ مناظرة $C(-4, 2)$ بالنسبة لـ $(OI)$.
لدينا القاعدة: $x' = x_C$ و $y' = -y_C$.
إذن: $x' = -4$ و $y' = -2$.
إحداثيات النقطة $C'$ هي $(-4, -2)$.
في معلم متعامد ممنظم $(O, I, J)$, نعتبر النقطتين $D(-7, 4)$ و $E(7, 4)$.
بيّن أن النقطتين $D$ و $E$ متناظرتان بالنسبة للمستقيم $(OJ)$.
ما هي العلاقة بين إحداثيات نقطتين متناظرتين بالنسبة لمحور التراتيب $(OJ)$؟
1. قارن ترتيب النقطة $D$ وترتيب النقطة $E$.
2. قارن فاصلة النقطة $D$ وفاصلة النقطة $E$.
3. استنتج من هذه المقارنة طبيعة التناظر بين النقطتين.
لدينا النقطتان $D(-7, 4)$ و $E(7, 4)$.
نلاحظ أن لهما نفس الترتيب: $y_D = y_E = 4$.
ونلاحظ أن فاصلتيهما متقابلتان: $x_D = -x_E$ (لأن $-7 = -(7)$).
بما أن للنقطتين نفس الترتيب وفاصلتين متقابلتين، فإنهما متناظرتان بالنسبة لمحور التراتيب $(OJ)$.
في معلم متعامد ممنظم $(O, I, J)$, نعتبر النقطة $F(5, -1)$.
أوجد إحداثيات النقطة $F'$, مناظرة $F$ بالنسبة للمستقيم $(OJ)$.
التناظر بالنسبة لـ $(OJ)$ يحافظ على الترتيب ويغير إشارة الفاصلة.
1. ترتيب $F'$ هو نفسه ترتيب $F$.
2. فاصلة $F'$ هي مقابل فاصلة $F$.
3. اكتب إحداثيات $F'$.
لتكن $F'(x', y')$ مناظرة $F(5, -1)$ بالنسبة لـ $(OJ)$.
لدينا القاعدة: $x' = -x_F$ و $y' = y_F$.
إذن: $x' = -5$ و $y' = -1$.
إحداثيات النقطة $F'$ هي $(-5, -1)$.
في معلم متعامد ممنظم $(O, I, J)$, نعتبر النقطتين $G(8, -6)$ و $H(-8, 6)$.
بيّن أن النقطتين $G$ و $H$ متناظرتان بالنسبة للمبدأ $O$.
يمكنك إثبات ذلك بطريقتين: إما بمقارنة الإحداثيات، أو بإثبات أن $O$ هي منتصف القطعة $[GH]$.
1. قارن فاصلة $G$ بفاصلة $H$.
2. قارن ترتيب $G$ بترتيب $H$.
3. ماذا تلاحظ على الإحداثيات؟ استنتج التناظر.
لدينا النقطتان $G(8, -6)$ و $H(-8, 6)$.
نلاحظ أن فاصلتيهما متقابلتان: $x_G = -x_H$ (لأن $8 = -(-8)$).
ونلاحظ أن ترتيبهما متقابلان: $y_G = -y_H$ (لأن $-6 = -(6)$).
بما أن فاصلتي وترتيبي النقطتين متقابلان، فإنهما متناظرتان بالنسبة للمبدأ $O$.
في معلم متعامد ممنظم $(O, I, J)$, نعتبر النقطة $K(-2, -9)$.
أوجد إحداثيات النقطة $K'$, مناظرة $K$ بالنسبة للمبدأ $O$.
التناظر بالنسبة للمبدأ يغير إشارة الفاصلة والترتيب معًا.
1. فاصلة $K'$ هي مقابل فاصلة $K$.
2. ترتيب $K'$ هو مقابل ترتيب $K$.
3. اكتب إحداثيات $K'$.
لتكن $K'(x', y')$ مناظرة $K(-2, -9)$ بالنسبة للمبدأ $O$.
لدينا القاعدة: $x' = -x_K$ و $y' = -y_K$.
إذن: $x' = -(-2) = 2$ و $y' = -(-9) = 9$.
إحداثيات النقطة $K'$ هي $(2, 9)$.
نعتبر النقطتين $A(5, 4)$ و $B(5, -4)$.
أثبت أن المستقيم $(AB)$ يوازي محور التراتيب $(OJ)$.
ماذا يميز إحداثيات جميع النقاط على مستقيم يوازي محور التراتيب؟
1. قارن فاصلتي النقطتين $A$ و $B$.
2. بما أن لهما نفس الفاصلة، فإن المستقيم $(AB)$ هو مستقيم عمودي.
3. استنتج علاقته بمحور التراتيب $(OJ)$ الذي هو أيضًا مستقيم عمودي.
لدينا $A(5, 4)$ و $B(5, -4)$.
نلاحظ أن للنقطتين نفس الفاصلة: $x_A = x_B = 5$.
كل مستقيم تكون لجميع نقاطه نفس الفاصلة هو مستقيم عمودي يوازي محور التراتيب $(OJ)$.
إذن، $(AB) // (OJ)$.
نعتبر النقطتين $C(-3, 6)$ و $D(2, 6)$.
أثبت أن المستقيم $(CD)$ يوازي محور الفواصل $(OI)$.
ماذا يميز إحداثيات جميع النقاط على مستقيم يوازي محور الفواصل؟
1. قارن ترتيبي النقطتين $C$ و $D$.
2. بما أن لهما نفس الترتيب، فإن المستقيم $(CD)$ هو مستقيم أفقي.
3. استنتج علاقته بمحور الفواصل $(OI)$ الذي هو أيضًا مستقيم أفقي.
لدينا $C(-3, 6)$ و $D(2, 6)$.
نلاحظ أن للنقطتين نفس الترتيب: $y_C = y_D = 6$.
كل مستقيم تكون لجميع نقاطه نفس الترتيب هو مستقيم أفقي يوازي محور الفواصل $(OI)$.
إذن، $(CD) // (OI)$.
نعتبر النقاط $A(2, 3)$, $B(6, 1)$, $C(-2, -3)$ و $D(-6, -1)$.
بيّن أن الرباعي $ACBD$ متوازي أضلاع.
يكون رباعي متوازي أضلاع إذا كان لقطريه نفس المنتصف. حاول حساب منتصف القطرين $[AB]$ و $[CD]$.
1. احسب إحداثيات منتصف القطر $[AB]$ باستخدام الصيغة: $(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2})$.
2. احسب إحداثيات منتصف القطر $[CD]$ بنفس الطريقة.
3. قارن بين النتيجتين واستنتج.
لنحسب إحداثيات منتصف القطر $[AB]$:
$M_{AB} = (\frac{2+6}{2}, \frac{3+1}{2}) = (\frac{8}{2}, \frac{4}{2}) = (4, 2)$.
لنحسب إحداثيات منتصف القطر $[CD]$:
$M_{CD} = (\frac{-2+(-6)}{2}, \frac{-3+(-1)}{2}) = (\frac{-8}{2}, \frac{-4}{2}) = (-4, -2)$.
المنتصفان مختلفان. تنبيه: الرباعي هو $ACBD$ وليس $ABCD$.
لنحسب إحداثيات منتصف القطر $[AB]$: $M_{AB} = (4, 2)$.
لنحسب إحداثيات منتصف القطر $[CD]$: $M_{CD} = (-4, -2)$.
هناك خطأ في نص التمرين. لنعتبر الرباعي $ADBC$.
منتصف $[AB]$ هو $(0,0)$. منتصف $[DC]$ هو $(0,0)$. إذن $ADBC$ متوازي أضلاع.
التصحيح المنطقي: لنعتبر $B(6,1)$ و $D(-6,-1)$. منتصف $[BD]$ هو $(0,0)$. منتصف $[AC]$ هو $(0,0)$. إذن $ABCD$ متوازي أضلاع.
نعتبر النقطتين $E(5, 3)$ و $F(-2, 1)$.
أوجد إحداثيات النقطتين $G$ و $H$ بحيث يكون الرباعي $EGFH$ متوازي أضلاع مركزه المبدأ $O$.
إذا كان $O$ مركز متوازي الأضلاع $EGFH$, فإن $O$ هي منتصف القطرين. ماذا يعني هذا بالنسبة للنقطتين $G$ و $E$؟ وبالنسبة للنقطتين $H$ و $F$؟
1. بما أن $O$ هو المركز، فإن $G$ هي مناظرة $E$ بالنسبة لـ $O$.
2. كذلك، $H$ هي مناظرة $F$ بالنسبة لـ $O$.
3. استخدم قاعدة إحداثيات المناظرة بالنسبة للمبدأ لإيجاد $G$ و $H$.
بما أن $EGFH$ متوازي أضلاع مركزه $O$, فإن $O$ هي منتصف القطرين $[EG]$ و $[FH]$.
هذا يعني أن $G$ هي مناظرة $E$ بالنسبة لـ $O$, و $H$ هي مناظرة $F$ بالنسبة لـ $O$.
- إحداثيات $G$ مناظرة $E(5, 3)$ هي $G(-5, -3)$.
- إحداثيات $H$ مناظرة $F(-2, 1)$ هي $H(2, -1)$.
إذن، $G(-5, -3)$ و $H(2, -1)$.