التناظر المركزي (درس كامل)

C.P.B.L Meme Bouguila
مفاهيم أساسية: صحيح أم خطأ
تمرين 1

أكمل بصحيح أم خطأ:

  • (أ) إذا كان $OA = OB$ فإن O منتصف $[AB]$.
  • (ب) إذا كان O منتصف $[AB]$ فإن $OA = OB$.
  • (ج) إذا كان $OA = OB$ فإن A و B متناظرتان بالنسبة إلى O.
  • (د) إذا كان A و B متناظرتان بالنسبة إلى O فإن $OA = OB$.
  • (ه) إذا كان A مناظرة B بالنسبة إلى O فإنّ B مناظرة A بالنسبة إلى O.
  • (و) إذا كان O منتصف $[AB]$ فإنّ A مناظرة B بالنسبة إلى O.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تذكر تعريف التناظر المركزي: "A و B متناظرتان بالنسبة لـ O" يعني أن O هي منتصف القطعة $[AB]$. هذا التعريف يتضمن شرطين: الاستقامة ($A, O, B$ على استقامة واحدة) وتساوي البعد ($OA=OB$).

📝 الطريقة

راجع كل عبارة مقابل التعريف الدقيق:

  • (أ) و (ج): هل تساوي المسافات $OA=OB$ كافٍ؟ ماذا لو لم تكن النقاط على استقامة واحدة؟ (فكر في مثلث متقايس الضلعين).
  • (ب) و (د) و (ه) و (و): هذه العبارات تتعلق مباشرة بتعريف المنتصف والتناظر. هل التعريف محقق في كل حالة؟

✅ الحل الكامل

  • (أ) خطأ. يجب أن تكون النقاط A, O, B على استقامة واحدة.
  • (ب) صحيح. هذا جزء من تعريف المنتصف.
  • (ج) خطأ. لنفس سبب (أ).
  • (د) صحيح. هذا جزء من تعريف التناظر.
  • (ه) صحيح. علاقة التناظر المركزي هي علاقة تبادلية.
  • (و) صحيح. هذا هو تعريف التناظر المركزي.
مستقيمات متوازية وقطع متناظرة
تمرين 2

أرسم مستقيمين متوازيين $\Delta$ و $\Delta'$. عين على $\Delta$ قطعة مستقيم $[AB]$ طولها 4. عين على $\Delta'$ نقاط C, D, E بحيث يكون C منتصف $[ED]$ ويكون $[EC]$ مقايسا لـ $[AB]$.

  1. عين النقطة O التي تكون $[AB]$ و $[DC]$ متناظرين بالنسبة إليها.
  2. عين النقطة O' التي تكون $[AB]$ و $[CE]$ متناظرين بالنسبة إليها.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

إذا كانت قطعة هي مناظرة قطعة أخرى بالنسبة لنقطة، فإن تلك النقطة هي مركز متوازي أضلاع يمكن تكوينه من طرفي القطعتين.

📝 الطريقة

  1. (1) لكي يكون $[AB]$ و $[DC]$ متناظرين بالنسبة لـ O، يجب أن يكون الرباعي ABDC متوازي أضلاع. مركز التناظر O سيكون نقطة تقاطع قطريه $[AC]$ و $[BD]$.
  2. (2) لكي يكون $[AB]$ و $[CE]$ متناظرين بالنسبة لـ O'، يجب أن يكون الرباعي ACBE متوازي أضلاع. مركز التناظر O' سيكون نقطة تقاطع قطريه $[AE]$ و $[BC]$.

✅ الحل الكامل

1) بما أن $[AB]$ و $[DC]$ متوازيان ومتقايسان، فإن الرباعي ABDC متوازي أضلاع. مركز تناظره O هو منتصف القطر $[AC]$ (أو $[BD]$).

2) بما أن $[AB]$ و $[CE]$ متوازيان ومتقايسان، فإن الرباعي ACBE متوازي أضلاع. مركز تناظره O' هو منتصف القطر $[AE]$ (أو $[BC]$).

مثلث، منتصفات وتناظر
تمرين 3

ابن مثلثا ABC ثم أرسم O منتصف $[BC]$ و I منتصف $[AO]$. لتكن L منتصف $[AB]$.

  1. ابن النقطة D مناظرة B بالنسبة إلى I.
  2. أثبت أن ADBO متوازي أضلاع. استنتج علاقة بين $(AD)$ و $(BO)$ و $AD$ و $BO$.
  3. ابن النقطة K مناظرة O بالنسبة إلى L. أثبت أن AOBK متوازي أضلاع.
  4. استنتج أن A منتصف $[DK]$.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم خاصية "الرباعي الذي قطراه يتقاطعان في منتصفهما هو متوازي أضلاع" لإثبات طبيعة الأشكال الرباعية.

📝 الطريقة

  1. (2) في الرباعي ADBO، I منتصف $[AO]$ (معطى) و I منتصف $[BD]$ (لأن D مناظرة B بالنسبة لـ I). إذن قطراه يتقاطعان في منتصفهما. استنتج طبيعته وخصائصه.
  2. (3) في الرباعي AOBK، L منتصف $[AB]$ (معطى) و L منتصف $[OK]$ (لأن K مناظرة O بالنسبة لـ L). استنتج طبيعته.
  3. (4) من (2) نستنتج أن $(AD) // (BO)$ و $AD=BO$. من (3) نستنتج أن $(AK) // (BO)$ و $AK=BO$. ماذا تستنتج حول النقاط A, D, K والعلاقة بين $AD$ و $AK$؟

✅ الحل الكامل

2) الرباعي ADBO له قطران $[AO]$ و $[BD]$ يتقاطعان في منتصفهما I، إذن ADBO متوازي أضلاع. وبالتالي $(AD) // (BO)$ و $AD=BO$.

3) الرباعي AOBK له قطران $[AB]$ و $[OK]$ يتقاطعان في منتصفهما L، إذن AOBK متوازي أضلاع.

4) من ADBO متوازي أضلاع: $(AD) // (OB)$ و $AD = OB$. ومن AOBK متوازي أضلاع: $(AK) // (OB)$ و $AK = OB$. فالمستقيمان $(AD)$ و $(AK)$ يوازيان معًا $(OB)$ ويمران بالنقطة A، ولا يمرّ بنقطة سوى مستقيم واحد يوازي $(OB)$، إذن النقاط D و A و K في استقامة واحدة. وحسب اتجاه الضلعين في متوازيي الأضلاع، تقع D و K على جانبي A، مع $AD = AK = OB$. إذن A هي منتصف القطعة $[DK]$.

مثلث قائم ومثلث متقايس الأضلاع
تمرين 4

ابن مثلثا EFG قائما في E بحيث يكون $EF=3$ و $\angle EFG=60^\circ$.

  1. ابن النقطة H صورة F بالتناظر المركزي بالنسبة إلى E. ثم بين أن $(EG)$ هو الموسط العمودي للقطعة $[FH]$.
  2. بين أن $\angle EHG=60^\circ$.
  3. استنتج أن المثلث FGH متقايس الأضلاع ثم ابحث عن طول كل ضلع من أضلاعه.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

التناظر المركزي يحافظ على الأطوال والزوايا. المثلث EFG هو نصف مثلث متقايس الأضلاع. استخدم هذه الخاصية لإيجاد أطوال الأضلاع والزوايا.

📝 الطريقة

  1. (1) H صورة F بالنسبة لـ E يعني E منتصف $[FH]$. بما أن المثلث EFG قائم في E، فإن $(EG) \perp (EF)$. المستقيم (EG) يمر من منتصف $[FH]$ وهو عمودي عليه، إذن هو الموسط العمودي.
  2. (2) التناظر المركزي يحافظ على أقيسة الزوايا. صورة المثلث EFG هي EHG. إذن $\angle EHG = \angle EFG = 60^\circ$.
  3. (3) المثلث FGH متقايس الساقين في G لأن (EG) موسط عمودي لـ [FH]. وبما أن E تقع على [FH]، فإن $\angle GFH = \angle GFE = \angle EFG = 60^\circ$، وبالتناظر $\angle GHF = 60^\circ$، ومنه الزاوية الثالثة أيضاً $60^\circ$: فالمثلث FGH متقايس الأضلاع. ولحساب طول الضلع: بما أن H مناظرة F بالنسبة إلى E، فإن E منتصف [FH]، إذن $FH = 2 \times EF = 2 \times 3 = 6$. وبما أن المثلث متقايس الأضلاع، فإن $FG = GH = HF = 6$.

✅ الحل الكامل

1) E منتصف $[FH]$ و $(EG) \perp (FH)$, إذن $(EG)$ هو الموسط العمودي لـ $[FH]$.

2) بما أن $(EG)$ هو محور تناظر للقطعة $[FH]$، فإن المثلث FGH متقايس الساقين في G. صورة الزاوية $\angle EFG$ بالتناظر المركزي E هي $\angle EHG$. إذن $\angle EHG = 60^\circ$.

3) المثلث FGH متقايس الساقين في G، وزاويته عند القاعدة $\angle GFH = \angle EFG = 60^\circ$ (لأن E على [FH])، ومنه $\angle GHF = 60^\circ$ والزاوية الثالثة $60^\circ$: فهو متقايس الأضلاع. وبما أن E منتصف [FH] (لأن H مناظرة F بالنسبة إلى E)، فإن $FH = 2 \times EF = 2 \times 3 = 6$. وبما أن المثلث متقايس الأضلاع، فإن طول كل ضلع هو $FG = GH = HF = 6$.

مثلث متقايس الأضلاع وتناظر
تمرين 5

نعتبر مثلثا ABC متقايس الأضلاع.

  1. ابن النقطتين A' و C' مناظرتي النقطتين A و C بالنسبة إلى B.
  2. بين أن المثلث A'BC' متقايس الأضلاع.
  3. برهن على أن (A'C')//(AC).
  4. برهن على أن الرباعي AC'A'C متوازي الأضلاع.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

التناظر المركزي يحافظ على طبيعة الأشكال الهندسية (مثلث متقايس الأضلاع يبقى كذلك)، الأطوال، ويحول مستقيم إلى مستقيم يوازيه.

📝 الطريقة

  1. (2) المثلث A'BC' هو صورة المثلث ABC بالتناظر المركزي الذي مركزه B. بما أن التناظر يحافظ على طبيعة الأشكال، فإنه متقايس الأضلاع.
  2. (3) صورة المستقيم (AC) هي المستقيم (A'C'). صورة مستقيم بتناظر مركزي هو مستقيم يوازيه.
  3. (4) B منتصف $[AA']$ و $[CC']$. إذن الرباعي AC'A'C له قطران يتقاطعان في منتصفهما B، فهو متوازي أضلاع.

✅ الحل الكامل

2) المثلث A'BC' هو صورة المثلث ABC بالتناظر المركزي B. بما أن ABC متقايس الأضلاع، فإن صورته A'BC' كذلك.

3) المستقيم (A'C') هو صورة المستقيم (AC) بالتناظر المركزي B، إذن $(A'C') // (AC)$.

4) بما أن A' مناظرة A بالنسبة لـ B، فإن B منتصف $[AA']$. وبالمثل B منتصف $[CC']$. الرباعي AC'A'C قطراه $[AA']$ و $[CC']$ يتقاطعان في نفس المنتصف B، إذن هو متوازي أضلاع.

مثلث متقايس الساقين وموسط عمودي
تمرين 6

ليكن EFG مثلثا متقايس الضلعين قمته الرئيسية E و M منتصف $[FG]$.

  1. برهن على أن (EM) عمودي على (FG).
  2. ابن النقاط G', M', F' مناظرات G, M, F بالنسبة إلى E. برهن أن M' هي منتصف $[F'G']$.
  3. بين أن (EM') هو الموسط العمودي للقطعة $[F'G']$.
  4. بين أنّ $(FG)//(F'G')$.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

في مثلث متقايس الضلعين، الموسط الصادر من القمة الرئيسية هو أيضا ارتفاع ومحور تناظر. التناظر المركزي يحافظ على المنتصفات والتعامد والتوازي.

📝 الطريقة

  1. (1) في المثلث المتقايس الضلعين EFG، الموسط [EM] الصادر من القمة E هو أيضا ارتفاع، إذن $(EM) \perp (FG)$.
  2. (2) صورة القطعة $[FG]$ هي $[F'G']$. بما أن M منتصف $[FG]$ والتناظر يحافظ على المنتصفات، فإن صورتها M' هي منتصف صورة القطعة $[F'G']$.
  3. (3) صورة (EM) هي (EM') وصورة (FG) هي (F'G'). التناظر يحافظ على التعامد، إذن $(EM') \perp (F'G')$. وبما أن M' منتصف $[F'G']$، فإن (EM') هو الموسط العمودي.
  4. (4) المستقيم $(F'G')$ هو صورة $(FG)$، إذن هما متوازيان.

✅ الحل الكامل

1) في المثلث EFG المتقايس الضلعين في E، الموسط [EM] هو أيضا ارتفاع، وبالتالي $(EM) \perp (FG)$.

2) التناظر المركزي يحافظ على المنتصفات. بما أن M منتصف $[FG]$، فإن صورتها M' هي منتصف صورة القطعة، أي منتصف $[F'G']$.

3) صورة المستقيم (EM) هي (EM') وصورة (FG) هي (F'G'). بما أن $(EM) \perp (FG)$، فإن $(EM') \perp (F'G')$. وبما أن (EM') يمر من منتصف $[F'G']$، فهو الموسط العمودي لها.

4) صورة مستقيم بتناظر مركزي هي مستقيم يوازيه، إذن $(FG) // (F'G')$.