تمارين في التناظر المركزي

التمرين رقم 1

▼

أكمل بصحيح أم خطأ:

(أ) إذا كان $OA=OB$ فإن O منتصف $[AB]$

(ب) إذا كان O منتصف $[AB]$ فإن $OA=OB$

(ج) إذا كان $OA=OB$ فإن A و B متناظرتان بالنسبة إلى O

(د) إذا كان A و B متناظرتان بالنسبة إلى O فإن $OA=OB$

(هـ) إذا كان A مناظرة B بالنسبة إلى O فإن B مناظرة A بالنسبة إلى O

(و) إذا كان O منتصف $[AB]$ فإن A مناظرة B بالنسبة إلى O

1 (أ) خطأ: لكي يكون O منتصف $[AB]$، يجب أن يكون O على المستقيم $(AB)$ بالإضافة إلى $OA=OB$

2 (ب) صحيح: إذا كان O منتصف $[AB]$ فإن $OA=OB$ (من تعريف المنتصف)

3 (ج) خطأ: لكي تكون A و B متناظرتين بالنسبة إلى O، يجب أن يكون O منتصف $[AB]$، أي $OA=OB$ و O على $(AB)$

4 (د) صحيح: إذا كانت A و B متناظرتين بالنسبة إلى O فإن O منتصف $[AB]$ وبالتالي $OA=OB$

5 (هـ) صحيح: التناظر المركزي متبادل، إذا كانت $A$ مناظرة $B$ بالنسبة إلى $O$ فإن $B$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $O$

6 (و) صحيح: إذا كان O منتصف $[AB]$ فبالتعريف A و B متناظرتان بالنسبة إلى O

التمرين رقم 3

▼

(1) ابن مثلثا ABC ثم أرسم O و I و J حيث O منتصف [BC] و I منتصف [AO] و B مناظرة A بالنسبة إلى J

ابن النقطتين D و K حيث D مناظرة B بالنسبة إلى I و K مناظرة C بالنسبة إلى J

(2) أثبت أن $AD=BO$ و $(AD)//(BO)$

(3) أثبت أن $(AK)//(BO)$ و $AK=BO$

(4) استنتج أن A منتصف [DK]

1 برهان $AD=BO$:
• I منتصف [AO] إذن $IO=\frac{1}{2}AO$
• D مناظرة B بالنسبة إلى I إذن I منتصف [BD]
• بالتالي $ID=IB$
• التناظر المركزي يحافظ على البعد
• نستنتج أن $AD=BO$

2 برهان $(AD)//(BO)$:
• D مناظرة B بالنسبة إلى I
• مناظر مستقيم بتناظر مركزي هو مستقيم مواز له
• إذن $(AD)//(BO)$

ملاحظة: نقول "مناظر مستقيم بتناظر مركزي هو مستقيم مواز له" وليس "التناظر يحافظ على التوازي"

3 برهان $(AK)//(BO)$ و $AK=BO$:
• K مناظرة C بالنسبة إلى J
• B مناظرة A بالنسبة إلى J
• مناظر مستقيم بتناظر مركزي هو مستقيم مواز له
• إذن $(AK)//(BC)$ أي $(AK)//(BO)$
• التناظر المركزي يحافظ على البعد
• إذن $AK=BC=2BO$ لكن O منتصف [BC] إذن $AK=BO$

4 استنتاج A منتصف [DK]:
• $(AD)//(AK)$ و $AD=AK$
• الرباعي $ADKB$ له ضلعان متقابلان متوازيان ومتساويان
• إذن $ADKB$ متوازي أضلاع (أضلاعه المتقابلة متساوية اثنين اثنين)
• قطرا متوازي الأضلاع يقطع كل منهما الآخر في منتصفه
• إذن A منتصف [DK]

التمرين رقم 5

▼

نعتبر مثلثا ABC متقايس الأضلاع

(1) ابن النقاط $A'$ و $C'$ بحيث $A'$ و $C'$ مناظرتا النقطتين A و C بالنسبة إلى B

(2) بين أن المثلث $A'BC'$ متقايس الأضلاع

(3) برهن على أن $(AC')//(A'C)$

(4) برهن على أن الرباعي $ACA'C'$ متوازي الأضلاع

1 (2) برهان $A'BC'$ متقايس الأضلاع:
• التناظر المركزي يحافظ على البعد
• $A'$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $B$ إذن $BA'=BA$
• $C'$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $B$ إذن $BC'=BC$
• المثلث $ABC$ متقايس الأضلاع إذن $AB=BC=CA$
• إذن $BA'=BC'=BA=BC$
• بما أن $B$ مركز التناظر، فإن $\widehat{A'BC'}=\widehat{ABC}=60°$
• إذن المثلث $A'BC'$ متقايس الأضلاع

2 (3) برهان $(AC')//(A'C)$:
• $C'$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $B$
• مناظر مستقيم بتناظر مركزي هو مستقيم مواز له
• إذن $(AC')//(A'C)$

3 (4) برهان $ACA'C'$ متوازي أضلاع:
• $(AC')//(A'C)$ من السؤال السابق
• بنفس الطريقة نبرهن أن $(AA')//(CC')$
• الرباعي الذي فيه ضلعان متقابلان متوازيان اثنين اثنين هو متوازي أضلاع
• إذن $ACA'C'$ متوازي أضلاع

تذكير: متوازي الأضلاع يُعرّف بأن أضلاعه المتقابلة متوازية اثنين اثنين (وليس بأن قطريه لهما نفس المنتصف)

التمرين رقم 6

▼

ليكن EFG مثلثا متقايس الضلعين قمته الرئيسية E و M منتصف [FG]

(1) برهن على أن $(EM) \perp (FG)$

(2) ابن النقط $G'$, $M'$, $F'$ حيث $G'$ مناظرة G بالنسبة إلى E و $M'$ مناظرة M بالنسبة إلى E و $F'$ مناظرة F بالنسبة إلى E ثم برهن أن $M'$ هي منتصف $[F'G']$

(3) بين أن $(EM)$ هو الموسط العمودي للقطعة $[F'G']$

(4) بين أن $(FG') // (G'F)$

1 (1) برهان $(EM) \perp (FG)$:
• المثلث $EFG$ متقايس الضلعين في $E$ إذن $EF=EG$
• $M$ منتصف $[FG]$ إذن $FM=MG$
• في مثلث متقايس الضلعين، الموسط المتعلق بالقاعدة هو أيضا ارتفاع
• إذن $(EM) \perp (FG)$

2 (2) برهان $M'$ منتصف $[F'G']$:
• $M$ مناظرة $M'$ بالنسبة إلى $E$
• $F$ مناظرة $F'$ بالنسبة إلى $E$
• $G$ مناظرة $G'$ بالنسبة إلى $E$
• $M$ منتصف $[FG]$ في الشكل الأصلي
• التناظر المركزي يحافظ على خاصية المنتصف
• إذن $M'$ منتصف $[F'G']$

3 (3) برهان $(EM)$ موسط عمودي لـ $[F'G']$:
• من السؤال (1): $(EM) \perp (FG)$
• مناظر مستقيم بتناظر مركزي هو مستقيم مواز له
• إذن $(EM) \perp (F'G')$ (لأن $(FG) // (F'G')$)
• $E$ مركز التناظر و $M'$ على $(EM)$
• $(EM)$ يمر من $M'$ الذي هو منتصف $[F'G']$ و $(EM) \perp (F'G')$
• إذن $(EM)$ هو الموسط العمودي لـ $[F'G']$

4 (4) برهان $(FG') // (G'F)$:
• $G$ مناظرة $G'$ و $F$ مناظرة $F'$ بالنسبة إلى $E$
• مناظر مستقيم بتناظر مركزي هو مستقيم مواز له
• $(FG)$ ينتقل إلى $(F'G')$ بالتناظر المركزي حول $E$
• لكن يمكننا أيضا اعتبار $(FG')$ و $(F'G)$
• نعلم أن $FG' = F'G$ (التناظر المركزي يحافظ على البعد)
• وبما أن $E$ منتصف $[FF']$ و $E$ منتصف $[GG']$
• الرباعي $FGF'G'$ له قطران يقطع كل منهما الآخر في منتصفه
• إذن $FGF'G'$ متوازي أضلاع
• في متوازي الأضلاع، الأضلاع المتقابلة متوازية
• إذن $(FG') // (GF')$

التمرين رقم 7

▼

نعتبر المثلث ABC المتقايس الضلعين في A

(1) ابن النقاط $A'$ و $C'$ مناظرتا النقطتين A و C بالنسبة إلى B

(2) بين أن الرباعي $ACA'C'$ هو متوازي أضلاع

(3) بين أن المثلث $BA'C'$ متقايس الضلعين. ما هو رأسه

(4) ليكن M نقطة من [AC]. بين أن $M'$ صورة M بالتناظر المركزي حول B تنتمي إلى $[A'C']$

(5) ليكن I منتصف [BC] و J منتصف $[BC']$. بين أن I مناظرة J بالنسبة إلى B

(6) بين أن $(AI) // (A'J)$

1 (2) برهان $ACA'C'$ متوازي أضلاع:
• $A'$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $B$ إذن $B$ منتصف $[AA']$
• $C'$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $B$ إذن $B$ منتصف $[CC']$
• قطرا الرباعي $ACA'C'$ هما $[AA']$ و $[CC']$
• هذان القطران يتقاطعان في $B$ الذي هو منتصف كل منهما
• الرباعي الذي قطراه يقطع كل منهما الآخر في منتصفه هو متوازي أضلاع
• إذن $ACA'C'$ متوازي أضلاع

2 (3) طبيعة المثلث $BA'C'$:
• المثلث $ABC$ متقايس الضلعين في $A$ إذن $AB=AC$
• التناظر المركزي يحافظ على البعد
• $A'$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $B$ إذن $BA'=BA$
• $C'$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $B$ إذن $BC'=BC$
• لكن $AB=AC$ إذن $BA'=BC'$
• المثلث $BA'C'$ متقايس الضلعين ورأسه الرئيسي هو $B$

3 (4) برهان $M' \in [A'C']$:
• $M \in [AC]$ و $M'$ مناظرة $M$ بالنسبة إلى $B$
• $A$ مناظرة $A'$ و $C$ مناظرة $C'$ بالنسبة إلى $B$
• التناظر المركزي يحافظ على الاستقامة
• بما أن $M$ على المستقيم $(AC)$، فإن $M'$ على المستقيم $(A'C')$
• وبما أن $M$ بين $A$ و $C$، فإن $M'$ بين $A'$ و $C'$
• إذن $M' \in [A'C']$

4 (5) برهان I و J متناظرتان:
• $I$ منتصف $[BC]$ و $J$ منتصف $[BC']$
• $C'$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $B$
• التناظر المركزي يحافظ على خاصية المنتصف
• إذن $J$ مناظرة $I$ بالنسبة إلى $B$

5 (6) برهان $(AI) // (A'J)$:
• $I$ مناظرة $J$ بالنسبة إلى $B$
• $A$ مناظرة $A'$ بالنسبة إلى $B$
• مناظر مستقيم بتناظر مركزي هو مستقيم مواز له
• $(AI)$ ينتقل إلى $(A'J)$ بالتناظر المركزي حول $B$
• إذن $(AI) // (A'J)$

التمرين رقم 8

▼

ليكن ABC مثلث قائم في A بحيث $AB=3$ و $BC=6$

(1) ابن المثلث ABC و حقق أن $\widehat{ABC}=60°$

(2) ليكن I منتصف [BC]. ما هي طبيعة المثلث ABI. بين أن الموسط العمودي لـ [AI] يمر من B

(3) أرسم الدائرة (C) مركزها A و شعاعها 3 و الدائرة (C') مركزها I و شعاعها 3. بين أن الدائرة (C) تمر من B و I و أن الدائرة (C') تمر من A, B, C

(4) ليكن K منتصف [AI]. ابن النقطة $B'$ مناظرة B بالنسبة إلى K. ثم بين أن (C) و (C') تمران من K

1 (1) حساب $\widehat{ABC}$:
• المثلث $ABC$ قائم في $A$
• $AB=3$ و $BC=6$
• ليكن M منتصف الوتر [BC]؛ في المثلث القائم في A يكون $AM = \frac{BC}{2} = 3$
• وبما أن $AB = BM = AM = 3$، فالمثلث ABM متقايس الأضلاع، ومنه $\widehat{ABC} = \widehat{ABM} = 60°$

2 (2) طبيعة المثلث ABI:
• $I$ منتصف $[BC]$ إذن $BI = \frac{BC}{2} = \frac{6}{2} = 3$
• لكن $AB=3$ إذن $AB=BI=3$
• إذن المثلث $ABI$ متقايس الضلعين في $B$

برهان الموسط العمودي يمر من B:
• المثلث $ABI$ متقايس الضلعين في $B$ إذن $BA=BI$
• النقطة $B$ تبعد نفس المسافة عن $A$ و $I$
• إذن $B$ تنتمي إلى الموسط العمودي لـ $[AI]$

3 (3) الدوائر (C) و (C'):
الدائرة (C): مركزها $A$ و شعاعها $3$
• $AB=3$ إذن $B \in (C)$
• $AI = \frac{BC}{2} = 3$ (لأن الموسط المتعلق بالوتر في مثلث قائم يساوي نصف الوتر)
• إذن $I \in (C)$

الدائرة (C'): مركزها $I$ و شعاعها $3$
• $IA=3$ إذن $A \in (C')$
• $IB=3$ إذن $B \in (C')$
• $IC=3$ (لأن $I$ منتصف $[BC]$ و $BC=6$) إذن $C \in (C')$

4 (4) الدوائر تمران من K:
• $K$ منتصف $[AI]$ إذن $AK = KI = \frac{AI}{2} = \frac{3}{2}$
• $B'$ مناظرة $B$ بالنسبة إلى $K$
• التناظر المركزي يحافظ على البعد ويحوّل دائرة إلى دائرة لها نفس الشعاع
• بما أن $K$ منتصف $[AI]$، فإن $I$ هي مناظرة $A$ بالنسبة إلى $K$
• إذن التناظر المركزي حول $K$ يحوّل الدائرة $(C)$ (مركزها $A$، شعاعها $3$) إلى دائرة مركزها $I$ وشعاعها $3$، وهي الدائرة $(C')$
• إذن الدائرتان $(C)$ و $(C')$ متناظرتان بالنسبة إلى $K$

ملاحظة: التناظر المركزي يحافظ على الدوائر ويحول دائرة إلى دائرة مناظرة لها

التمرين رقم 9

▼

نعتبر مثلثا ABC مثلثا متقايس الضلعين قاعدته [BC] و J منتصف [AC] و I منتصف [AB]

(1) ابن النقطة D مناظرة C بالنسبة إلى I ثم برهن أن $(AD) // (BC)$

(2) $(BJ)$ و $(AD)$ يتقاطعان في E. برهن أن E هي مناظرة B بالنسبة لـ I

(3) برهن أن A هي منتصف [ED]

(4) أثبت أن $\widehat{BAD}=\widehat{CAE}$

1 (1) برهان $(AD) // (BC)$:
• $D$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $I$
• $I$ منتصف $[AB]$ و $D$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $I$
• نعلم أن $I$ منتصف $[AB]$ و $J$ منتصف $[AC]$
• في المثلث $ABC$، القطعة $[IJ]$ تربط منتصفي ضلعين
• إذن $(IJ) // (BC)$ و $IJ = \frac{1}{2}BC$
• $C$ مناظرة $D$ بالنسبة إلى $I$
• مناظر مستقيم بتناظر مركزي هو مستقيم مواز له
• $(BC)$ ينتقل إلى مستقيم يمر من $D$ و موازٍ لـ $(BC)$
• بما أن $A$ و $D$ و $I$ على استقامة، إذن $(AD) // (BC)$

2 (2) برهان E مناظرة B بالنسبة لـ I:
• $I$ منتصف $[AB]$
• $D$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $I$
• $E$ نقطة تقاطع $(BJ)$ و $(AD)$
• بالتناظر المركزي حول $I$:
• $B$ تنتقل إلى $A$ (لأن $I$ منتصف $[AB]$)
• $C$ تنتقل إلى $D$
• $(BC)$ تنتقل إلى $(AD)$
• النقطة $E$ على $(AD)$ تكون مناظرة لنقطة على $(BC)$
• بدراسة المثلث $ABC$: $J$ منتصف $[AC]$ و $(BJ)$ يقطع $(AD)$ في $E$
• بالتناظر، $E$ مناظرة $B$ بالنسبة إلى $I$

3 (3) برهان A منتصف [ED]:
• $E$ مناظرة $B$ بالنسبة إلى $I$
• $D$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $I$
• $I$ منتصف $[AB]$ إذن $I$ منتصف $[BE]$
• $I$ منتصف $[CD]$
• في الرباعي $BEDC$: القطران $[BD]$ و $[EC]$ يتقاطعان في $I$
• $I$ منتصف كل من $[BE]$ و $[CD]$
• الرباعي $BEDC$ متوازي أضلاع
• لكن $A$ على $[BE]$ و $A$ على $[CD]$ (لأن $A \in (AD)$)
• بما أن $IA = IB$ و $I$ منتصف $[BE]$، إذن $A$ منتصف $[ED]$

4 (4) برهان $\widehat{BAD}=\widehat{CAE}$:
• المثلث $ABC$ متقايس الضلعين في $A$ إذن $AB=AC$
• $A$ منتصف $[ED]$ إذن $AE=AD$
• في المثلثين $ABD$ و $ACE$:
• $AB=AC$ (المثلث متقايس الضلعين)
• $AD=AE$ (من السؤال السابق)
• $\widehat{BAC}$ مشترك
• بطرح: $\widehat{BAC} - \widehat{DAC} = \widehat{BAD}$
• و $\widehat{BAC} - \widehat{BAE} = \widehat{CAE}$
• بما أن $AD=AE$ والتماثل في البناء، إذن $\widehat{BAD}=\widehat{CAE}$

التمرين رقم 10

▼

نعتبر مثلثا ABC و [AM] موسطه الموافق للضلع [BC] و I منتصف [AM]

(1) ابن E و F حيث E مناظرة B و F مناظرة C بالنسبة إلى I. بين أن E و F متناظرتان بالنسبة إلى A

(2) برهن أن $AB=ME$

(3) أثبت أن $(AC)//(MF)$

(4) بين أن $\widehat{IBC}=\widehat{IEA}$

1 (1) برهان E و F متناظرتان بالنسبة إلى A:
• $I$ منتصف $[AM]$ و $M$ منتصف $[BC]$
• $E$ مناظرة $B$ بالنسبة إلى $I$ إذن $I$ منتصف $[BE]$
• $F$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $I$ إذن $I$ منتصف $[CF]$
• في المثلث $ABE$: $I$ منتصف $[BE]$ و $M$ على $[BC]$
• بما أن $I$ منتصف $[AM]$:
• $AI = IM$ و $I$ منتصف $[BE]$
• التناظر المركزي الذي مركزه I يحوّل B إلى E و C إلى F، إذن يحوّل القطعة [BC] إلى القطعة [EF]
• وهو يحوّل منتصف [BC] (وهو M) إلى منتصف [EF]
• وبما أن I منتصف [AM]، فإن مناظر M بالنسبة إلى I هو A
• إذن $A$ هو منتصف $[EF]$

2 (2) برهان $AB=ME$:
• $E$ مناظرة $B$ بالنسبة إلى $I$
• التناظر المركزي يحافظ على البعد
• $IB = IE$
• $M$ منتصف $[BC]$ و $I$ منتصف $[AM]$
• في المثلث $ABC$: $[IM]$ يربط منتصفي $[AM]$ و $[BC]$
• باستعمال خاصية التناظر والموسط:
• $AB = ME$ (بالتناظر المركزي حول $I$)

3 (3) برهان $(AC)//(MF)$:
• $F$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $I$
• $M$ منتصف $[BC]$
• مناظر مستقيم بتناظر مركزي هو مستقيم مواز له
• بالتناظر المركزي حول $I$:
• $C$ تنتقل إلى $F$
• $A$ تنتقل إلى نقطة على $(MF)$
• $(AC)$ تنتقل إلى مستقيم موازٍ
• إذن $(AC)//(MF)$

4 (4) برهان $\widehat{IBC}=\widehat{IEA}$:
• التناظر المركزي يحافظ على قياس الزوايا
• $E$ مناظرة $B$ بالنسبة إلى $I$
• في المثلث $IBC$: الزاوية $\widehat{IBC}$
• بالتناظر حول $I$، هذه الزاوية تنتقل إلى زاوية مساوية لها
• $\widehat{IBC}=\widehat{IEA}$

التمرين رقم 11

▼

ABC مثلث و O منتصف [AC]. لتكن D مناظرة B بالنسبة لـ O

(1) بين أن $(AB)//(CD)$

(2) بين أن $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}$

1 (1) برهان $(AB)//(CD)$:
• $O$ منتصف $[AC]$ إذن $A$ و $C$ متناظرتان بالنسبة إلى $O$
• $D$ مناظرة $B$ بالنسبة إلى $O$
• بالتناظر المركزي حول $O$:
• $A$ تنتقل إلى $C$
• $B$ تنتقل إلى $D$
• مناظر مستقيم بتناظر مركزي هو مستقيم مواز له
• $(AB)$ ينتقل إلى $(CD)$ بالتناظر المركزي حول $O$
• إذن $(AB)//(CD)$

2 (2) برهان $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}$:
• التناظر المركزي يحافظ على قياس الزوايا
• الزاوية $\widehat{ABC}$ في المثلث $ABC$
• بالتناظر المركزي حول $O$:
• $A \to C$, $B \to D$, $C \to A$
• الزاوية $\widehat{ABC}$ تنتقل إلى الزاوية $\widehat{CDA}$
• أي $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}$

خاصية مهمة: إذا كانت نقطتان متناظرتين بالنسبة إلى منتصف قطعة، فإن المستقيمات المناظرة تكون متوازية

التمرين رقم 12

▼

ABCD مثلث حيث $(AD)//(BC)$

(1) ابن دائرتين (C) و (C') لهما نفس المركز وشعاعهما على التوالي AB و AC

(2) ابن الدائرة (C₁) مناظرة (C) بالنسبة لـ B

(3) ما هي مناظرة (C) بالنسبة لـ A؟

1 (1) رسم الدائرتين:
• الدائرة $(C)$ مركزها $A$ و شعاعها $AB$
• الدائرة $(C')$ مركزها $A$ و شعاعها $AC$
• كلتا الدائرتين مركزهما $A$
• $(C)$ تمر من النقطة $B$
• $(C')$ تمر من النقطة $C$

2 (2) الدائرة (C₁) مناظرة (C):
• التناظر المركزي يحول دائرة إلى دائرة
• $(C)$ مركزها $A$ و شعاعها $AB$
• بالتناظر المركزي حول $B$:
• مركز $(C)$ وهو $A$ ينتقل إلى مناظره بالنسبة إلى $B$
• لنسمي هذه النقطة $A'$ حيث $B$ منتصف $[AA']$
• التناظر المركزي يحافظ على البعد
• شعاع $(C_1)$ يساوي شعاع $(C)$ أي $AB$
• $(C_1)$ مركزها $A'$ و شعاعها $AB$

3 (3) مناظرة (C) بالنسبة لـ A:
• بالتناظر المركزي حول $A$:
• المركز $A$ يبقى ثابتاً (لأنه مركز التناظر)
• الشعاع يبقى نفسه
• إذن مناظرة $(C)$ بالنسبة لـ $A$ هي $(C)$ نفسها
• $(C)$ ثابتة بالتناظر المركزي حول مركزها

التمرين رقم 13

▼

ABC مثلث قائم الزاوية في A و I منتصف [BC] و J منتصف [AB]

(1) ابن النقطة C' مناظرة C بالنسبة إلى I

(2) بين أن $(BC')//(AC)$ ثم استنتج أن $(BC') \perp (AB)$

(3) أوجد مناظرة الزاوية $\widehat{ACC'}$ حسب I

(4) أرسم B' و I' على التوالي مناظرة B و I بالنسبة إلى A. بين أن I' منتصف [AB']

1 (2) برهان $(BC')//(AC)$ و $(BC') \perp (AB)$:
• $C'$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $I$
• $I$ منتصف $[BC]$ و $C'$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $I$
• إذن $I$ منتصف $[CC']$
• مناظر مستقيم بتناظر مركزي هو مستقيم مواز له
• $(AC)$ ينتقل بالتناظر حول $I$ إلى $(BC')$
• إذن $(BC')//(AC)$

• المثلث $ABC$ قائم في $A$ إذن $(AC) \perp (AB)$
• بما أن $(BC')//(AC)$ و $(AC) \perp (AB)$
• إذن $(BC') \perp (AB)$

2 (3) مناظرة الزاوية $\widehat{ACC'}$:
• بالتناظر المركزي حول $I$:
• $A$ تنتقل إلى نقطة على $(CC')$ (لأن $I \in [BC]$)
• $C$ تنتقل إلى $C'$
• $C'$ تنتقل إلى $C$
• التناظر المركزي يحافظ على قياس الزوايا
• مناظرة $\widehat{ACC'}$ هي زاوية مساوية في القياس
• بالتحليل الهندسي: $\widehat{ACC'} = \widehat{C'BA'}$ حيث $A'$ مناظرة $A$

3 (4) برهان I' منتصف [AB']:
• $B'$ مناظرة $B$ بالنسبة إلى $A$ إذن $A$ منتصف $[BB']$
• $I'$ مناظرة $I$ بالنسبة إلى $A$ إذن $A$ منتصف $[II']$
• $I$ منتصف $[BC]$
• بالتناظر المركزي حول $A$:
• $B$ تنتقل إلى $B'$
• $I$ (منتصف $[BC]$) تنتقل إلى $I'$
• خاصية المنتصف محفوظة بالتناظر
• إذن $I'$ منتصف $[AB']$

التمرين رقم 14

▼

ABC مثلث قائم الزاوية في A بحيث $AB=2$ cm و $AC=3$ cm

(1) ابن E و F على التوالي مناظرات النقاط B و C بالنسبة إلى A

(2) ما هي طبيعة الرباعي EBCF؟ علل جوابك

(3) عين نقطة M من [EB]. المستقيم (AM) يقطع [FC] في N

(4) بين أن M و N متناظرتان بالنسبة إلى A

(5) استنتج أن $MB=FN$

1 (2) طبيعة الرباعي EBCF:
• $E$ مناظرة $B$ بالنسبة إلى $A$ إذن $A$ منتصف $[EB]$
• $F$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $A$ إذن $A$ منتصف $[FC]$
• القطران $[EB]$ و $[FC]$ يتقاطعان في $A$
• $A$ منتصف كل من القطرين
• الرباعي الذي قطراه يقطع كل منهما الآخر في منتصفه هو متوازي أضلاع
• إذن $EBCF$ متوازي أضلاع

• بالإضافة: المثلث $ABC$ قائم في $A$ إذن $(AB) \perp (AC)$
• بالتناظر: $(EB) \perp (FC)$
• متوازي أضلاع قطراه متعامدان هو معين
• إذن $EBCF$ معين

2 (4) برهان M و N متناظرتان:
• $M \in [EB]$ و $N \in [FC]$
• $(AM)$ يقطع $[FC]$ في $N$
• $A$ منتصف $[EB]$ و $A$ منتصف $[FC]$
• بالتناظر المركزي حول $A$:
• $E$ تنتقل إلى $B$ و $B$ تنتقل إلى $E$
• $F$ تنتقل إلى $C$ و $C$ تنتقل إلى $F$
• $M$ على $[EB]$ تنتقل إلى نقطة على $[BE]$
• بما أن $M, A, N$ على استقامة واحدة و $A$ مركز التناظر
• إذن $M$ و $N$ متناظرتان بالنسبة إلى $A$

3 (5) استنتاج $MB=FN$:
• $M$ و $N$ متناظرتان بالنسبة إلى $A$
• التناظر المركزي يحافظ على البعد
• $M \in [EB]$ و $N \in [FC]$
• $MA = AN$ (لأن $A$ منتصف $[MN]$)
• في المعين $EBCF$: $EB = FC$
• $MB = EB - EM$ و $FN = FC - CN$
• بما أن $EM = CN$ (بالتناظر) و $EB = FC$
• إذن $MB = FN$

التمرين رقم 15

▼

نعتبر مثلثا ABC قائما في A بحيث $AB=AC$ و Δ الموسط العمودي لـ [AB]. [AB] يقطع [AB] في I

(1) (أ) ابن النقطة D مناظرة النقطة C بالنسبة إلى I

(ب) أوجد مناظر كل المستقيمين (AC) و (BC) بالتناظر المحوري الذي مركزه I

(ج) استنتج أن ACBD متوازي أضلاع

(2) (أ) أوجد مناظرة الزاوية $\widehat{ACI}$ بالنسبة إلى I

(ب) بين أن $\widehat{DBI}=90°$

1 (1)(ب) المناظر بالتناظر المركزي:
• $D$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $I$
• $I$ على $[AB]$ و $I$ منتصف $[CD]$
• مناظر مستقيم بتناظر مركزي هو مستقيم مواز له
• مناظر $(AC)$ هو مستقيم يمر من $D$ و موازٍ لـ $(AC)$: وهو $(BD)$
• مناظر $(BC)$ هو مستقيم يمر من $D$ و موازٍ لـ $(BC)$: وهو $(AD)$

2 (1)(ج) برهان ACBD متوازي أضلاع:
• من السؤال السابق: $(AC) // (BD)$
• و $(BC) // (AD)$
• الرباعي الذي فيه ضلعان متقابلان متوازيان اثنين اثنين هو متوازي أضلاع
• إذن $ACBD$ متوازي أضلاع

3 (2)(أ) مناظرة $\widehat{ACI}$:
• بالتناظر المركزي حول $I$:
• $A$ تنتقل إلى نقطة على $[AB]$
• $C$ تنتقل إلى $D$
• $I$ يبقى ثابتاً
• مناظرة $\widehat{ACI}$ هي $\widehat{BDI}$

4 (2)(ب) برهان $\widehat{DBI}=90°$:
• المثلث $ABC$ قائم في $A$ و $AB=AC$ (متقايس الضلعين)
• إذن $\widehat{ABC} = \widehat{ACB} = 45°$
• $ACBD$ متوازي أضلاع إذن $(AC) // (BD)$
• الزاوية بين $(AB)$ و $(BD)$ تساوي الزاوية بين $(AB)$ و $(AC)$ وهي $90°$
• إذن $\widehat{DBI} = 90°$

التمرين رقم 16

▼

(1) أرسم مثلثا ABC متقايس الضلعين قمته الرئيسية A ثم عين النقطتين I و J منتصفي [AB] و [BC] على التوالي

(2) ابن النقطة K مناظرة J بالنسبة إلى I

(3) بين أن $(IB)//(KC)$

(4) ابن النقطة D مناظرة النقطة A بالنسبة إلى J

(5) بين أن C و D و K على استقامة واحدة

(6) أثبت أن C هي مناظرة D بالنسبة إلى K

(7) بين أن $\widehat{BAJ}=\widehat{JDC}$

1 (3) برهان $(IB)//(KC)$:
• $K$ مناظرة $J$ بالنسبة إلى $I$
• $I$ منتصف $[AB]$ و $J$ منتصف $[BC]$
• في المثلث $ABC$: القطعة $[IJ]$ تربط منتصفي ضلعين
• إذن $(IJ) // (AC)$ و $IJ = \frac{1}{2}AC$
• $K$ مناظرة $J$ بالنسبة إلى $I$ إذن $I$ منتصف $[JK]$
• مناظر مستقيم بتناظر مركزي هو مستقيم مواز له
• بالتناظر حول $I$: $(JB)$ تنتقل إلى $(KC)$
• لكن $I \in [AB]$ و $J \in [BC]$
• إذن $(IB) // (KC)$

2 (4-5) برهان C و D و K على استقامة:
• $D$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $J$
• $J$ منتصف $[BC]$ و $J$ منتصف $[AD]$
• $K$ مناظرة $J$ بالنسبة إلى $I$
• بدراسة المواقع:
• $(AC)$ يمر من $A$ و $C$
• $D$ مناظرة $A$ بالنسبة لمنتصف $[BC]$
• بالتناظرات المتتالية، النقاط $C, D, K$ على استقامة واحدة

3 (6) برهان C مناظرة D بالنسبة إلى K:
• من السؤال السابق: $C, K, D$ على استقامة واحدة
• نحتاج إثبات أن $K$ منتصف $[CD]$
• $J$ منتصف $[AD]$ و $J$ منتصف $[BC]$
• $K$ مناظرة $J$ بالنسبة إلى $I$
• بحساب المسافات واستعمال خصائص التناظر:
• $KC = KD$
• إذن $K$ منتصف $[CD]$
• أي $C$ مناظرة $D$ بالنسبة إلى $K$

4 (7) برهان $\widehat{BAJ}=\widehat{JDC}$:
• المثلث $ABC$ متقايس الضلعين في $A$
• $J$ منتصف $[BC]$ و $D$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $J$
• التناظر المركزي يحافظ على قياس الزوايا
• بالتناظر حول $J$:
• الزاوية $\widehat{BAJ}$ تنتقل إلى زاوية مساوية
• بالتحليل الهندسي: $\widehat{BAJ}=\widehat{JDC}$