سلسلة تمارين شاملة في التناظر المركزي

8 أساسي دفواراتي
مفاهيم أساسية: صحيح أم خطأ
تمرين 1

أكمل بصحيح أم خطأ:

  • (أ) إذا كان $OA = OB$ فإن O منتصف $[AB]$.
  • (ب) إذا كان O منتصف $[AB]$ فإن $OA = OB$.
  • (ج) إذا كان $OA = OB$ فإن A و B متناظرتان بالنسبة إلى O.
  • (د) إذا كان A و B متناظرتان بالنسبة إلى O فإن $OA = OB$.
  • (هـ) إذا كان A مناظرة B بالنسبة إلى O فإن B مناظرة A بالنسبة إلى O.
  • (و) إذا كان O منتصف $[AB]$ فإن A مناظرة B بالنسبة إلى O.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

التناظر بالنسبة لنقطة (أو كون النقطة منتصف قطعة) يتطلب شرطين: تساوي البعد والاستقامة. هل كل العبارات تحقق الشرطين؟

📝 الطريقة

  • العبارتان (أ) و (ج): فكر في مثلث متقايس الضلعين OAB. هل O منتصف القاعدة $[AB]$؟ لا، إذن شرط تساوي البعد وحده لا يكفي.
  • العبارات (ب)، (د)، (هـ)، (و): هذه العبارات تستخدم تعريف المنتصف والتناظر. "O منتصف $[AB]$" و "A و B متناظرتان بالنسبة لـ O" هما عبارتان متكافئتان.

✅ الحل الكامل

  • (أ) خطأ. يجب أن تكون النقاط A, O, B على استقامة واحدة.
  • (ب) صحيح. هذا جزء من تعريف المنتصف.
  • (ج) خطأ. لنفس السبب في (أ).
  • (د) صحيح. هذا جزء من تعريف التناظر.
  • (هـ) صحيح. علاقة التناظر المركزي تبادلية.
  • (و) صحيح. هذا هو تعريف التناظر المركزي.
مثلث قائم ومثلث متقايس الأضلاع
تمرين 4

ابن مثلثًا EFG قائمًا في E بحيث يكون $EF=3$ و $\angle EFG=60^\circ$.

  1. ابن النقطة H صورة F بالتناظر المركزي بالنسبة إلى E. ثم بين أن (EG) هو الموسط العمودي للقطعة $[FH]$.
  2. بين أن $\angle EHG=60^\circ$.
  3. استنتج أن المثلث FGH متقايس الأضلاع ثم ابحث عن طول كل ضلع من أضلاعه.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

المثلث EFG هو نصف مثلث متقايس الأضلاع. استخدم خصائص التناظر المركزي (الحفاظ على الأطوال والزوايا) وخصائص الموسط العمودي.

📝 الطريقة

  1. (1) H صورة F بالنسبة لـ E يعني E منتصف $[FH]$. بما أن المثلث EFG قائم في E، فإن $(EG) \perp (EF)$ أي $(EG) \perp (FH)$. مستقيم يمر من منتصف قطعة وعمودي عليها هو موسطها العمودي.
  2. (2) المثلث EHG هو صورة المثلث EFG بالتناظر المركزي E. التناظر يحافظ على أقيسة الزوايا، إذن $\angle EHG = \angle EFG = 60^\circ$.
  3. (3) المثلث FGH متقايس الضلعين في G لأن (EG) موسط ومحور. إذن $\angle GFH = \angle GHF$. بما أن $\angle EHG=60^\circ$ فالمثلث FGH له زاويتان 60 درجة، فهو متقايس الأضلاع. ولحساب $FG$: بما أن E منتصف [FH]، فإن $FH = 2\times EF = 6$، وبما أن المثلث متقايس الأضلاع فإن $FG = GH = HF = 6$.

✅ الحل الكامل

1) بما أن H مناظرة F بالنسبة لـ E، فإن E هي منتصف $[FH]$. ولدينا $(EG) \perp (EF)$ أي $(EG) \perp (FH)$. إذن (EG) هو الموسط العمودي لـ $[FH]$.

2) المثلث EHG هو صورة المثلث EFG بالتناظر المركزي الذي مركزه E. إذن $\angle EHG = \angle EFG = 60^\circ$.

3) بما أن $(EG)$ هو الموسط العمودي لـ $[FH]$، فالمثلث FGH متقايس الضلعين في G. إحدى زوايا قاعدته هي $\angle GHF = \angle EHG = 60^\circ$. مثلث متقايس الضلعين إحدى زواياه $60^\circ$ هو مثلث متقايس الأضلاع. وبما أن E منتصف [FH] (لأن H مناظرة F بالنسبة إلى E)، فإن $FH = 2\times EF = 6$ cm، ومنه $FG=GH=HF=6$ cm.

معين وإحداثيات
تمرين 17

في معين متعامد ومتجانس $(O,I,J)$، عين النقاط $A(4,2)$, $B(2,2)$, $C(-4,-2)$, $H(6,0)$ و $E(4,-2)$.

  1. بين أن A و C متناظرتان بالنسبة لـ O.
  2. ابن النقطة D بحيث يكون الرباعي ABCD متوازي أضلاع.
  3. حدد زوج إحداثيات D معللاً جوابك.
  4. بين أن المثلث AEH متقايس الضلعين.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

نقطتان $M(x, y)$ و $M'(x', y')$ متناظرتان بالنسبة للمبدأ O إذا كان $x'=-x$ و $y'=-y$. لإثبات أن مثلثًا متقايس الضلعين، ابحث عن تناظر محوري: نقطتان لهما نفس الفاصلة وترتيبان متقابلان متناظرتان بالنسبة لمحور الفواصل، والتناظر المحوري يحفظ الأطوال.

📝 الطريقة

  1. (1) تحقق من أن إحداثيات C هي مقابل إحداثيات A.
  2. (3) لكي يكون ABCD متوازي أضلاع، يتقاطع قطراه [AC] و [BD] في منتصفهما. احسب منتصف [AC]، ثم استنتج D بحيث يكون هذا المنتصف هو نفسه منتصف [BD] (أي D مناظرة B بالنسبة إليه).
  3. (4) لاحظ أن A و E متناظرتان بالنسبة إلى محور الفواصل (OI)، وأن H تقع على هذا المحور، فاستنتج تساوي HA و HE.

✅ الحل الكامل

1) لدينا $A(4,2)$ و $C(-4,-2)$. بما أن $-x_A = -4 = x_C$ و $-y_A = -2 = y_C$, فإن A و C متناظرتان بالنسبة للمبدأ O.

3) في متوازي الأضلاع ABCD يتقاطع القطران [AC] و [BD] في منتصفهما. منتصف [AC] هو $\left(\frac{4+(-4)}{2}, \frac{2+(-2)}{2}\right) = (0,0) = O$. إذن O منتصف [BD] أيضًا، فتكون D مناظرة B(2,2) بالنسبة إلى O، أي $D(-2,-2)$.

4) النقطتان $A(4,2)$ و $E(4,-2)$ لهما نفس الفاصلة $4$ وترتيبان متقابلان، إذن هما متناظرتان بالنسبة إلى محور الفواصل $(OI)$.
والنقطة $H(6,0)$ تقع على المحور $(OI)$ (ترتيبها صفر). والتناظر المحوري يحافظ على الأطوال، وبما أن H على المحور فإن بُعدها عن A يساوي بُعدها عن E، أي $HA = HE$.
إذن المثلث AEH متقايس الضلعين في H.