سلسلة تمارين شاملة في التناظر المركزي

مفاهيم أساسية: صحيح أم خطأ

تمرين 1

أكمل بصحيح أم خطأ:

(أ) إذا كان $OA = OB$ فإن O منتصف $[AB]$.
(ب) إذا كان O منتصف $[AB]$ فإن $OA = OB$.
(ج) إذا كان $OA = OB$ فإن A و B متناظرتان بالنسبة إلى O.
(د) إذا كان A و B متناظرتان بالنسبة إلى O فإن $OA = OB$.
(هـ) إذا كان A مناظرة B بالنسبة إلى O فإن B مناظرة A بالنسبة إلى O.
(و) إذا كان O منتصف $[AB]$ فإن A مناظرة B بالنسبة إلى O.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

التناظر بالنسبة لنقطة (أو كون النقطة منتصف قطعة) يتطلب شرطين: تساوي البعد والاستقامة. هل كل العبارات تحقق الشرطين؟

📝 الطريقة

العبارتان (أ) و (ج): فكر في مثلث متقايس الضلعين OAB. هل O منتصف القاعدة $[AB]$؟ لا، إذن شرط تساوي البعد وحده لا يكفي.
العبارات (ب)، (د)، (هـ)، (و): هذه العبارات تستخدم تعريف المنتصف والتناظر. "O منتصف $[AB]$" و "A و B متناظرتان بالنسبة لـ O" هما عبارتان متكافئتان.

✅ الحل الكامل

(أ) خطأ. يجب أن تكون النقاط A, O, B على استقامة واحدة.
(ب) صحيح. هذا جزء من تعريف المنتصف.
(ج) خطأ. لنفس السبب في (أ).
(د) صحيح. هذا جزء من تعريف التناظر.
(هـ) صحيح. علاقة التناظر المركزي تبادلية.
(و) صحيح. هذا هو تعريف التناظر المركزي.

مستقيمات متوازية وقطع متناظرة

تمرين 2

أرسم مستقيمين متوازيين $\Delta$ و $\Delta'$. عين على $\Delta$ قطعة مستقيم $[AB]$ طولها 4. عين على $\Delta'$ نقاط C, D, E بحيث يكون C منتصف $[ED]$ ويكون $[EC]$ مقايسا لـ $[AB]$.

عين النقطة O التي تكون $[AB]$ و $[DC]$ متناظرين بالنسبة إليها.
عين النقطة O' التي تكون $[AB]$ و $[CE]$ متناظرين بالنسبة إليها.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

إذا كانت قطعة هي مناظرة قطعة أخرى بالنسبة لنقطة، فإن تلك النقطة هي مركز متوازي أضلاع يمكن تكوينه من طرفي القطعتين.

📝 الطريقة

(1) لكي يكون $[AB]$ و $[DC]$ متناظرين بالنسبة لـ O، يجب أن يكون الرباعي ABDC متوازي أضلاع. مركز التناظر O سيكون نقطة تقاطع قطريه $[AC]$ و $[BD]$.
(2) لكي يكون $[AB]$ و $[CE]$ متناظرين بالنسبة لـ O'، يجب أن يكون الرباعي ACBE متوازي أضلاع. مركز التناظر O' سيكون نقطة تقاطع قطريه $[AE]$ و $[BC]$.

✅ الحل الكامل

1) بما أن $[AB]$ و $[DC]$ متوازيان ومتقايسان (لأن $CD=CE=AB=4$)، فإن الرباعي ABDC متوازي أضلاع. مركز تناظره O هو منتصف القطر $[AC]$ (أو $[BD]$).

2) بما أن $[AB]$ و $[CE]$ متوازيان ومتقايسان، فإن الرباعي ACBE متوازي أضلاع. مركز تناظره O' هو منتصف القطر $[AE]$ (أو $[BC]$).