التناظر المركزي (درس كامل)

التمرين رقم 1

أكمل بصحيح أم خطأ:

(أ) إذا كان OA=OB فإن O منتصف [AB] [cite: 5]
ب) إذا كان O منتصف AB] فإن OA=OB [cite: 6]
ج) إذا كان OA=OB فإن A و B متناظرتان بالنسبة إلى [cite: 7]
د) إذا كان A و B متناظرتان بالنسبة إلى فإنّ OA=OB [cite: 7]
ه) إذا كان A مناظرة B بالنسبة إلى O فإنّ B مناظرة A بالنسبة إلى O [cite: 7]
و) إذا كان O منتصف [AB] فإنّ A مناظرة B بالنسبة إلى O [cite: 7]

التمرين رقم 2

أرسم مستقيمين متوازيين A و A'. عين على A قطعة مستقيم [AB] طولها 4 وعين على A' نقاط C و D و E بحيث يكون C منتصف [ED] ويكون [EC] مقايسا لـ [AB]. [cite: 8]
(1) عين النقطة التي تكون [AB] و [CD] متناظرين بالنسبة إليها. [cite: 9]
وعين النقطة التي تكون [AB] و [CE] متناظرين بالنسبة إليها. [cite: 10]
(2) حقق بواسطة المسطرة أن طول [OO] هو 2. [cite: 11]

التصحيح للتمرين 2: (تصحيح افتراضي - يرجى إدخال التصحيح الفعلي هنا)

الخطوة 1: اتبع خطوات الرسم بدقة.

الخطوة 2: استخدم خصائص التناظر لتحديد النقاط المطلوبة.

التمرين رقم 3

(1) ابن مثلثا ABC ثم أرسم O و I و L حيث O منتصف [BC] و I منتصف [AO] و B مناظرة A بالنسبة إلى L. [cite: 12, 13]
ابن النقطتين D و K حيث D مناظرة B بالنسبة إلى I و K مناظرة L. [cite: 14]
(2) أثبت أن (AD)//(BO) و AD=BO. [cite: 15]
ب) أثبت أن (AK)//(BO) و AK=BO. [cite: 16]
ج) استنتج أن A منتصف [DK]. [cite: 17]
(3) لتكن L مناظرة C بالنسبة إلى L. أثبت أن A و K و L على استقامة واحدة. [cite: 18]
أثبت ان L مناظرة A بالنسبة إلى K. [cite: 19]

التصحيح للتمرين 3: (تصحيح افتراضي - يرجى إدخال التصحيح الفعلي هنا)

الخطوة 1: استخدم خصائص المنتصف والتناظر لإثبات التوازي وتساوي الأطوال.

الخطوة 2: استنتج علاقات الاستقامة ونقاط المنتصف.

التمرين رقم 4

ابن مثلثا EFG قائما في E بحيث يكون EF=3 و EFG=60°. [cite: 21]
(1) ابن النقطة H صورة F بالتناظر المركزي بالنسبة إلى E ثم بين أن (EG) هو الموسط العمودي للقطعة [EH]. [cite: 22]
(2) بين أن EHG=60°. [cite: 23]
(3) استنتج أن المثلث FGH متقايس الأضلاع ثم ابحث عن طول كل ضلع من أضلاعه. [cite: 24]

التصحيح للتمرين 4: (تصحيح افتراضي - يرجى إدخال التصحيح الفعلي هنا)

الخطوة 1: استخدم خصائص التناظر المركزي والمثلثات القائمة والزوايا.

الخطوة 2: استنتج نوع المثلث وأطوال أضلاعه.

التمرين رقم 5

نعتبر مثلثا ABC متقايس الأضلاع. [cite: 28]
(1) ابن النقاط A' و C' بحيث A' و C' مناظرتا النقطتين A و C بالنسبة إلى B. [cite: 29]
(2) بين أن المثلث A'BC' متقايس الأضلاع. [cite: 30]
(3) برهن على أن (A'C')//(AC). [cite: 31]
(4) برهن على أن الرباعي AC'A'C متوازي الأضلاع. [cite: 32]

التصحيح للتمرين 5: (تصحيح افتراضي - يرجى إدخال التصحيح الفعلي هنا)

الخطوة 1: استخدم خصائص التناظر المركزي والمثلثات المتساوية الأضلاع.

الخطوة 2: أثبت التوازي وطبيعة الرباعي.

التمرين رقم 6

ليكن EFG مثلثا متقايس الضلعين قمته الرئيسية E و M منتصف [FG]. [cite: 34]
(1) برهن على أن (EM) عمودي على (FG). [cite: 35]
(2) ابن النقط G', M', F' حيث G' مناظرة G بالنسبة إلى E و M' مناظرة M بالنسبة إلى E و F' مناظرة F بالنسبة إلى E ثم برهن أن M' هي منتصف [F'G']. [cite: 36]
(3) بين أن (E'M') هو الموسط العمودي للقطعة [F'G']. [cite: 37]
(4) بين أنّ (FG)//(F'G'). [cite: 39]

التصحيح للتمرين 6: (تصحيح افتراضي - يرجى إدخال التصحيح الفعلي هنا)

الخطوة 1: استخدم خصائص المثلث متقايس الضلعين والتناظر المركزي.

الخطوة 2: أثبت التعامد ونقاط المنتصف والتوازي.

التمرين رقم 7

نعتبر المثلث ABC المتقايس الضلعين في A. [cite: 41]
(1) ابن النقاط A' و C' مناظرتا النقطتين A و C بالنسبة إلى B. [cite: 42]
(2) بين أن الرباعي AC'A'C هو متوازي أضلاع. [cite: 43]
(3) بين أن المثلث BA'C' متقايس الضلعين. ما هو رأسه. [cite: 44]
(4) ليكن M نقطة من [AC]. بين أن M' صورة M بالتناظر المركزي حول B تنتمي إلى [A'C']. [cite: 45]
(5) ليكن I منتصف [BC] و J منتصف [B'C']. [cite: 45]
بين أن I مناظرة J بالنسبة إلى B. [cite: 46]
(6) بين أن (AI)//(A'J). [cite: 47]

التصحيح للتمرين 7: (تصحيح افتراضي - يرجى إدخال التصحيح الفعلي هنا)

الخطوة 1: استخدم خصائص المثلث متقايس الضلعين والتناظر المركزي.

الخطوة 2: أثبت طبيعة الرباعي وتحديد نقاط المنتصف والتوازي.

التمرين رقم 8

ليكن ABC مثلث قائم في A بحيث AB=3 و BC=6. [cite: 49]
(1) ابن المثلث ABC و حقق أن ABC=60°. [cite: 50]
(2) ليكن I منتصف [BC]. ما هي طبيعة المثلث ABI. [cite: 51]
بين أن الموسط العمودي لـ [AI] يمر من B. [cite: 52]
(3) أرسم الدائرة (C) مركزها A و شعاعها 3 و الدائرة (C') مركزها I و شعاعها 3. [cite: 52]
بين أن الدائرة (C) تمر من B و I و أن الدائرة (C') تمر من A,B,C. [cite: 53]
(4) ليكن K منتصف [AI]. ابن النقطة B' مناظرة B بالنسبة إلى K. [cite: 54]
ثم بين أن (C) و (C') تمران من K. [cite: 54]

التصحيح للتمرين 8: (تصحيح افتراضي - يرجى إدخال التصحيح الفعلي هنا)

الخطوة 1: استخدم خصائص المثلث القائم والمثلثات الخاصة.

الخطوة 2: تحديد طبيعة المثلثات والدوائر والعلاقات بينها.

التمرين رقم 9

نعتبر مثلثا ABC مثلثا متقايس الضلعين قاعدته [BC] و J منتصف [AC] و I منتصف [AB]. [cite: 58]
(1) ابن النقطة D مناظرة C بالنسبة إلى I ثم برهن أن (AD)//(BC). [cite: 59]
(2) (BJ) و (AD) يتقاطعان في E. [cite: 59]
برهن أن E هي مناظرة B بالنسبة لـ I. [cite: 60]
(3) برهن أن A هي منتصف [ED]. [cite: 61]
(4) أثبت أن BAD=CAE. [cite: 62]

التصحيح للتمرين 9: (تصحيح افتراضي - يرجى إدخال التصحيح الفعلي هنا)

الخطوة 1: استخدم خصائص المثلث متقايس الضلعين ونقاط المنتصف والتناظر.

الخطوة 2: أثبت التوازي والعلاقات بين النقاط والزوايا.

التمرين رقم 10

نعتبر مثلثا ABC و [AM] موسطه الموافق للضلع [BC] و I منتصف [AM]. [cite: 63]
(1) ابن E و F حيث E مناظرة B و F مناظرة C بالنسبة إلى I. بين أن E و F متناظرتان بالنسبة إلى A. [cite: 63]
(2) برهن أن AB=ME. [cite: 64]
(3) أثبت أن (AC)//(MF). [cite: 65]
(4) بين أن IBC=IEA. [cite: 66]

التصحيح للتمرين 10: (تصحيح افتراضي - يرجى إدخال التصحيح الفعلي هنا)

الخطوة 1: استخدم خصائص الموسط ونقاط المنتصف والتناظر.

الخطوة 2: أثبت تساوي الأطوال والتوازي وتساوي الزوايا.

التمرين رقم 11

ABC مثلث و O منتصف [AC]. لتكن D مناظرة B بالنسبة لـ O. [cite: 67]
(1) بين أن (AB)//(CD). [cite: 68]
(2) بين أن ABC=ADC. [cite: 69]

التصحيح للتمرين 11: (تصحيح افتراضي - يرجى إدخال التصحيح الفعلي هنا)

الخطوة 1: استخدم خصائص التناظر المركزي ونقاط المنتصف.

الخطوة 2: أثبت التوازي وتساوي الزوايا.

التمرين رقم 12

نعتبر مثلثا ABC حيث AB=AC. [cite: 73]
(1) ابن دائرتين (C) و (C') لهما نفس المركز وشعاعهما على التوالي AB و AC. [cite: 74]
(2) ابن الدائرة (C1) مناظرة (C) بالنسبة لـ B. [cite: 74]
(3) ما هي مناظرة (C) بالنسبة لـ A؟ [cite: 75]

التصحيح للتمرين 12: (تصحيح افتراضي - يرجى إدخال التصحيح الفعلي هنا)

الخطوة 1: بناء الدوائر والمناظرات.

الخطوة 2: تحديد مناظرة الدائرة.

التمرين رقم 13

ABC مثلث قائم الزاوية في A و I منتصف [AB]. [cite: 77]
(1) ابن النقطة C' مناظرة C بالنسبة إلى I. [cite: 78]
(2) بين أن (BC')//(AC) ثم استنتج أن (BC') عمودي على (AB). [cite: 79]
(3) أوجد مناظرة الزاوية AC'C حسب I. [cite: 79]
(4) أرسم B' و I' على التوالي مناظرة B و I بالنسبة إلى A. بين أن I' منتصف [A'B']. [cite: 80]
(5) أرسم الدائرة (C) التي قطرها [AB] ثم الدائرة (C') مناظرتها بالنسبة إلى A. ما هي الوضعية النسبية للدائرتين (C) و (C')؟ علل جوابك. [cite: 80]

التصحيح للتمرين 13: (تصحيح افتراضي - يرجى إدخال التصحيح الفعلي هنا)

الخطوة 1: استخدم خصائص المثلث القائم ونقاط المنتصف والتناظر.

الخطوة 2: أثبت التوازي والتعامد ومناظرة الزوايا وتحديد الوضعية النسبية للدوائر.

التمرين رقم 14

ABC مثلث قائم الزاوية في A بحيث AB=2cm و AC=3cm. [cite: 84]
(1) ابن E و F على التوالي مناظرات النقاط B و C بالنسبة إلى A. [cite: 84]
(2) ما هي طبيعة الرباعي EBCF؟ علل جوابك. [cite: 85]
(3) عين نقطة M من [EB]. المستقيم (AM) يقطع [FC] في N. [cite: 85]
(4) بين أن M و N متناظرتان بالنسبة إلى A. [cite: 85]
(5) استنتج أن MBFN متوازي أضلاع. [cite: 85]

التصحيح للتمرين 14: (تصحيح افتراضي - يرجى إدخال التصحيح الفعلي هنا)

الخطوة 1: بناء المناظرات وتحديد طبيعة الرباعي.

الخطوة 2: إثبات التناظر وتحديد نوع الرباعي.

التمرين رقم 15

نعتبر مثلثا ABC قائما في A بحيث AB=AC و Δ الموسط العمودي لـ [AB] يقطع [AB] في I. [cite: 87]
(1) (أ) ابن النقطة D مناظرة النقطة C بالنسبة إلى I. [cite: 88]
ب) أوجد مناظر كل المستقيمين (AC) و (BC) بالتناظر المركزي الذي مركزه I. [cite: 89]
ج) استنتج أن ACBD متوازي أضلاع. [cite: 90]
(2) (أ) أوجد مناظرة الزاوية ACI بالنسبة إلى I. [cite: 90]
ب) بين أن DBI=90°. [cite: 91]
(3) لتكن E منتصف [AC] و النقطة F مناظرة E بالنسبة إلى I. [cite: 92]
بين أن F منتصف [BD]. [cite: 93]
(4) Δ يقطع [BC] في O و [AD] في O'. [cite: 93]
بين أن O و O' متناظرتان بالنسبة إلى I. [cite: 94]
(5) لتكن (C) الدائرة التي مركزها O و شعاعها OC و (C') الدائرة التي مركزها O' و شعاعها O'D. [cite: 95]
بين ان (C) و (C') متناظرتان بالنسبة إلى I. [cite: 96]

التصحيح للتمرين 15: (تصحيح افتراضي - يرجى إدخال التصحيح الفعلي هنا)

الخطوة 1: بناء المناظرات وتحديد مناظر المستقيمات.

الخطوة 2: استنتاج طبيعة الرباعي ومناظرة الزوايا وتحديد نقاط المنتصف.

الخطوة 3: إثبات تناظر الدوائر.

التمرين رقم 16

(1) أرسم مثلثا ABC متقايس الضلعين قمته الرئيسية A ثم عين النقطتين I و J منتصفي [AB] و [BC] على التوالي. [cite: 98, 99]
(2) ابن النقطة K مناظرة J بالنسبة إلى I. [cite: 99]
(3) بين أن (IB)//(KC). [cite: 99]
(4) ابن النقطة D مناظرة النقطة A بالنسبة إلى J. [cite: 100]
(5) بين أن C و D و K على استقامة واحدة. [cite: 101]
(6) أثبت أن C هي مناظرة D بالنسبة إلى K. [cite: 101]
(7) بين أن BAJ=JDC. [cite: 102]

التصحيح للتمرين 16: (تصحيح افتراضي - يرجى إدخال التصحيح الفعلي هنا)

الخطوة 1: بناء المناظرات ونقاط المنتصف.

الخطوة 2: إثبات التوازي والاستقامة ومناظرة النقاط وتساوي الزوايا.

التمرين رقم 17

(1) أرسم معينا (O,i,j) من المستوي بحيث (OI) و (OJ) متعامدان. [cite: 103]
(2) عين النقاط A(4,2), B(2,2), C(-4,-2) و H(6,0) و E(4,-2). [cite: 104]
(3) بين أن A و C متناظرتان بالنسبة لـ O. [cite: 105]
(4) ابن النقطة D بحيث يكون الرباعي ABCD متوازي أضلاع. [cite: 106]
(5) حدد زوج إحداثيات D معللا جوابك. [cite: 107]
(6) بين أن المثلث AEH متقايس الضلعين. [cite: 108]

التصحيح للتمرين 17: (تصحيح افتراضي - يرجى إدخال التصحيح الفعلي هنا)

الخطوة 1: بناء النقاط وتحديد علاقات التناظر.

الخطوة 2: بناء متوازي الأضلاع وتحديد إحداثيات D.

الخطوة 3: إثبات أن المثلث متقايس الضلعين.

التمرين رقم 18

نعتبر معينا من المستوي (O,i,j) بحيث (OI) و (OJ) متعامدان و OI=OJ عين النقاط A و B و C بحيث A(3,2) و B مناظرتها بالنسبة إلى (OJ) و C مناظرة A بالنسبة إلى (OI). [cite: 112, 113]
(1) حدد إحداثيات B و C. [cite: 114]
(2) استنتج أن B و O و C على استقامة واحدة. [cite: 115]
(3) عين النقطة D بحيث يكون الرباعي ABCD مستطيلا ثم أوجد إحداثيات D معللا جوابك. [cite: 115]

التصحيح للتمرين 18: (تصحيح افتراضي - يرجى إدخال التصحيح الفعلي هنا)

الخطوة 1: تحديد إحداثيات B و C بناءً على التناظر.

الخطوة 2: إثبات استقامة B, O, C.

الخطوة 3: تحديد إحداثيات D لجعل الرباعي مستطيلاً.

التمرين رقم 19

نعتبر معينا من المستوي (O,I,J) بحيث (OI) و (OJ) متعامدان و OI=OJ=2cm. [cite: 117]
(1) أرسم النقاط M(3/2;2), N(-3/2;2), P(-3/2;-2). [cite: 118, 119, 120]
(2) بين أن النقطتين M و N متناظرتين بالنسبة إلى (OJ) ثم استنتج أن (MN) عمودي على (OI). [cite: 121]
(3) بين أن P و M متناظرتان بالنسبة إلى O. [cite: 121]
(4) أرسم النقطة Q مناظرة P بالنسبة إلى (OI). [cite: 121]
(5) استنتج إحداثيات Q. [cite: 122]
(6) بين أن O منتصف [NP]. [cite: 123]
(7) بين أن المثلث MNP قائم الزاوية في N. [cite: 124]
(8) بين أن MNPQ مستطيل. [cite: 125]

التصحيح للتمرين 19: (تصحيح افتراضي - يرجى إدخال التصحيح الفعلي هنا)

الخطوة 1: رسم النقاط وتحديد علاقات التناظر.

الخطوة 2: إثبات أن O منتصف [NP]، وطبيعة المثلث MNP، وشكل الرباعي MNPQ.

التمرين رقم 20

نعتبر مثلثا ABC بحيث AB=4cm, BC=5cm و ABC=50°. [cite: 127]
(1) ابن النقطتين G و F مناظرتي B و C على التوالي بالنسبة إلى A. [cite: 128]
(2) أوجد مع تعليل الجواب مناظر المستقيم (BC). [cite: 128]
(3) بين أن (FC)//(BG) ثم استنتج طبيعة الرباعي BCFG. [cite: 128]
(4) بين أن AFG=50°. [cite: 129]
(5) لتكن I منتصف [AB] و J منتصف [AF]. بين ان I و J متناظرتان بالنسبة إلى A. [cite: 130, 131]
(6) أرسم الدائرة (C) التي قطرها [AB] ثم الدائرة (C') مناظرتها بالنسبة إلى A. حدد معللا جوابك مركزها و قطرها. [cite: 131, 132]
(7) عين نقطة M من [BC] بحيث CM=2cm. المستقيم (AM) يقطع [FG] في N. بين أن M و N متناظرتان بالنسبة إلى A. [cite: 133, 134]

التصحيح للتمرين 20: (تصحيح افتراضي - يرجى إدخال التصحيح الفعلي هنا)

الخطوة 1: بناء المناظرات وتحديد مناظر المستقيمات.

الخطوة 2: استنتاج طبيعة الرباعي، وتحديد علاقات التناظر بين النقاط والدوائر.

التمرين رقم 21

نعتبر معينا من المستوي (O,i,j) بحيث (OI) و (OJ) متعامدان. [cite: 135]
(1) عين النقطتين A(3;2) و B(-3;2). [cite: 137]
(2) بين ان المثلث OAB متقايس الضلعين. [cite: 138]
(3) ابن النقطة C مناظرة A بالنسبة لـ O ثم حدد إحداثيات C معللا جوابك. [cite: 139]
(4) بين أن (OJ)//(BC). [cite: 139]

التصحيح للتمرين 21: (تصحيح افتراضي - يرجى إدخال التصحيح الفعلي هنا)

الخطوة 1: بناء النقاط وتحديد طبيعة المثلث.

الخطوة 2: بناء النقطة C وتحديد إحداثياتها.

الخطوة 3: إثبات التوازي.

التمرين رقم 22

[AB] قطعة مستقيم O منتصفها و A المستقيم العمودي على [AB] في النقطة A. [cite: 142]
عين نقطة M من A ثم ابن N مناظرتها بالنسبة إلى O. [cite: 143, 144]
(1) بين ان (AM)//(BN). [cite: 145]
(2) ما هي طبيعة المثلث OBN؟ علل جوابك. [cite: 146]
(3) باستعمال التناظر المركزي الذي مركزه O بين أن AM=BN و OMA=ONB. [cite: 147]
(4) أرسم الدائرة التي مركزها A و شعاعها OA ثم ارسم الدائرة التي مركزها B و شعاعها OB. [cite: 147]
بين أن الدائرتين متناظرتين بالنسبة إلى O. [cite: 148]
(5) نصف المستقيم [AM] يقطع الدائرة في نقطة E و نصف المستقيم [BN] يقطع الدائرة في نقطة F. [cite: 149]
بين أن E و F متناظرتان بالنسبة إلى O. [cite: 150]

التصحيح للتمرين 22: (تصحيح افتراضي - يرجى إدخال التصحيح الفعلي هنا)

الخطوة 1: بناء المناظرات وتحديد علاقات التوازي.

الخطوة 2: تحديد طبيعة المثلث، وإثبات تساوي الأطوال والزوايا.

الخطوة 3: إثبات تناظر الدوائر وتناظر النقاط.