MNP مثلثا و I نقطة من [NP] و I منتصف [MP] و E مناظرة A بالنسبة إلى I.
خصائص أساسية:
أفكار مساعدة: استخدم مبرهنة منتصفي ضلعين في رباعي
المرحلة الأولى - تحليل المعطيات:
• MNP مثلث معطى
• I نقطة من [NP] و I منتصف [MP]
• E مناظرة A بالنسبة إلى I ← I منتصف [AE]
المرحلة الثانية - إثبات شبه المنحرف:
• في الرباعي MAEP: I منتصف كل من [MP] و [AE]
• بتطبيق مبرهنة منتصفي القطرين في رباعي
• نحصل على: MAEP متوازي أضلاع
المرحلة الثالثة - الاستقامة:
• F مناظرة I بالنسبة إلى I يعني F = I
• من الجزء الأول: (MA) // (EP)
1) إثبات أن NMEP شبه منحرف:
• المعطيات: I منتصف [MP], E مناظرة A بالنسبة إلى I
• من تعريف التناظر المركزي: I منتصف [AE]
• في الرباعي MAEP: I منتصف كل من [MP] و [AE]
• بمبرهنة منتصفي القطرين: MAEP متوازي أضلاع
• إذن (MA) // (EP) و MA = EP
• في الرباعي NMEP: (NM) و (EP) ليسا متوازيين (أحدهما جزء من ضلع مثلث)
• لكن (MA) // (EP) حيث MA جزء من NM
• إذن NMEP شبه منحرف قاعدتاه [NM] و [EP] ✓
2) إثبات الاستقامة M, E, F:
• المعطى: F مناظرة I بالنسبة إلى I
• هذا يعني أن I هي منتصف [IF]
• لكن البعد من I إلى نفسها = 0
• إذن F = I (F تتطابق مع I)
• من الجزء الأول: MAEP متوازي أضلاع
• إذن النقاط M, A, E, P تشكل متوازي أضلاع
• النقطة I منتصف القطرين [MP] و [AE]
• إذن M, I, E على استقامة واحدة (قطر المتوازي)
• وبما أن F = I، فإن M, E, F على استقامة واحدة ✓
ABCD شبه منحرف قائما في A قاعدتاه [AB] و [CD].
نقاط مهمة للانطلاق:
خاصية أساسية: التناظر المركزي يحافظ على الزوايا والمسافات
فكرة: استخدم أن الشبه المنحرف قائم في A
خطوة 1 - فهم التركيب:
• ABCD شبه منحرف قائم في A
• O منتصف [AB] (نفترض هذا من السياق)
• G مناظرة D بالنسبة لـ O ← O منتصف [DG]
خطوة 2 - استخدام الزاوية القائمة:
• في الشبه المنحرف القائم: ∠DAB = 90°
• إذن (AD) ⊥ (AB)
• التناظر المركزي يحافظ على الزوايا
خطوة 3 - تطبيق خصائص التناظر:
• G مناظرة D بالنسبة لـ O
• النقطة A مناظرة B بالنسبة لـ O (لأن O منتصف [AB])
• إذن الزاوية ∠DAB مناظرة للزاوية ∠GBA
1) تحديد O و G:
• O منتصف [AB] (نفترض من السياق العام)
• G مناظرة D بالنسبة لـ O
• إذن O منتصف [DG] حسب تعريف التناظر المركزي ✓
2) إثبات أن (BG) ⊥ (CD):
• الشبه المنحرف ABCD قائم في A
• إذن ∠DAB = 90° ← (AD) ⊥ (AB)
• بالتناظر المركزي حول O:
- A ↔ B (لأن O منتصف [AB])
- D ↔ G (حسب المعطى)
• إذن الزاوية ∠DAB مناظرة للزاوية ∠GBA
• وبما أن التناظر يحافظ على قيس الزوايا:
• ∠GBA = 90° ← (BG) ⊥ (AB)
• وبما أن (AB) // (CD) في الشبه المنحرف
• فإن (BG) ⊥ (CD) ✓
3) إثبات أن ABED مستطيل:
• E نقطة تقاطع (BG) و (CD)
• من الجزء السابق: (BG) ⊥ (CD)
• إذن ∠BED = 90°
• من خصائص الشبه المنحرف القائم:
- ∠DAB = 90° (معطى)
- ∠ABC = 90° (زاوية قائمة في الشبه المنحرف القائم)
• في الرباعي ABED:
- ∠DAB = 90°
- ∠ABE = 90° (جزء من ∠ABC)
- ∠BED = 90°
- ∠EDA = 90° (مجموع زوايا الرباعي = 360°)
• إذن جميع زوايا ABED قائمة
• وبما أن (AB) // (DE) (من بناء الشبه المنحرف)
• إذن ABED مستطيل ✓
ارسم مثلثا ABC متقايس الضلعين قمته الرئيسية A و $\angle ABC = 40°$.
خصائص المثلث متقايس الضلعين:
خاصية التناظر المركزي: يحافظ على قياس الزوايا واتجاهها
فكرة المنصف: إذا كانت الزاويتان متساويتان فإن الضلع المشترك ينصف الزاوية الكلية
المرحلة 1 - تحليل المثلث:
• ABC متقايس الضلعين: AB = AC
• ∠ABC = 40° (معطى)
• إذن ∠ACB = 40° (زاويتان قاعديتان)
• ∠BAC = 180° - 40° - 40° = 100°
المرحلة 2 - بناء النقاط:
• I منتصف [BC]
• E مناظرة A بالنسبة لـ I
• إذن I منتصف [AE] (تعريف التناظر المركزي)
المرحلة 3 - تحديد صورة الزاوية:
• بالتناظر المركزي حول I:
- A ↔ E
- B ↔ C
- C ↔ B
• إذن ∠ABC ↔ ∠ECB
المرحلة 4 - استنتاج المنصف:
• ∠ECB = ∠ABC = 40° (التناظر يحافظ على القياس)
• ∠ACB = 40° (من خصائص المثلث متقايس الضلعين)
• إذن ∠ACB = ∠ECB
• هذا يعني أن [CB] ينصف الزاوية ∠ACE
1) بناء النقاط I و E:
• في المثلث ABC متقايس الضلعين: AB = AC
• ∠ABC = 40° معطى، إذن ∠ACB = 40° (زاويتان قاعديتان)
• ∠BAC = 180° - 40° - 40° = 100°
• I منتصف [BC] حسب التعليمات
• E مناظرة A بالنسبة لـ I
• إذن I منتصف [AE] بتعريف التناظر المركزي ✓
2) تحديد صورة الزاوية ∠ABC:
• بالتناظر المركزي حول النقطة I:
- النقطة A تنتقل إلى E
- النقطة B تنتقل إلى C (لأن I منتصف [BC])
- النقطة C تنتقل إلى B
• إذن الزاوية ∠ABC تنتقل إلى الزاوية ∠ECB
• صورة الزاوية ABC بالنسبة لـ I هي الزاوية ECB ✓
3) إثبات أن [CB] منصف الزاوية ACE:
• من الجزء السابق: ∠ECB هي صورة ∠ABC
• التناظر المركزي يحافظ على قياس الزوايا
• إذن ∠ECB = ∠ABC = 40°
• من خصائص المثلث متقايس الضلعين: ∠ACB = 40°
• وبالتالي: ∠ACB = ∠ECB = 40°
• هذا يعني أن الشعاع [CB) ينصف الزاوية ∠ACE ✓
حساب قياس الزاوية ACE:
• ∠ACE = ∠ACB + ∠BCE
• ∠ACE = 40° + 40° = 80°
• إذن قياس الزاوية ACE = 80° ✓
مثلثا ABC بحيث ∠ABC = 50°, ∠BAC = 70°, AB = 5cm.
معطيات المثلث:
خصائص التناظر المركزي:
فكرة أساسية: استخدم أن I مركز التناظر يجعل الأشكال متناظرة
خطوة 1 - بناء النقاط:
• I بحيث A و B متناظرتان بالنسبة لـ I
• هذا يعني I منتصف [AB]
• D مناظرة C بالنسبة لـ I
• إذن I منتصف [CD]
خطوة 2 - إثبات التوازي:
• استخدم أن I منتصف كل من [AB] و [CD]
• طبق مبرهنة منتصفي ضلعين في رباعي
خطوة 3 - تحديد مناظر الزوايا:
• بالتناظر المركزي حول I:
- A ↔ B, B ↔ A, C ↔ D
• إذن كل زاوية في المثلث ABC لها مناظر في "المثلث" BAD
خطوة 4 - استنتاج العلاقات:
• استخدم خصائص متوازي الأضلاع
• طبق خصائص الزوايا المتقابلة والمتكاملة
معطيات المثلث ABC:
• ∠ABC = 50°, ∠BAC = 70°, AB = 5cm
• ∠ACB = 180° - 50° - 70° = 60°
1) بناء I و D:
• I بحيث A و B متناظرتان بالنسبة لـ I
• إذن I منتصف [AB] ✓
• D مناظرة C بالنسبة لـ I
• إذن I منتصف [CD] ✓
2) إثبات (AD)//(BC) و ADBC متوازي أضلاع:
• في الرباعي ABCD: I منتصف كل من [AB] و [CD]
• بمبرهنة منتصفي ضلعين متقابلين في رباعي:
• (AD) // (BC) و AD = BC ✓
• أيضاً: (AB) // (DC) و AB = DC (لأن I منتصف كل منهما)
• إذن ADBC رباعي أضلاعه المتقابلة متوازية ومتساوية
• بالتالي ADBC متوازي أضلاع ✓
3) مناظر الزوايا بالنسبة لـ I:
• بالتناظر المركزي حول I:
- A ↔ B, B ↔ A, C ↔ D
• إذن:
- مناظر ∠BAC هو ∠ABD
- مناظر ∠ACB هو ∠BDA
- مناظر ∠ABC هو ∠BAD
• وبالتناظر المركزي: القياسات محفوظة
• ∠ABD = 70°, ∠BDA = 60°, ∠BAD = 50° ✓
4) العلاقات المطلوبة:
أ) ∠ACB + ∠DAC = 180°:
• في متوازي الأضلاع ADBC: الزوايا المتجاورة متكاملة
• ∠ACB + ∠CAD = 180° (زاويتان متجاورتان في المتوازي)
• إذن ∠ACB + ∠DAC = 60° + 120° = 180° ✓
ب) CAD = BC:
• هناك خطأ في الصياغة. المقصود غالباً AD = BC
• من إثبات متوازي الأضلاع: الأضلاع المتقابلة متساوية
• إذن AD = BC ✓
ليكن ABCD مربعا مركزه O طول ضلعه 5. لتكن E نقطة من [AB] بحيث AE = 2.
معطيات المربع:
أفكار أساسية:
نصيحة: ابدأ بإحداثيات النقاط لتسهيل الحسابات
مرحلة 1 - نظام الإحداثيات:
• نضع O في المركز (0,0)
• A(-2.5, -2.5), B(2.5, -2.5), C(2.5, 2.5), D(-2.5, 2.5)
• E على [AB]: E(-0.5, -2.5) لأن AE = 2
مرحلة 3 - التناظر والتوازي:
• تحقق من أن O منتصف [EF]
• احسب CF باستخدام الإحداثيات
• أثبت التوازي (DE) // (BF) بمقارنة الميول
مرحلة 4 - المثلث الجديد:
• مثلث EFG قائم في E، EF = 3, ∠EFG = 60°
• استخدم علاقات المثلث القائم لإيجاد EG
• طبق التناظر المركزي لإيجاد H
1) بناء النقط I و E:
• في المثلث ABC متقايس الضلعين: AB = AC
• ∠ ABC = 40° معطى، إذن ∠ ACB = 40° (زاويتان قاعديتان متساويتان)
• ∠ BAC = 180° - 40° - 40° = 100°
• I منتصف [BC] حسب التعليمات
• E مناظرة A بالنسبة لـ I
• إذن I منتصف [AE] بتعريف التناظر المركزي ✓
2) تحديد صورة الزاوية ∠ ABC:
• بالتناظر المركزي حول النقطة I:
- النقطة A تنتقل إلى E
- النقطة B تنتقل إلى C (لأن I منتصف [BC])
- النقطة C تنتقل إلى B
• إذن الزاوية ∠ ABC تنتقل إلى الزاوية ∠ ECB
• صورة الزاوية ABC بالنسبة لـ I هي الزاوية ECB ✓
3) إثبات أن [CB] منصف الزاوية ACE بالخصائص الهندسية:
• بما أن ABC متقايس الضلعين في A، فإن I (منتصف القاعدة BC) يقع على محور التناظر للمثلث
• خاصية المثلث متقايس الضلعين: منتصف القاعدة، قمة المثلث، ومركز التناظر متوازية
• عندما نبني E مناظرة A بالنسبة لـ I، نحصل على شكل متناظر
• في هذا التركيب: النقاط A, I, E متوازية (لأن I منتصف [AE])
• بما أن المثلث ABC متقايس الضلعين والنقطة I منتصف قاعدته، فإن:
- AI تصنع نفس الزاوية مع [BC] من كلا الجهتين
- وبالتالي EI تصنع نفس الزاوية أيضاً (بسبب التناظر)
• نتيجة لذلك: الزاوية ∠ ACB = الزاوية ∠ ECB
• وبما أن ∠ ACB = 40° (من خصائص المثلث متقايس الضلعين)
• إذن ∠ ECB = 40° أيضاً
• لذلك الشعاع [CB) ينصف الزاوية ∠ ACE ✓
حساب قياس الزاوية ACE:
• ∠ ACE = ∠ ACB + ∠ BCE
• ∠ ACE = 40° + 40° = 80°
• إذن قياس الزاوية ACE = 80° ✓