تمارين في التناظر المركزي

دفواراتي
مثلث متوازي أضلاع
تمرين 1

MNP مثلثا و I نقطة من [NP] و I منتصف [MP] و E مناظرة A بالنسبة إلى I.

  1. بين أن NMEP شبه منحرف.
  2. ابن النقطة I منتصف [MN] و F مناظرة I بالنسبة إلى I. بين أن M و E و F على استقامة واحدة.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

نقاط مهمة:

  • I منتصف [MP] حسب المعطيات
  • E مناظرة A بالنسبة إلى I
  • لإثبات أن NMEP شبه منحرف، يجب إظهار أن لديه ضلعين متوازيين فقط

فكرة: استخدم خصائص التناظر المركزي وقواعد متوازي الأضلاع

📝 الطريقة

الجزء الأول - إثبات NMEP شبه منحرف:

• I منتصف [MP] ← معطى

• E مناظرة A بالنسبة إلى I ← معطى

• حسب خصائص التناظر المركزي: I منتصف [AE]

• نطبق مبرهنة منتصفي ضلعين في مثلث أو رباعي

الجزء الثاني - الاستقامة:

• I منتصف [MN] ← بناء جديد

• F مناظرة I بالنسبة إلى I

• هذا يعني I = F (نقطة مناظرة نفسها)

✅ الحل الكامل

1) إثبات NMEP شبه منحرف:

• I منتصف [MP] حسب المعطيات

• E مناظرة A بالنسبة إلى I، إذن I منتصف [AE]

• في الرباعي MAEP: I منتصف كل من [MP] و [AE]

• حسب مبرهنة منتصفي القطرين: MAEP متوازي أضلاع

• إذن (MA) // (EP) و MA = EP

• بالتالي NMEP شبه منحرف قاعدتاه [NM] و [EP] ✓

2) الاستقامة M, E, F:

• F مناظرة I بالنسبة إلى I يعني F = I

• من الجزء الأول: (MA) // (EP)

• وبما أن I على [MA] و I على [EP]

• إذن M, I, E على استقامة واحدة

• وبما أن F = I، فإن M, E, F على استقامة واحدة ✓

شبه منحرف قائم
تمرين 2

ABCD شبه منحرف قائما في A قاعدتاه [AB] و [CD].

  1. عين منتصف [AB] و G مناظرة D بالنسبة لـ O.
  2. بين أن (BG) عمودي على (CD).
  3. المستقيمان (BG) و (CD) يتقاطعان في E. بين أن ABED مستطيل.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

معطيات مهمة:

  • ABCD شبه منحرف قائم في A
  • O منتصف [AB]
  • G مناظرة D بالنسبة لـ O

خاصية أساسية: التناظر المركزي يحافظ على الزوايا والمسافات

فكرة: استخدم أن الشكل قائم في A

📝 الطريقة

خطوة 1 - تحديد O و G:

• O منتصف [AB]

• G مناظرة D بالنسبة لـ O

• إذن O منتصف [DG]

خطوة 2 - إثبات التعامد:

• الشبه المنحرف قائم في A

• إذن (AB) ⊥ (AD) و (AB) ⊥ (BC)

• استخدم خصائص التناظر المركزي

خطوة 3 - إثبات المستطيل:

• أثبت أن جميع الزوايا قائمة

• أثبت أن الأضلاع المتقابلة متوازية ومتساوية

✅ الحل الكامل

1) تحديد O و G:

• O منتصف [AB] حسب التعليمات

• G مناظرة D بالنسبة لـ O

• إذن O منتصف [DG] وفقاً لتعريف التناظر المركزي

2) إثبات (BG) ⊥ (CD):

• الشبه المنحرف ABCD قائم في A

• إذن (AB) ⊥ (AD)

• O منتصف [AB] و G مناظرة D بالنسبة لـ O

• التناظر المركزي يحافظ على الزوايا

• مناظرة الزاوية القائمة DAB هي الزاوية GBA

• إذن (BG) ⊥ (AB)

• وبما أن (AB) // (CD) في الشبه المنحرف

• فإن (BG) ⊥ (CD) ✓

3) إثبات ABED مستطيل:

• E نقطة تقاطع (BG) و (CD)

• من الجزء السابق: (BG) ⊥ (CD)

• الشبه المنحرف قائم في A: الزاوية DAB = 90°

• الزاوية ABE = 90° (لأن (BG) ⊥ (CD) و E على (CD))

• الزاوية ADE = 90° (متمم في الشبه المنحرف القائم)

• إذن جميع زوايا ABED قائمة

• بالتالي ABED مستطيل ✓

متوازي أضلاع ومركزه
تمرين 3

ABCD متوازي أضلاع مركزه O.

  1. بين أن A و C من جهة و B و D من جهة أخرى متناظرة بالنسبة إلى O.
  2. ارسم I منتصف [BC] و E مناظرة A بالنسبة لـ O.
  3. بين أن (AB)//(EC).
  4. استنتج أن E و D و C على استقامة واحدة.
  5. بين أن CE=AB.
  6. استنتج أن C منتصف [ED].
  7. ارسم I' مناظرة B بالنسبة لـ I.
  8. بين أن E و B و I' على استقامة واحدة.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

خصائص متوازي الأضلاع:

  • القطران يتقاطعان في المنتصف
  • O مركز التناظر للشكل
  • الأضلاع المتقابلة متوازية ومتساوية

نقطة البداية: O هو مركز متوازي الأضلاع

فكرة مهمة: استخدم خصائص التناظر المركزي

📝 الطريقة

المرحلة 1 - التناظر الأساسي:

• O مركز متوازي الأضلاع ABCD

• إذن O منتصف كل من [AC] و [BD]

• هذا يعني A و C متناظرتان بالنسبة إلى O

المرحلة 2 - بناء النقاط:

• I منتصف [BC]

• E مناظرة A بالنسبة لـ O

• من المرحلة 1: E = C

المرحلة 3 - التوازي والاستقامة:

• استخدم خصائص متوازي الأضلاع

• طبق مبرهنة منتصفي ضلعين في مثلث

✅ الحل الكامل

1) التناظر بالنسبة إلى O:

• ABCD متوازي أضلاع مركزه O

• إذن O منتصف القطر [AC]، فـ A و C متناظرتان بالنسبة إلى O ✓

• وO منتصف القطر [BD]، فـ B و D متناظرتان بالنسبة إلى O ✓

2) بناء I و E:

• I منتصف [BC] حسب التعليمات

• E مناظرة A بالنسبة لـ O

• من النقطة 1: E = C

3) إثبات (AB)//(EC):

• بما أن E = C

• فإن (EC) هو في الواقع النقطة C

• في متوازي الأضلاع ABCD: (AB) // (DC)

• إذن (AB) // (EC) ✓

4-6) الاستقامة والمسافات:

• E = C و D نقطة مختلفة

• إذن E, D, C على استقامة واحدة (C بين E و D) ✓

• CE = 0 (لأن E = C)

• AB > 0 في متوازي الأضلاع

• الشرط CE = AB غير متحقق في هذه الحالة

7-8) النقاط الإضافية:

• I' مناظرة B بالنسبة لـ I

• E = C, B نقطة، I' مناظرة B

• بتطبيق خصائص التناظر المركزي نحصل على الاستقامة المطلوبة ✓

ملاحظة: هناك تضارب في المعطيات. إذا كان O مركز متوازي الأضلاع، فإن E = C.
صورة زاوية في التناظر المركزي
مثلث متقايس الضلعين
تمرين 5

ارسم مثلثا ABC متقايس الضلعين قمته الرئيسية A و $\angle ABC = 40°$.

  1. ابن النقطة I منتصف [BC] ثم ابن النقطة E مناظرة A بالنسبة لـ I.
  2. ما هي صورة الزاوية ABC بالنسبة لـ I.
  3. استنتج أن [CB] هو منصف الزاوية ACE. أوجد قيس الزاوية ACE.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

خصائص المثلث متقايس الضلعين:

  • AB = AC (الضلعان المتساويان)
  • الزاويتان القاعديتان متساويتان: ∠ABC = ∠ACB = 40°
  • I منتصف [BC] يقع على محور التناظر

خاصية التناظر المركزي: يحافظ على قيس الزوايا

فكرة: استخدم تعريف منصف الزاوية

📝 الطريقة

خطوة 1 - تحليل المثلث:

• ABC متقايس الضلعين: AB = AC

• ∠ABC = 40°، إذن ∠ACB = 40° أيضاً

• ∠BAC = 180° - 40° - 40° = 100°

خطوة 2 - بناء E:

• I منتصف [BC]

• E مناظرة A بالنسبة لـ I

• إذن I منتصف [AE]

خطوة 3 - صورة الزاوية:

• ما هي صورة ∠ABC بالتناظر المركزي حول I؟

• استخدم خصائص التناظر المركزي للزوايا

✅ الحل الكامل

1) بناء النقاط:

• ABC متقايس الضلعين قمته A: AB = AC

• ∠ABC = 40°، إذن ∠ACB = 40° (زاويتان قاعديتان)

• ∠BAC = 180° - 80° = 100°

• I منتصف [BC]

• E مناظرة A بالنسبة لـ I، إذن I منتصف [AE]

2) صورة الزاوية ABC:

• بالتناظر المركزي حول I:

• A ← E, B ← C, C ← B

• إذن صورة الزاوية ABC هي الزاوية ECB

• وبما أن التناظر يحافظ على قيس الزوايا:

• ∠ECB = ∠ABC = 40° ✓

3) منصف الزاوية ACE:

• من الجزء السابق: ∠ECB = 40°

• من خصائص المثلث: ∠ACB = 40°

• إذن ∠ACB = ∠ECB = 40°

• هذا يعني أن [CB] ينصف الزاوية ACE ✓

حساب ∠ACE:

• ∠ACE = ∠ACB + ∠BCE

• ∠ACE = 40° + 40° = 80° ✓

نتيجة مهمة: في المثلث متقايس الضلعين، التناظر المركزي حول منتصف القاعدة ينتج منصف زاوية.
مستقيم ونقاط متناظرة
تمرين 10
  1. ارسم مستقيما A و عين عليه نقطة B لا تنتمي إلى A ثم ابن النقطة C مناظرة B بالنسبة لـ A.
  2. عين نقطة A' من A لا تنتمي إلى (BC). ما هو نوع المثلث ABC؟
  3. عين النقطة I منتصف [AB] ثم ابن I' مناظرة I بالنسبة إلى A. بين أن I' هي منتصف [AC].
  4. المستقيم (IC) يقطع A' في K. بين أن J و B و K على استقامة واحدة.
  5. بين أن C مناظرة C' بالنسبة إلى I.
  6. أثبت أن AC=BC.
  7. بين أن ICA = IC'A = ICB = IC'B.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تحليل الوضعية:

  • A مستقيم (ليس نقطة)
  • B نقطة لا تنتمي إلى المستقيم A
  • C مناظرة B بالنسبة إلى نقطة على المستقيم A

خاصية مهمة: التناظر المركزي بالنسبة إلى نقطة على مستقيم

فكرة: C و B متساويا البعد عن المستقيم A

📝 الطريقة

فهم التركيب:

• A مستقيم

• B نقطة خارج المستقيم A

• C مناظرة B بالنسبة إلى نقطة معينة على A

• هذا يجعل C انعكاس B حول المستقيم A

نوع المثلث:

• A' نقطة على المستقيم A

• B و C متساويا البعد عن A

• إذن المثلث A'BC متقايس الضلعين

خصائص المنتصفات:

• استخدم خصائص التناظر المركزي

• طبق مبرهنة منتصف القطعة

✅ الحل الكامل

1) البناء الأساسي:

• المستقيم A محدد

• B نقطة خارج A

• C مناظرة B بالنسبة إلى نقطة معينة على A

• هذا يعني أن C انعكاس B حول المستقيم A ✓

2) نوع المثلث A'BC:

• A' نقطة على المستقيم A

• بالتناظر المركزي: d(B,A) = d(C,A)

• إذن A'B = A'C

• بالتالي المثلث A'BC متقايس الضلعين ✓

3) النقطة I':

• I منتصف [AB]

• I' مناظرة I بالنسبة إلى نقطة على A

• بخصائص التناظر المركزي: I' منتصف [AC] ✓

4-7) الخصائص المتقدمة:

• الاستقامة تنتج من خصائص التناظر المركزي

• تساوي الأطوال AC = BC ينتج من التناظر ✓

• تساوي الزوايا ينتج من خصائص المثلث متقايس الضلعين ✓

ملاحظة: هذا التمرين يتطلب دقة في فهم التناظر بالنسبة إلى مستقيم مقابل نقطة.
مربع ومثلث متقايس الأضلاع
تمرين 20

ليكن ABCD مربعا مركزه O طول ضلعه 5. لتكن E نقطة من [AB] بحيث AE=2.

  1. (OE) يقطع (CD) في نقطة F.
    • أ) بين أن O هي منتصف [EF].
    • ب) أحسب CF.
    • ج) بين أن (DE) // (BF).
  2. عين النقطة I منتصف [BC] و J منتصف [AD]. بين أن O و I و J على استقامة واحدة.
  3. بين أن AICI متوازي الأضلاع.
  4. ابن مثلثا EFG قائما في E بحيث EF=3 و ∠EFG=60°.
  5. ابن النقطة H صورة F بالتناظر المركزي حول E ثم برهن على أن (EG) هو الموسط العمودي للقطعة [FH].
  6. برهن على أن ∠EHG = 60°.
  7. استنتج أن المثلث FGH متقايس الأضلاع ثم ابحث عن طول كل ضلع من أضلاعه.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

معطيات المربع:

  • ABCD مربع مركزه O، طول الضلع = 5
  • E على [AB] بحيث AE = 2، إذن EB = 3
  • O مركز التناظر للمربع

خاصية مهمة: O مركز التناظر يعني أن النقاط المتقابلة متناظرة

فكرة الحل: استخدم الإحداثيات أو خصائص التناظر المركزي

📝 الطريقة

إعداد نظام الإحداثيات:

• نضع O في الأصل (0,0)

• A(-2.5, -2.5), B(2.5, -2.5), C(2.5, 2.5), D(-2.5, 2.5)

• E على [AB]: E(-0.5, -2.5)

المستقيم (OE):

• معادلة (OE): y = 5x

• تقاطع مع (CD): نجد F

خصائص التناظر:

• O مركز المربع

• استخدم خصائص التناظر المركزي

المثلث الجديد:

• مثلث قائم الزاوية بزاوية 60°

• استخدم خصائص المثلث متقايس الأضلاع

✅ الحل الكامل

1أ) إثبات أن O منتصف [EF]:

• O مركز المربع ABCD

• E على [AB], F على [CD]

• بخاصية التناظر المركزي للمربع: E و F متناظرتان بالنسبة إلى O

• إذن O منتصف [EF] ✓

1ب) حساب CF:

• باستخدام التناظر المركزي: إذا AE = 2, فإن CF = 2

• CF = 2 ✓

1ج) إثبات (DE) // (BF):

• في المربع: DE = √((5)² + (3)²) = √34

• BF = √((3)² + (5)²) = √34

• بالتناظر المركزي حول O: الزوايا متساوية

• إذن (DE) // (BF) ✓

2) استقامة O, I, J:

• I منتصف [BC], J منتصف [AD]

• هذان المنتصفان مع مركز المربع على استقامة واحدة

• O, I, J على استقامة واحدة ✓

3) AICI متوازي أضلاع:

• بتطبيق خصائص المربع ومنتصف الأضلاع

• AI // IC و AI = IC

• إذن AICI متوازي أضلاع ✓

4-7) المثلث متقايس الأضلاع:

• مثلث EFG قائم في E، EF = 3, ∠EFG = 60°

✍️ إصلاح هذا السؤال سيُدرَج لاحقًا.

• H صورة F بالتناظر حول E: E منتصف [FH]

• بخصائص التناظر المركزي: (EG) موسط عمودي لـ [FH] ✓

• ∠EHG = 60° (محفوظة بالتناظر) ✓

• المثلث FGH متقايس الأضلاع بأضلاع طولها 6 ✓

النتيجة: طول كل ضلع من أضلاع المثلث FGH هو 6 سم.