تمارين في التناظر المركزي

8 أساسي دفواراتي
متوازي أضلاع ودوائر متناظرة
تمرين 16
  1. ارسم مثلثا ABC حيث $BC = 5$cm و $\angle ABC=50^\circ$. لتكن I منتصف $[AB]$.
    • أ) ابن D مناظرة C بالنسبة إلى I.
    • ب) بين أن $AD=5$cm و أن $(BC) // (AD)$.
    • ت) بين أن $\angle BAD=130^\circ$. (تصحيح للسؤال الأصلي)
  2. ابن E و F مناظرتي B و C بالنسبة إلى A.
  3. بين أن $EF=AD$ و أن $(EF) // (AD)$.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

عندما تكون نقطة منتصف قطري رباعي، ما هي طبيعة هذا الرباعي؟ استخدم خصائص التناظر المركزي للحفاظ على الأطوال، التوازي، وأقيسة الزوايا.

📝 الطريقة

  1. 1.ب) بما أن D مناظرة C بالنسبة لـ I، و I منتصف $[AB]$، فإن الرباعي ACBD متوازي أضلاع. استنتج خصائص أضلاعه المتقابلة.
  2. 1.ت) في متوازي الأضلاع ACBD، الزاويتان المتتاليتان $\angle ABC$ و $\angle BAD$ متكاملتان (مجموعهما $180^\circ$).
  3. 2) E و F هما صورتا B و C بالتناظر المركزي A. المثلث AEF هو صورة المثلث ABC. استنتج العلاقة بين $[EF]$ و $[BC]$.
  4. 3) قارن $[EF]$ بـ $[BC]$ ثم $[BC]$ بـ $[AD]$. نفس الشيء للتوازي.

✅ الحل الكامل

1.ب) الرباعي ACBD قطراه $[AB]$ و $[CD]$ يتقاطعان في منتصفهما I. إذن ACBD متوازي أضلاع. ومنه، الأضلاع المتقابلة متوازية ومتقايسة: $(AD) // (BC)$ و $AD = BC = 5$cm.

1.ت) في متوازي الأضلاع ACBD، الزاويتان المتتاليتان متكاملتان. إذن $\angle BAD + \angle ABC = 180^\circ$. وبالتالي $\angle BAD = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$.

2 و 3) بما أن E و F هما صورتا B و C بالتناظر المركزي A، فإن $EF=BC$ و $(EF)//(BC)$. وبما أن $AD=BC$ و $(AD)//(BC)$، فإن $EF=AD$ و $(EF)//(AD)$.

مثلث متقايس الضلعين ومركز ثقل
تمرين 17

ABC مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية A بحيث $\angle BAC=70^\circ$. I منتصف $[AC]$ و J منتصف $[BC]$.

  1. أحسب $\angle ABC$ معللا جوابك.
  2. المستقيم المار من C والموازي لـ $(AB)$ يقطع $(BJ)$ في D. بين أن I هي منتصف $[AD]$. (تم تعديل السؤال ليصبح منطقيا).
  3. ابن النقطة G مركز ثقل المثلث ABC. بين أن G تنتمي إلى $(AJ)$.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

مجموع زوايا المثلث هو $180^\circ$. في مثلث متقايس الضلعين، زاويتا القاعدة متقايستان. استخدم مبرهنة المنتصفين في المثلثات.

📝 الطريقة

  1. (1) بما أن المثلث ABC متقايس الضلعين في A، فإن $\angle ABC = \angle ACB$. ومجموع الزوايا يساوي $180^\circ$. إذن $2 \times \angle ABC + 70^\circ = 180^\circ$. قم بحل المعادلة.
  2. (2) في المثلث ABD، المستقيم (CI) يمر من منتصف الضلع $[AC]$ ويوازي الضلع $(AB)$. حسب عكس مبرهنة المنتصفين، فإنه يقطع الضلع الثالث $[AD]$ في منتصفه.
  3. (3) مركز الثقل هو نقطة تلاقي الموسطات. $(AJ)$ هو الموسط الصادر من A. الموسط الآخر هو $(BI)$. نقطة تقاطعهما هي G.

✅ الحل الكامل

1) $\angle ABC = (180^\circ - \angle BAC) / 2 = (180^\circ - 70^\circ) / 2 = 110^\circ / 2 = 55^\circ$.

2) (تم تعديل السؤال ليكون منطقيا): في $\triangle ADC$, لدينا I منتصف [AC]. و J منتصف [DC] (من التوازي). إذن المستقيم (IJ) يوازي (AD). (السؤال الأصلي به تناقض). الحل المنطقي لتعديل آخر: في $\triangle ABD$ المستقيم المار من منتصف C لـ [BD] والموازي لـ (AB) يقطع (AD) في منتصفها I.

3) مركز الثقل G هو نقطة تقاطع الموسطات. بما أن J منتصف [BC]، فإن [AJ] هو موسط. إذن G تنتمي إلى [AJ].

قطعة مستقيم ومساقط عمودية
تمرين 18

$[AB]$ قطعة مستقيم و M منتصفها. و $(Ax]$ نصف مستقيم بحيث $\angle BAx=30^\circ$.

  1. عين النقطة E من $(Ax]$ حيث $AE=6$cm وابن النقطة F مناظرة E بالنسبة إلى M.
    • بين أن $(AE) // (BF)$ وأن $BF = 6$cm.
  2. لتكن H المسقط العمودي لـ A على (EF) و K المسقط العمودي لـ B على (EF).
    • بين أن المستقيمين $(AH)$ و $(BK)$ متناظران بالنسبة لـ M.
    • استنتج أن M منتصف $[HK]$.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم خصائص متوازي الأضلاع الناتج عن التناظر المركزي. التناظر المركزي يحافظ على التعامد ويحول نقطة إلى نظيرتها.

📝 الطريقة

  1. 1) الرباعي AEBF قطراه $[AB]$ و $[EF]$ يتقاطعان في منتصفهما M، إذن هو متوازي أضلاع. استنتج خصائص أضلاعه.
  2. 2) صورة A بالنسبة لـ M هي B. صورة المستقيم (EF) هي نفسها لأن M تنتمي إليه. صورة المستقيم $(AH)$ العمودي على (EF) هي مستقيم يمر من B ويكون عموديا على (EF). هذا المستقيم هو $(BK)$.
  3. 2.ج) صورة H نقطة تقاطع (AH) و (EF) هي نقطة تقاطع صورتيهما، أي (BK) و (EF)، وهي النقطة K. إذن K مناظرة H بالنسبة لـ M، مما يعني أن M منتصف $[HK]$.

✅ الحل الكامل

1) بما أن M منتصف $[AB]$ و $[EF]$، فالرباعي AEBF متوازي أضلاع. إذن $(AE) // (BF)$ و $BF = AE = 6$cm.

2.ب) صورة A هي B، وصورة المستقيم (EF) هي نفسها. المستقيم (AH) عمودي على (EF). صورته بالتناظر المركزي M هو مستقيم يمر من صورة A (أي B) ويوازي (AH)، ولكنه أيضا عمودي على صورة (EF) (أي (EF) نفسها). هذا المستقيم هو $(BK)$. إذن (AH) و (BK) متناظران.

2.ج) H هي نقطة تقاطع (AH) و (EF). صورتها هي نقطة تقاطع صورتيهما، أي K. إذن K مناظرة H بالنسبة لـ M، وبالتالي M منتصف $[HK]$.

مثلث وتقاطع مستقيمات
تمرين 19

AEO مثلث. F مناظرة E بالنسبة إلى A.

  1. ابن B و C مناظرتي A و E بالنسبة إلى O.
    • بين أن $(BC) // (AE)$ واحسب $BC$ بدلالة $AE$.
  2. المستقيم (OF) يقطع (BC) في G.
    • بين أن G منتصف $[FC]$.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم مبرهنة المنتصفين: المستقيم المار من منتصف ضلع في مثلث وموازٍ لضلع ثانٍ يمرّ بمنتصف الضلع الثالث. لاحظ المثلث AFC.

📝 الطريقة

  1. 1) الرباعي ABCE هو متوازي أضلاع لأن قطريه يتقاطعان في منتصفهما O. إذن $(BC) // (AE)$ و $BC=AE$.
  2. 2) في المثلث AFC، لدينا O منتصف [AC] (لأن ABCE متوازي أضلاع). والمستقيم (OG) يمر من O ويوازي (AF) (لأن B,C,G على استقامة و A,E,F على استقامة و(BC)//(AE)). حسب عكس مبرهنة المنتصفين، فإن G هي منتصف [FC].

✅ الحل الكامل

1) بما أن B و C مناظرتا A و E بالنسبة لـ O، فإن O منتصف $[AB]$ و $[OC]$. (خطأ في النص الأصلي، يجب أن تكون B مناظرة A). بافتراض O منتصف [AC] و [BE]، فإن ABCE متوازي أضلاع. إذن $(BC) // (AE)$ و $BC=AE$.

2) في المثلث AFC، لدينا O منتصف [AC]. المستقيم (OG) يمر بـO. بما أن A منتصف [EF] و O منتصف [AC]، فإن (AO) هو موسط. (السؤال صعب الفهم كما هو مكتوب). الحل الأبسط: في $\triangle AFC$، O منتصف [AC]، والمستقيم المار بـ O والموازي لـ (AF) (لأن (BC)//(AF)) يقطع [FC] في G. وحسب مبرهنة المنتصفين، يكون G منتصف [FC].

مربع وتوازيات
تمرين 20

ليكن ABCD مربعا مركزه O وطول ضلعه 5. لتكن E نقطة من $[AB]$ بحيث $AE=2$.

  1. المستقيم (OE) يقطع (CD) في F.
    • أ) بين أن O هي منتصف $[EF]$.
    • ب) أحسب $CF$.
    • ج) بين أن $(DE) // (BF)$.
  2. لتكن I منتصف $[BC]$ و J منتصف $[AD]$. بين أن O و I و J على استقامة واحدة.
  3. بين أن AICJ متوازي الأضلاع.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم خصائص المربع: O هو مركز تناظر للمربع. استعمل مبرهنة المنتصفين في المثلثات التي يكوّنها O مع الأضلاع.

📝 الطريقة

  1. 1.أ) بما أن O مركز تناظر المربع، فإن صورة A هي C وصورة B هي D. صورة المستقيم (AB) هي (CD). صورة E من (AB) هي F من (CD). إذن F مناظرة E بالنسبة لـ O، و O منتصف $[EF]$.
  2. 1.ب) بالتناظر، $CF = AE = 2$cm.
  3. 1.ج) الرباعي EBFD له قطران $[EF]$ و $[BD]$ يتقاطعان في O. بما أن O منتصف $[EF]$ و $[BD]$، فإن EBFD متوازي أضلاع. إذن $(DE) // (BF)$.
  4. 2) I منتصف [BC] و J منتصف [AD]. الرباعي ABIC ليس متوازي أضلاع. لكن (IJ) هو الموسط العمودي لـ [AB] و [CD] ويمر بـ O.

✅ الحل الكامل

1.أ) F هي صورة E بالتناظر المركزي O، إذن O منتصف $[EF]$.

1.ب) التناظر المركزي يحافظ على البعد. $CF$ هو البعد من C إلى F. صورة A هي C وصورة E هي F. إذن $CF = AE = 2$cm.

1.ج) الرباعي EBFD قطراه $[EF]$ و $[BD]$ يتقاطعان في منتصفهما O. إذن EBFD متوازي أضلاع، ومنه $(DE) // (BF)$.

2) المستقيم (IJ) هو محور تناظر للمربع، وهو يمر بمركز التناظر O. إذن O, I, J على استقامة واحدة.

3) في الرباعي AICJ، لدينا $(AI) // (CJ)$ و $AI = CJ = 5/2$. إذن AICJ متوازي أضلاع.