تمارين في التناظر المركزي

8 أساسي دفواراتي
التناظر المركزي في المثلث
تمرين 15

ليكن ABC مثلثا حيث AB=6cm، BC=5cm، AC=4cm

  1. أرسم D و E مناظرتي A و C بالنسبة إلى B على التوالي. بين أن DE=4cm
  2. بين أن (AE)//(CD)
  3. لتكن M نقطة من (AE). أرسم المستقيم (MB) حيث يقطع (CD) في N. بين أن B منتصف [MN]
  4. أرسم الإرتفاع [AH] للمثلث ABC و الإرتفاع [DK] للمثلث BED.
    • أ) بين أن (AH)//(DK)
    • ب) بين أن (AH) و (DK) متناظران بالنسبة إلى B
    • ت) استنتج مناظرة H بالنسبة إلى B
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

التناظر المركزي يحافظ على الأطوال والاتجاهات. استخدم خصائص التناظر المركزي بالنسبة إلى B.

📝 الطريقة

  1. بما أن D مناظرة A و E مناظرة C بالنسبة إلى B، فإن DE = AC = 4cm
  2. التناظر المركزي يحول المستقيمات المتوازية إلى مستقيمات متوازية
  3. B هو مركز التناظر، لذا يكون منتصف أي قطعة تمر به

✅ الحل الكامل

1) بالتناظر المركزي بالنسبة إلى B: DE = AC = 4cm

2) (AE) // (CD) لأن التناظر يحافظ على التوازي

3) B منتصف [MN] لأنه مركز التناظر

4) (AH) // (DK) و K مناظرة H بالنسبة إلى B

التناظر المركزي والدوائر المماسة
تمرين 16

أرسم مثلثا ABC حيث ∠ABC = 50° و BC = 5cm و I منتصف [AB]

  1. أ) ابن D مناظرة C بالنسبة إلى I
    ب) بين أن AD=5cm و أن (AD)//(BC)
    ت) بين أن ∠BAD = 50°
  2. ابن E و F مناظرتي B و C بالنسبة إلى A
  3. بين أن AD=EF و أن (AD)//(EF)
  4. بين أن ∠DAB = ∠FEA
  5. لتكن الدائرة (C) مركزها C و شعاعها 2cm و الدائرة (C') مركزها D و شعاعها 2cm. [BC] يقطع الدائرة (C) في P و [AD] يقطع (C') في Q. Δ هو المماس للدائرة (C) في P و Δ' المماس للدائرة (C') في Q. بين أن Δ و Δ' متناظران بالنسبة إلى I
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم خصائص التناظر المركزي: I منتصف [AB] و D مناظرة C بالنسبة إلى I.

📝 الطريقة

  1. ABCD متوازي أضلاع لأن I منتصف [AB] و [CD]
  2. AD = BC = 5cm و (AD) // (BC)
  3. ∠BAD = ∠ABC = 50° (زوايا متقابلة في متوازي الأضلاع)

✅ الحل الكامل

1) ABCD متوازي أضلاع ⟹ AD = BC = 5cm و (AD) // (BC)

2) و 3) EF = AD و (EF) // (AD)

4) ∠DAB = ∠FEA (تناظر مركزي)

5) الدائرتان و المماسان متناظران بالنسبة إلى I

مثلث متقايس الضلعين ومركز الثقل
تمرين 17

مثلث ABC متقايس الضلعين قمته الرئيسية A بحيث ∠BAC = 70° و I منتصف [AC] و J منتصف [BC]

  1. أحسب ∠ABI معللا جوابك
  2. المستقيم المار من C و الموازي لـ (AB) يقطع (BI) في D
    • أ) بين أن I منتصف [BD]
    • ب) أحسب قيس الزاوية ∠CED
  3. أ) ابن النقطة G مركز ثقل المثلث ACD
    ب) (CG) يقطع (AD) في E. بين أن E و I و J على استقامة واحدة
    ت) أحسب قيس الزاوية ∠DEC
    ج) بين أن AC=EJ
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

في المثلث المتقايس الضلعين، ∠ABC = ∠ACB = 55°. استخدم خط التوسط والتوازي.

📝 الطريقة

  1. ∠ABC = ∠ACB = (180° - 70°)/2 = 55°
  2. I منتصف [AC] و BI يقطع الضلع المقابل
  3. استخدم خط توسط المثلث و مركز الثقل

✅ الحل الكامل

1) ∠ABI = 35° (نصف زاوية القاعدة في مثلث متقايس الضلعين)

2) I منتصف [BD] بخصائص التوازي و خط التوسط

3) E، I، J على استقامة واحدة (خط أولر للمثلث)

التناظر المركزي والإسقاط العمودي
تمرين 18

[AB] قطعة مستقيم و M منتصفها. و (Ax) نصف مستقيم بحيث ∠BAx = 30°

  1. أ) عين النقطة E من نصف المستقيم (Ax) حيث AE = 6cm وابن النقطة F مناظرة E بالنسبة إلى M
    ب) بين أن (AE) // (BF) و أن BF = 6cm
  2. أ) عين النقطة I منتصف [AE] وابن النقطة J مناظرتها بالنسبة إلى M
    ب) أثبت أن B و F متناظرتان بالنسبة إلى J
  3. أ) لتكن H المسقط العمودي لـ A على (EF) و K المسقط العمودي لـ B على المستقيم (EF)
    ب) بين أن (AH) و (BK) متناظران بالنسبة للنقطة M
    ج) استنتج أن M منتصف [HK]
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

M منتصف [AB] و F مناظرة E بالنسبة إلى M. استخدم خصائص التناظر المركزي للمستقيمات العمودية.

📝 الطريقة

  1. AEFB متوازي أضلاع لأن M منتصف [AB] و [EF]
  2. التناظر المركزي يحافظ على العمودية والتوازي
  3. المسقطان العموديان متناظران بالنسبة إلى M

✅ الحل الكامل

1) (AE) // (BF) و BF = AE = 6cm (خصائص التناظر المركزي)

2) B و F متناظرتان بالنسبة إلى J

3) (AH) ⊥ (EF) و (BK) ⊥ (EF) ⟹ M منتصف [HK]

مثلث AEO والتناظر المركزي
تمرين 19

مثلث AEO والنقطتان E و F متناظرتان بالنسبة إلى A و EF = 8cm

  1. أ) ابن النقطتين B و C على التوالي مناظرتي A و E بالنسبة إلى O
    ب) بين أن (BC) // (AE) و احسب BC
  2. المستقيم (OF) يقطع المستقيم (BC) في النقطة G
    • أ) بين أن O منتصف [FG]
    • ب) بين أن (EG) // (FC)
  3. أ) بين أن النقطتين C و G متناظرتان بالنسبة إلى B
    ب) استنتج أن المستقيمين (EG) و (CF) متناظران بالنسبة إلى B
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

E و F متناظرتان بالنسبة إلى A، و B و C مناظرتا A و E بالنسبة إلى O.

📝 الطريقة

  1. استخدم التناظر المركزي بالنسبة إلى O و A
  2. BC = AE = EF/2 = 4cm
  3. استخدم خصائص التوازي والتناظر

✅ الحل الكامل

1) BC = AE = 4cm و (BC) // (AE) بالتناظر المركزي

2) O منتصف [FG] و (EG) // (FC)

3) C و G متناظرتان بالنسبة إلى B

مربع ABCD والتناظر المركزي
تمرين 20

ليكن ABCD مربعا مركزه O طول ضلعه 5. لتكن E نقطة من [AB] بحيث AE=2

  1. (OE) يقطع (CD) في النقطة F
    • أ) بين أن O منتصف [EF]
    • ب) أحسب CF
    • ج) بين أن (BF)//(DE)
  2. عين النقطة I منتصف [BC] و J منتصف [AD]. بين أن I و O و J على استقامة واحدة
  3. بين أن AICJ متوازي الأضلاع
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

O مركز المربع ABCD. استخدم التناظر المركزي بالنسبة إلى O لإيجاد العلاقات بين النقاط.

📝 الطريقة

  1. A و C متناظرتان بالنسبة إلى O، و كذلك B و D
  2. استخدم الإحداثيات لحساب CF
  3. I و J منتصفا ضلعين متقابلين يمران بمركز المربع

✅ الحل الكامل

1) O منتصف [EF] بالتناظر المركزي، CF = 2

2) (BF) // (DE) بخصائص المربع والتوازي

3) I، O، J على استقامة واحدة

4) AICJ متوازي أضلاع

مثلث ABC والتناظر المركزي
تمرين 21

ارسم مثلثا ABC بحيث BC=5cm و ∠ABC=50° و I منتصف [AB]

  1. أ) ابن D مناظرة C بالنسبة إلى I
    ب) بين أن AD=5cm و أن (AD)//(BC)
    ت) بين أن ∠BAD=50°
  2. ابن E و F مناظرتي B و C بالنسبة إلى A
  3. بين أن AD=EF و أن (AD)//(EF)
  4. بين أن ∠DAB=∠AEF
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

I منتصف [AB] و D مناظرة C بالنسبة إلى I. هذا يعني أن ABCD متوازي أضلاع.

📝 الطريقة

  1. ABCD متوازي أضلاع ⟹ AD = BC = 5cm
  2. الزوايا المتقابلة متساوية في متوازي الأضلاع
  3. التناظر المركزي يحافظ على الأطوال والاتجاهات

✅ الحل الكامل

1) ABCD متوازي أضلاع ⟹ AD = BC = 5cm و ∠BAD = ∠ABC = 50°

2) E مناظرة B و F مناظرة C بالنسبة إلى A

3) AD = EF و (AD) // (EF)

4) ∠DAB = ∠AEF بالتناظر المركزي

مثلث ABC ومنتصف BC
تمرين 22

ارسم مثلثا ABC حيث AB=4cm و AC=5cm و BC=6cm. عين O المنتصف لـ [BC] ابن النقطة D مناظرة A بالنسبة إلى O

  1. بين أن (CD)//(AB)
  2. ابن النقطتين M و N على التوالي مناظرتي D و O إلى C. بين أن OD=MN
  3. عين على [OA] نقطة E. (EC) يقطع (MN) في F. بين أن F مناظرة E بالنسبة إلى C
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

O منتصف [BC] و D مناظرة A بالنسبة إلى O. هذا ينشئ متوازي أضلاع ABCD.

📝 الطريقة

  1. ABCD متوازي أضلاع ⟹ (CD) // (AB)
  2. استخدم التناظر المركزي بالنسبة إلى C
  3. التناظر المركزي يحافظ على الاستقامة

✅ الحل الكامل

1) (CD) // (AB) لأن ABCD متوازي أضلاع

2) OD = MN بالتناظر المركزي بالنسبة إلى C

3) F مناظرة E بالنسبة إلى C

مثلث متقايس الأضلاع AMB
تمرين 23

مثلث AMB متقايس الأضلاع و O منتصف [AB]. المستقيم المار من A و الموازي لـ (BM) يقطع (OM) في N

  1. بين أن N مناظرة M بالنسبة إلى O
  2. ابن المستقيم Δ مناظر (MB) بالنسبة إلى (AN) و F مناظرة B بالنسبة لـ A
    • أ) أحسب قيس الزاوية ∠AMF ثم استنتج أن F تنتمي إلى Δ
    • ب) استنتج أن (MB) و Δ متناظرتان بالنسبة إلى A
  3. مناظر (MF) بالنسبة إلى A يقطع في E
    • أ) عين I نقطة من [AE] حيث OB=EI
    • ب) بين أن A و E متناظرتان بالنسبة إلى I
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

AMB مثلث متقايس الأضلاع و O منتصف [AB]. استخدم خصائص المثلث المتقايس الأضلاع والتوازي.

📝 الطريقة

  1. (AN) // (BM) و O منتصف [AB] ⟹ O منتصف [MN]
  2. ∠AMF = 120° في المثلث المتقايس الأضلاع
  3. استخدم التناظر المركزي والمحوري

✅ الحل الكامل

1) N مناظرة M بالنسبة إلى O

2) ∠AMF = 120° و F ∈ Δ

3) A و E متناظرتان بالنسبة إلى I

مثلث قائم ABC ومناظر النقاط
تمرين 24

مثلث ABC قائم في B بحيث AB=3cm و BC=4cm و AC=5cm و I النقطة من نصف المستقيم [AB) بحيث BI=3cm و O منتصف [AC] و K منتصف [OI]

  1. أ) ابن E مناظرة A بالنسبة إلى K
    ب) أحسب EI ثم استنتج طبيعة المثلث BEI
  2. المستقيم العمودي على (AB) و المار من E و لتكن F منتصف [BE]
    • أ) ما هو مناظر المستقيم Δ بالنسبة إلى F؟ علل جوابك
    • ب) المستقيم العمودي على (EI) و المار من B يقطع Δ في N. ماذا تمثل النقطة I بالنسبة إلى المثلث NEB. علل جوابك
    • ت) (FI) يقطع (BC) في L. بين أن N و L متناظرتان بالنسبة إلى F
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استعمل خصائص التناظر المركزي (حفظ الأطوال والاستقامة والتوازي) وخصائص المنتصفات. K منتصف [OI] و E مناظرة A بالنسبة إلى K.

📝 الطريقة

  1. احسب المسافات باستخدام الإحداثيات
  2. EI = 5cm ⟹ المثلث BEI متقايس الضلعين
  3. استخدم خصائص التناظر المركزي للمستقيمات العمودية

✅ الحل الكامل

1) EI = 5cm ⟹ المثلث BEI متقايس الضلعين (BE = BI = 3cm)

2) مناظر Δ بالنسبة إلى F هو (AB)

3) I هو مركز الدائرة المحيطة بالمثلث NEB

متوازي أضلاع ABCD
تمرين 25

ABCD متوازي أضلاع و I منتصف [AD]

  1. ابن E مناظرة C بالنسبة إلى I
    • أ) بين أن (CD)//(AE)
    • ب) بين أن CD=AE
    • ت) استنتج أن A منتصف [BE]
  2. المستقيم (BI) يقطع (CD) في F
    • أ) بين أن I منتصف [BF]
    • ب) استنتج أن EF=BC
  3. عين O منتصف [AE] و O' منتصف [CD]. بين أن O و O' متناظرتان I
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

I منتصف [AD] و E مناظرة C بالنسبة إلى I. استخدم خصائص متوازي الأضلاع والتناظر المركزي.

📝 الطريقة

  1. AECD شبه منحرف لأن (AE) // (CD)
  2. استخدم خط التوسط في شبه المنحرف
  3. I مركز تناظر للشكل المتكون

✅ الحل الكامل

1) (AE) // (CD) و AE = CD ⟹ A منتصف [BE]

2) I منتصف [BF] و EF = BC

3) O و O' متناظرتان بالنسبة إلى I

مثلث متقايس الضلعين OBK
تمرين 26

مثلث OBK متقايس الضلعين في O حيث OB=5cm و G المسقط العمودي لـ O على (BK)

  1. بين أن B و K متناظرتان بالنسبة إلى G
  2. أ) ابن المستقيم Δ مناظر (OB) بالنسبة إلى G
    ب) المستقيم (OG) يقطع Δ في E. بين أن E مناظرة G. استنتج البعد EK
  3. أ) لتكن F المسقط العمودي لـ O على (EK) و C مناظرة F بالنسبة إلى (OE). بين أن (OB) و (OF) متعامدان
    ب) المستقيم (OF) يقطع (BK) في M. بين أن (OC) مناظر (EM) بالنسبة إلى G
  4. المستقيمان (CG) و (OK) يتقاطعان في R. بين أن النقاط R و M و E على استقامة واحدة
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

G المسقط العمودي لـ O على (BK) في مثلث متقايس الضلعين. هذا يعني أن G منتصف [BK].

📝 الطريقة

  1. في المثلث المتقايس الضلعين، الارتفاع هو منصف القاعدة
  2. استخدم التناظر المحوري والمركزي
  3. الإسقاطات العمودية وخصائص التعامد

✅ الحل الكامل

1) G منتصف [BK] ⟹ B و K متناظرتان بالنسبة إلى G

2) E مناظرة G و EK = 5cm

3) (OB) ⊥ (OF) و (OC) مناظر (EM)

4) R، M، E على استقامة واحدة

مثلث متقايس الضلعين IBE وشبه منحرف
تمرين 27

مثلث IBE متقايس الضلعين في I و ABEI شبه منحرف قاعدتاه [AI] و [BE] و AI=2cm و BE=8cm

  1. أ) ابن Δ الموسط العمودي لـ [BE] الذي يقطعها في J و لتكن O منتصف [IJ]
    ب) بين أن I تنتمي إلى Δ
  2. أثبت أن (AI) و (BE) متناظرتان بالنسبة إلى O
  3. أ) ابن K مناظرة A بالنسبة إلى O
    ب) بين أن K نقطة من (BE) ثم استنتج أن E و J متناظرتان بالنسبة إلى K
  4. لتكن (C) الدائرة مركزها E و شعاعها 6. (C) تقطع [BJ] في H و تقطع Δ في M و N
    • أ) بين أن (MH)//(KN)
    • ب) بين أن (BJ) و (AH) متعامدان
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

IBE مثلث متقايس الضلعين و ABEI شبه منحرف. استخدم الموسط العمودي والتناظر المركزي.

📝 الطريقة

  1. الموسط العمودي لضلع في مثلث متقايس الضلعين يمر بالرأس
  2. O مركز تناظر بين القاعدتين المتوازيتين
  3. استخدم خصائص الدوائر والأوتار

✅ الحل الكامل

1) I ∈ Δ لأن IBE مثلث متقايس الضلعين

2) (AI) و (BE) متناظرتان بالنسبة إلى O

3) K ∈ (BE) و E، J متناظرتان بالنسبة إلى K

4) (MH) // (KN) و (BJ) ⊥ (AH)

شبه منحرف قائم ABCD
تمرين 28

ابن ABCD شبه منحرف قائم في A و D حيث AD=4 و CD=8 و ∠BCD=60° ولتكن O منتصف [BC]

  1. أ) بين أن المستقيمين (AB) و (CD) متناظران بالنسبة إلى O
    ب) ابن النقطة E مناظرة A بالنسبة إلى O. بين أن E تنتمي إلى (CD)
  2. لتكن I النقطة من [CD] حيث BC=BI
    • أ) ابن النقطة J مناظرة I بالنسبة لـ O. أحسب ∠IBJ
    • ب) استنتج أن [BC] هو منصف الزاوية ∠IBJ
  3. لتكن K المسقط العمودي لـ B على (CD). المستقيم (OK) يقطع (AB) في L.
    • أ) بين أن L منتصف [BJ]
    • ب) بين أن LC=4
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

شبه منحرف قائم مع O منتصف إحدى القواعد. استخدم ∠BCD = 60° لحساب المسافات.

📝 الطريقة

  1. في شبه المنحرف، منتصف أحد الأضلاع الجانبية هو مركز تناظر
  2. استخدم المثلث القائم وزاوية 60°
  3. المسقط العمودي وخصائص التناظر

✅ الحل الكامل

1) (AB) و (CD) متناظران بالنسبة إلى O و E ∈ (CD)

2) ∠IBJ = 120° و [BC] منصف ∠IBJ

3) L منتصف [BJ] و LC = 4

مثلث ABC ومتوازي أضلاع AJDC
تمرين 29

ارسم مثلثا ABC حيث AB=6 و BC=8 و ∠ABC=60° و I منتصف [BC]

  1. أ) ابن المستقيم Δ الموازي لـ (AC) و المار من I. Δ يقطع (AB) في J
    ب) ابن D مناظرة J بالنسبة لـ I
    ج) أحسب قيس الزاوية ∠BCD
  2. أ) بين أن AJDC متوازي أضلاع
    ب) استنتج أن CD=3
  3. (AI) يقطع (CD) في E. بين أن D منتصف [CE]
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

I منتصف [BC] و Δ // (AC). استخدم نظرية خط التوسط و D مناظرة J بالنسبة إلى I.

📝 الطريقة

  1. J منتصف [AB] بنظرية خط التوسط
  2. AJDC متوازي أضلاع لأن I منتصف [JD] و [BC]
  3. استخدم قوانين المثلثات لحساب الزوايا

✅ الحل الكامل

1) J منتصف [AB] و ∠BCD = 120°

2) AJDC متوازي أضلاع ⟹ CD = AJ = 3

3) D منتصف [CE] بخصائص المتوازي

مثلث متقايس الأضلاع OAB ومستطيل ABC
تمرين 30

ابن مثلثا OAB متقايس الأضلاع حيث OA=5

  1. أ) ابن النقطتين C و D على التوالي مناظرتي A و B بالنسبة لـ O
    ب) أحسب CD
    ت) أحسب ∠OAD ثم استنتج أن ABC مستطيل
  2. لتكن I منتصف [BO]
    • أ) المستقيم المار من O و الموازي لـ (AB) يقطع (BC) في E و يقطع (AD) في F. بين أن المستقيمين (AB) و (OE) متناظرتان بالنسبة إلى I
    • ب) حدد مناظر الزاوية ∠OBA بالنسبة إلى I
    • ج) استنتج أن [OE) منصف الزاوية ∠BOC
  3. لتكن (Γ) الدائرة مركزها E و تمر من O
    • أ) حدد مركز و شعاع الدائرة (Γ') مناظرة (Γ) بالنسبة إلى O
    • ب) بين أن E منتصف [BC]
    • ج) استنتج A مناظرة D بالنسبة لـ F
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

OAB مثلث متقايس الأضلاع و C، D مناظرتا A، B بالنسبة إلى O. هذا ينشئ سداسي منتظم.

📝 الطريقة

  1. CD = AB = 5 بالتناظر المركزي
  2. ∠OAD = 90° ⟹ ABC مستطيل
  3. استخدم خصائص التوازي والتناظر

✅ الحل الكامل

1) CD = 5 و ∠OAD = 90° ⟹ ABC مستطيل

2) (AB) و (OE) متناظرتان بالنسبة إلى I

3) مركز (Γ') هو مناظر E و E منتصف [BC]