تمارين في التناظر المركزي

8 أساسي دفواراتي
مثلث وموسط عمودي
تمرين 11
  1. ابن مثلثا ABC بحيث $AB=3$cm, $AC=5$cm, $BC=6$cm.
  2. ابن $\Delta$ الموسط العمودي لـ $[BC]$ حيث يقطع $[BC]$ في I و $[AC]$ في J.
  3. ابن E مناظرة A بالنسبة إلى المستقيم $\Delta$. بين أن $EC=3$cm.
  4. بين أن $(AE) // (BC)$.
  5. ابن F مناظرة A بالنسبة إلى النقطة I. بين أن $(CF) // (AB)$ و أن $CF=AB$.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

هذا التمرين يجمع بين نوعين من التناظر: التناظر المحوري (بالنسبة لمستقيم $\Delta$) والتناظر المركزي (بالنسبة لنقطة I). تذكر خصائص كل منهما: التناظر المحوري يحافظ على البعد، والتناظر المركزي يحول رباعي إلى متوازي أضلاع.

📝 الطريقة

  1. (3) التناظر المحوري بالنسبة لـ $\Delta$ يحافظ على البعد. صورة B هي C وصورة A هي E. إذن صورة القطعة $[AB]$ هي القطعة $[EC]$. استنتج طول $EC$.
  2. (4) المستقيم $(AE)$ هو صورة لنفسه بالتناظر المحوري. لا، المستقيم $(AE)$ عمودي على محور التناظر $\Delta$. ولدينا $(BC)$ عمودي أيضا على $\Delta$. استنتج العلاقة بينهما.
  3. (5) في الرباعي ABFC، لدينا I منتصف $[BC]$ (تعريف) و I منتصف $[AF]$ (لأن F مناظرة A بالنسبة لـ I). قطراه يتقاطعان في منتصفهما. استنتج طبيعة الرباعي وخصائص أضلاعه.

✅ الحل الكامل

3) بما أن E مناظرة A و C مناظرة B بالنسبة للمحور $\Delta$ (لأن $\Delta$ هو الموسط العمودي لـ [BC])، فإن $EC = AB = 3$cm (التناظر المحوري يحافظ على البعد).

4) لدينا $(AE) \perp \Delta$ (خاصية التناظر المحوري) و $(BC) \perp \Delta$ (لأن $\Delta$ موسط عمودي). مستقيمان عموديان على نفس المستقيم هما متوازيان، إذن $(AE) // (BC)$.

5) الرباعي ABFC قطراه $[AF]$ و $[BC]$ يتقاطعان في منتصفهما I. إذن ABFC متوازي أضلاع. ومنه فإن $(CF) // (AB)$ و $CF = AB$.

مثلث قائم ومتقايس الضلعين
تمرين 12

نعتبر مثلثا ABC قائما ومتقايس الضلعين في A. $\Delta$ الموسط العمودي لـ $[AB]$ يقطع $[AB]$ في I.

  1. ابن النقطة D مناظرة C بالنسبة إلى I.
  2. أوجد مناظر كل من المستقيمات $(AC)$ و $(BC)$ بالنسبة إلى I.
  3. استنتج طبيعة الرباعي ACBD.
  4. أوجد مناظرة الدائرة (C) التي مركزها B و تمر من A، بالنسبة إلى I.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

الرباعي ACBD هو متوازي أضلاع. لإثبات أنه مستطيل، يكفي إثبات أن له زاوية قائمة. لإثبات أنه معين، يكفي إثبات أن ضلعين متجاورين متساويان.

📝 الطريقة

  1. (2) صورة A هي B، صورة C هي D. إذن صورة $(AC)$ هي $(BD)$ وصورة $(BC)$ هي $(AD)$.
  2. (3) الرباعي ACBD متوازي أضلاع (قطراه يتقاطعان في منتصفهما I). ولدينا $(AC) \perp (AB)$. صورة $(AC)$ وهي $(BD)$ تكون موازية لـ $(AC)$. (هناك خطأ في الاستنتاج). الطريقة الصحيحة: ACBD متوازي أضلاع. وبما أن $AC=AB$ والقطران غير متعامدين بشكل عام، فهو متوازي أضلاع فقط.
  3. (4) صورة دائرة (C) مركزها B وشعاعها $BA$ هي دائرة (C') مركزها صورة B (أي A) وشعاعها يساوي $BA$. إذن هي الدائرة التي مركزها A وتمر من B.

✅ الحل الكامل

2) بالتناظر المركزي I: صورة A هي B، وصورة C هي D. إذن، صورة المستقيم $(AC)$ هي المستقيم $(BD)$، وصورة المستقيم $(BC)$ هي المستقيم $(AD)$.

3) الرباعي ACBD هو متوازي أضلاع لأن قطريه $[AB]$ و $[CD]$ يتقاطعان في منتصفهما I. بما أن المثلث ABC قائم في A، فإن $(AC) \perp (AB)$. بما أن $(BD) // (AC)$، فإن $(BD) \perp (AB)$. إذن متوازي الأضلاع ACBD له زاوية قائمة في B (وأيضا في A)، فهو مستطيل. وبما أن $AC=AB$ (ضلعان متتاليان متساويان)، فإن المستطيل هو مربع.

4) مناظرة الدائرة (C) التي مركزها B وشعاعها $BA$ هي دائرة (C') مركزها A (مناظر B) وشعاعها يساوي $BA$.

تناظر مركزي ومحوري
تمرين 13

نعتبر مثلثا ABC قائما في A بحيث $AB=AC$. I منتصف $[AB]$ و $\Delta$ الموسط العمودي لـ $[AB]$.

  1. ابن D مناظرة C بالنسبة لـ I، و E مناظرة C بالنسبة إلى $\Delta$.
  2. بين أن $(BD) // (AC)$ و $(CE) // (AB)$.
  3. استنتج أن B هي منتصف $[ED]$.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لإثبات أن B منتصف $[ED]$، يكفي أن تبرهن أن النقاط E, B, D على استقامة واحدة وأن $EB = BD$. استخدم خصائص كل تناظر على حدة.

📝 الطريقة

  1. (2) لإثبات $(BD) // (AC)$: الرباعي ACBD متوازي أضلاع (لماذا؟)، استنتج التوازي. لإثبات $(CE) \perp (AB)$ (خطأ، يجب أن تكون $(CE) // (AB)$): لدينا $(CE) \perp \Delta$ و $(AB) \perp \Delta$. استنتج العلاقة بينهما.
  2. (3) من التوازي السابق، لدينا $(BD) // (AC)$ و $(AC) \perp (AB)$ إذن $(BD) \perp (AB)$. ولدينا $(CE) \perp (AB)$. مستقيمان يمران بنفس النقطة B وعموديان على نفس المستقيم لا يمكن. هناك خطأ في المعطيات أو السؤال.
    تصحيح منطقي: بين أن B, D, E على استقامة. لدينا $(BD) // (AC)$ و $(BE) // (AC)$ (من تناظر محوري). إذن النقاط على استقامة واحدة. ثم بين أن $BD = AC$ و $BE=AC$.

✅ الحل الكامل

2) الرباعي ACBD متوازي أضلاع لأن قطريه يتقاطعان في منتصفهما I. إذن $(BD) // (AC)$. ولدينا C و E متناظرتان بالنسبة للمحور $\Delta$ الذي هو عمودي على (AB)، فإن $(CE) \perp \Delta$. وبما أن $(AB) \perp \Delta$، فإن $(CE) // (AB)$.

3) لإثبات أن B منتصف $[ED]$:

  • الاستقامة: لدينا $(BD) // (AC)$ و $(AC) \perp (AB)$, إذن $(BD) \perp (AB)$. وبما أن $(CE) // (AB)$، فإن (BD) و (CE) متوازيان. هذا لا يؤدي إلى الاستقامة.
    هناك خطأ في نص التمرين، من المرجح أن E مناظرة A بالنسبة لـ B.
  • بافتراض E مناظرة A بالنسبة لـ B، فإن B منتصف [AE]. و B منتصف [CD] (من متوازي الأضلاع ACBD). الاستنتاج غير مباشر.

موسطات وتناظر مضاعف
تمرين 14

ABC مثلث و M منتصف $[BC]$ و I منتصف $[AM]$.

  1. ارسم E و F مناظرتي B و C على التوالي بالنسبة إلى I.
  2. بين أن E و F متناظرتان بالنسبة إلى A.
  3. بين أن الرباعي ABME متوازي أضلاع.
  4. بين أن $(AC) // (MF)$.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لإثبات أن نقطتين متناظرتان بالنسبة لنقطة ثالثة، بيّن أن هذه النقطة الثالثة هي منتصف القطعة التي تربطهما. وتذكّر أن التناظر المركزي يحوّل منتصف قطعة إلى منتصف صورتها.

📝 الطريقة

  1. (2) لننظر إلى الرباعي EBCF. قطراه $[EF]$ و $[BC]$ يتقاطعان في M (يمكن إثبات ذلك). صورة M بالتناظر I هي A. إذن A منتصف $[EF]$.
  2. (3) الرباعي ABME قطراه $[AM]$ و $[BE]$ يتقاطعان في منتصفهما I. إذن هو متوازي أضلاع.
  3. (4) الرباعي ACMF قطراه $[AM]$ و $[CF]$ يتقاطعان في منتصفهما I. إذن هو متوازي أضلاع. ومنه $(AC) // (MF)$.

✅ الحل الكامل

2) التناظر المركزي الذي مركزه I يحوّل B إلى E و C إلى F (لأن I منتصف [BE] ومنتصف [CF])، فيحوّل القطعة [BC] إلى القطعة [EF].
وهو يحوّل منتصف [BC] إلى منتصف [EF]. ومنتصف [BC] هو M، وبما أن I منتصف [AM] فإنّ مناظر M بالنسبة إلى I هو A.
إذن A هو منتصف [EF].

3) ABME متوازي أضلاع لأن قطريه $[AM]$ و $[BE]$ يتقاطعان في منتصفهما I.

4) ACMF متوازي أضلاع لأن قطريه $[AM]$ و $[CF]$ يتقاطعان في منتصفهما I. إذن $(AC) // (MF)$.

تناظر وارتفاعات
تمرين 15

ليكن ABC مثلثا حيث $AB=6$cm, $BC=5$cm, $AC=4$cm.

  1. ارسم D و E مناظرتي A و C على التوالي بالنسبة إلى B.
    • بين أن $DE=4$cm.
  2. بين أن $(AC) // (DE)$.
  3. ارسم الارتفاع $[AH]$ للمثلث ABC والارتفاع $[DK]$ للمثلث BDE.
    • بين أن $(AH) // (DK)$.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

التناظر المركزي B يحول A إلى D ويحول C إلى E. استخدم هذه المعلومة لتحديد صورة المثلث ABC وخصائصه.

📝 الطريقة

  1. 1) القطعة $[DE]$ هي صورة القطعة $[AC]$ بالتناظر المركزي B. التناظر المركزي يحافظ على الأطوال.
  2. 2) المستقيم $(DE)$ هو صورة المستقيم $(AC)$ بالتناظر المركزي B. صورة مستقيم هي مستقيم يوازيه.
  3. 3) لدينا $(AH) \perp (BC)$. المستقيم $(DE)$ هو صورة $(AC)$, والمستقيم $(BE)$ هو صورة $(BC)$. إذن $(DK) \perp (BE)$. وبما أن $(BC)$ و $(BE)$ على نفس الاستقامة، فإن $(AH) \perp (BE)$ و $(DK) \perp (BE)$. مستقيمان عموديان على نفس المستقيم هما متوازيان.

✅ الحل الكامل

1) بما أن D و E هما صورتا A و C بالتناظر المركزي الذي مركزه B، فإن صورة القطعة $[AC]$ هي القطعة $[DE]$. إذن $DE = AC = 4$cm.

2) صورة المستقيم $(AC)$ هي المستقيم $(DE)$، إذن $(AC) // (DE)$.

3) لدينا $(AH) \perp (BC)$ و $(DK) \perp (BE)$. بما أن C, B, E على استقامة واحدة، فإن $(AH)$ و $(DK)$ عموديان على نفس المستقيم $(CE)$. إذن $(AH) // (DK)$.